Problema carrucole
salve come da titolo ho dei problemi a risolvere questo esercizio:
http://tinypic.com/view.php?pic=jrehdd&s=8
per calcolare l'accelerazioni del corpo1 ho provato ad utilizzare il metodo della massa equivalente cioe':
$a_1$=[Somma(Forza Attiva Per Spostamento)]/{Somma[Massa Per (Spostamento Al Quadrato)]}
sostituendo $a_1=(P_1(1)-P_4(2))/(M_1(1)^2+I_(2,cm)/R_2^2(1)^2+[I_(3,cm)/R_3^2+M_3]+M_4(2)^2]$
e sono pervenuto al risultato che l'accelerazione sia $a_1=1,4m/s^2$ che pero' non corrisponde a nessuna delle risposte che ci sono.
dove ho sbagliato?
come impostare il problema con newton visto che devo calcolare anche le tensioni?
grazie!
http://tinypic.com/view.php?pic=jrehdd&s=8
per calcolare l'accelerazioni del corpo1 ho provato ad utilizzare il metodo della massa equivalente cioe':
$a_1$=[Somma(Forza Attiva Per Spostamento)]/{Somma[Massa Per (Spostamento Al Quadrato)]}
sostituendo $a_1=(P_1(1)-P_4(2))/(M_1(1)^2+I_(2,cm)/R_2^2(1)^2+[I_(3,cm)/R_3^2+M_3]+M_4(2)^2]$
e sono pervenuto al risultato che l'accelerazione sia $a_1=1,4m/s^2$ che pero' non corrisponde a nessuna delle risposte che ci sono.
dove ho sbagliato?
come impostare il problema con newton visto che devo calcolare anche le tensioni?
grazie!
Risposte
per il calcolo dell'accelerazione sul corpo 1devi impostare la seguente equazione:
$ \tau_1 -m_1g sin(\alpha)=m_1 a_(m1) $ con
$\tau_1 = -\tau_2$
$ \tau_1 -m_1g sin(\alpha)=m_1 a_(m1) $ con
$\tau_1 = -\tau_2$
"Skylarry":
per il calcolo dell'accelerazione sul corpo 1devi impostare la seguente equazione:
$ \tau_1 -m_1g sin(\alpha)=m_1 a_(m1) $ con
$\tau_1 = -\tau_2$
per $τ_1$ e $τ_2$ cosa intendi?
"dome90210":
[quote="Skylarry"]per il calcolo dell'accelerazione sul corpo 1devi impostare la seguente equazione:
$ \tau_1 -m_1g sin(\alpha)=m_1 a_(m1) $ con
$\tau_1 = -\tau_2$
per $τ_1$ e $τ_2$ cosa intendi?[/quote]
$τ_1$ è la tensione del vincolo sul corpo 1
$τ_2$ è la tensione del vincolo sulla carrucola 2
quindi devi imppostare le equazione per le forze che agiscono sulla carrucola, e poi su tutti gli altri corpi
"dome90210":
salve come da titolo ho dei problemi a risolvere questo esercizio:
http://tinypic.com/view.php?pic=jrehdd&s=8
per calcolare l'accelerazioni del corpo1 ho provato ad utilizzare il metodo della massa equivalente cioe':
$a_1$=[Somma(Forza Attiva Per Spostamento)]/{Somma[Massa Per (Spostamento Al Quadrato)]}
sostituendo $a_1=(P_1(1)-P_4(2))/(M_1(1)^2+I_(2,cm)/R_2^2(1)^2+[I_(3,cm)/R_3^2+M_3]+M_4(2)^2]$
e sono pervenuto al risultato che l'accelerazione sia $a_1=1,4m/s^2$ che pero' non corrisponde a nessuna delle risposte che ci sono.
dove ho sbagliato?
come impostare il problema con newton visto che devo calcolare anche le tensioni?
grazie!
credo di aver capito dover sbagliavo e ho reimpostato così l'eq:
$a_1=(-P_1(1)+P_3(1)+P_4(2))/(M_1(1)^2+I_(2,cm)/R_2^2(1)^2+[I_(3,cm)/(2R_3^2)+M_3]+M_4(2)^2]$
con $I_(2,cm)=1/2M_2R_^2$ e $I_(3,cm)=3/2M_3R_3^2$
ottenendo $a_1=2,1m/s^2$
volevo sapere se vanno bene le eq del moto in questo modo:
${-M_1gsinϑ+T_1=M_1a_1$
${-T_1R_2+T_2R_2=I_(2,cm)α_2$
${T_4-M_4g=M_4a_4$
${T_2R_2-2T_4R_3=I_(3,cm)α_3$
"dome90210":
……...
volevo sapere se vanno bene le eq del moto in questo modo:
$ {-M_1gsinϑ+T_1=M_1a_1 $
$ {-T_1R_2+T_2R_2=I_(2,cm)α_2 $
$ {T_4-M_4g=M_4a_4 $
$ {T_2R_2-2T_4R_3=I_(3,cm)α_3 $
Mi sa che non ci siamo del tutto Domenico.
Innanzitutto, non sappiamo se il sistema si muove perché la massa $m_4$ tira in giù e quindi $m_1$ sale, oppure avviene il contrario, cioè è $m_1$ a tirare in giù e quindi $m_4$ sale. Lo sapremo alla fine. Per ora scriviamo le equazioni supponendo che sia vera la prima delle ipotesi dette, cioè che il moto di $m_4$ sia accelerato verso il basso.
Cominciamo allora dalla massa 1 , che si muove senza attrito salendo sul piano. L'eq. del moto è :
$m_1a_1 = T_1-m_1gsen30°=T_1 - 1/2m_1g$ -----(1)
Qui hai le prime due incognite, l'accelerazione e la tensione.
Ti faccio subito notare che l'accelerazione $a_1$ è uguale, in modulo, all' accelerazione del cdm della puleggia 3, che è diretta verso il basso. Quindi, in modulo :
$a_1 = a_(CM3)$ ------(2)
Allora, l'accelerazione verso il basso di $m_4$ deve essere il doppio : $a_4 = 2a_(CM3) = 2a_1$ ----------(3)
Il perché è presto detto : la puleggia 3 si muove verso il basso con moto accelerato ruotando "istantaneamente" attorno al punto in cui il capo fisso del filo alla sua sinistra "entra" nella puleggia, che dista $2r_3$ dal filo che sostiene $m_4$.
LA puleggia $m_2$ ruota accelerando, e si ha : $\alpha_2 = a_1/r_2$----------(4)
L'eq. del moto di 2 è : $(T_2-T_1)r_2 = I_2\alpha_2$---------(5)
La tensione $T_2$ è quella nel filo verticale che sostiene la puleggia 3. Questa puleggia rotola a trasla pure verso il basso. Analizziamo le forze e i momenti agenti.
Le forze sono : la tensione $T_2$ diretta verso l'alto, applicata nel cdm; la tensione $T_3$ applicata dal capo fisso a sinistra, diretta verso il basso; la tensione $T_4$ applicata sul ramo destro dalla massa sospesa 4 ; e infine il peso stesso di 3 , che ti sei proprio scordato. Quindi devi scrivere 2 equazioni per la puleggia 3 :
$ma_(CM3) = m_3g + T_3 + T_4 - T_2$ -------(6)
$(T_4-T_3)r_3 = I_3\alpha_3 = I_3*a_(CM3)/r_3$ -------(7)
Infine, per la massa 4 si ha :
$m_4*2a_(CM3) = m_4g - T_4$ ------(8)
Ora ci sono tutti gli ingredienti per trovare tensioni e accelerazioni.
"navigatore":
$ (T_4-T_3)r_3 = I_3\alpha_3 = I_3*a_(CM3)/r_3 $ -------(7)
in questa equazione non dovrebbe essere $alpha_3 =a_(cm3)/(2r_3)$
Perché hai questo dubbio? Pensa a un disco che rotola su un piano. Se il cdm ha accelerazione $a_(CM)$, l'accelerazione angolare del disco vale $\alpha = a_(CM)/R$.
"navigatore":
Perché hai questo dubbio? Pensa a un disco che rotola su un piano. Se il cdm ha accelerazione $a_(CM)$, l'accelerazione angolare del disco vale $\alpha = a_(CM)/R$.
quando credo di aver capito
è proprio allora che invece sono più confuso di prima..ad esempio..
in questo caso il momento $I_(3,cm)$ sarà uguale a $I_(3,cm)=1/2m_3r_3alpha_3$ non devo applicare il teorema degli assi paralleli perche' come polo ho scelto il centro di rotazione istantanea giusto?...
così facendo ho calcolato $a_1$..che e' un numero positivo..quindi il sistema si muove perche' la massa $m_4$ tira giù la massa $m_1$ giusto?
"dome90210":
[quote="navigatore"]Perché hai questo dubbio? Pensa a un disco che rotola su un piano. Se il cdm ha accelerazione $a_(CM)$, l'accelerazione angolare del disco vale $\alpha = a_(CM)/R$.
quando credo di aver capito
è proprio allora che invece sono più confuso di prima..ad esempio..
in questo caso il momento $I_(3,cm)$ sarà uguale a $I_(3,cm)=1/2m_3alpha_3$ non devo applicare il teorema degli assi paralleli perche' come polo ho scelto il centro di rotazione istantanea giusto?...
così facendo ho calcolato $a_1$..che e' un numero positivo..quindi il sistema si muove perche' la massa $m_4$ tira giù la massa $m_1$ giusto?[/quote]
Hai fatto qualche pasticcio nelle formule.
Il momento di inerzia è quello baricentrico : $1/2m_3r_3^2$. L'accelerazione angolare è $\alpha_3 = a_(CM3)/R$.
Nella (7) ho scritto la 2° eq. cardinale riferendomi al CM come polo. ma il centro di rotazione istantanea è in realtà il punto in cui il capo di sinistra del filo (quello ancorato a terra) entra nella puleggia 3.
Se ti risulta $a_1$ positiva, vuol dire che il sistema si muove come ipotizzato.
"navigatore":
Se ti risulta $a_1$ positiva, vuol dire che il sistema si muove come ipotizzato.
e allora perchè non riesco a calcolarmi $T_4$?
se il sistema si muove come ipotizzato $T_4=m_4g-2m_4a_1=5,6N$
mentre il risultato esatto dovrebbe essere $T_4=m_4g+2m_4a_1=14N$
con $a_1=2,1m/s^$ che e' il risultato che ho trovato..
grazie..
scusa per il tempo che ti sto facendo perdere..
Fermiamoci un attimo a ragionare, Domenico.
LA massa $m_4$ è sospesa, quindi la tensione $\vecT_4$ è diretta, in quanto vettore, sempre verso l'alto, sia che la massa scenda, sia che la massa salga, giusto? Invece il peso $m_4\vecg$ è diretto ovviamente verso il basso.
Se il modulo $T_4$ vale $14N$, come dici, esso supera in valore il modulo del peso, che vale $9.81N$, in quanto la massa vale 1 kg. Perciò $m_4$ non può scendere, deve salire (accelerando). Questo vorrebbe dire che il sistema non si muove come ipotizzato, ma nel senso contrario, quindi dovrebbe essere $m_1$ che scende sul piano inclinato e si tira dietro il sistema…e questo francamente mi lascia un po' perplesso…c'è qualcosa che non mi quadra. Anche guardando le soluzioni proposte, il più piccolo valore di $T_4$ è proprio $14 N$ , il che significa quello che ho detto prima.
Allora a questo punto sarebbe meglio riscrivere le equazioni cardinali della Dinamica, e risolvere il sistema. Tieni presente che le incognite sono 5 : l'accelerazione $a_1$ della massa $m_1$, che ora devi orientare nel verso discendente lungo il piano, e le 4 tensioni $T_1 , T_2 , T_3 , T_4 $ nei fili.
Mi dici come hai trovato $a_1 = 2.1 m/s^2$ , senza risolvere tutto il sistema ?
LA massa $m_4$ è sospesa, quindi la tensione $\vecT_4$ è diretta, in quanto vettore, sempre verso l'alto, sia che la massa scenda, sia che la massa salga, giusto? Invece il peso $m_4\vecg$ è diretto ovviamente verso il basso.
Se il modulo $T_4$ vale $14N$, come dici, esso supera in valore il modulo del peso, che vale $9.81N$, in quanto la massa vale 1 kg. Perciò $m_4$ non può scendere, deve salire (accelerando). Questo vorrebbe dire che il sistema non si muove come ipotizzato, ma nel senso contrario, quindi dovrebbe essere $m_1$ che scende sul piano inclinato e si tira dietro il sistema…e questo francamente mi lascia un po' perplesso…c'è qualcosa che non mi quadra. Anche guardando le soluzioni proposte, il più piccolo valore di $T_4$ è proprio $14 N$ , il che significa quello che ho detto prima.
Allora a questo punto sarebbe meglio riscrivere le equazioni cardinali della Dinamica, e risolvere il sistema. Tieni presente che le incognite sono 5 : l'accelerazione $a_1$ della massa $m_1$, che ora devi orientare nel verso discendente lungo il piano, e le 4 tensioni $T_1 , T_2 , T_3 , T_4 $ nei fili.
Mi dici come hai trovato $a_1 = 2.1 m/s^2$ , senza risolvere tutto il sistema ?
"navigatore":
Mi dici come hai trovato $a_1 = 2.1 m/s^2$ , senza risolvere tutto il sistema ?
il sistema che avevamo impostato era questo:
${T_1-m_1gsin(theta)=m_1a_1}$
${T_2r_2-T_1r_2=I_2alpha_2}$
${m_3g+T_3+T_4-T_2=m_3a_(3,cm)}$
${T_4r_3-T_3r_3=I_3alpha_3}$
${m4g-T_4=m_4a_4}$
risolvendolo ottengo:
$a_1=((-m_1sin(theta)+m_3+2m_4)g)/(m_1+1/2m_2+3/2m_3+4m_4)=2,1m/s^2$
se il sistema evolve in questo modo allora sarà:
$T_4=m_4g-2m_4a_1=5,6N$
cmq navigatore ho postato su questo topik viewtopic.php?f=19&t=132329&p=849758#p849758 un ulteriore mio dubbio su un problema simile..
se hai del tempo te ne sarei infinitamente grato se potessi dargli un occhiata. grazie ancora.
Ti dirò, ho rifatto anch'io l'esercizio, ma in maniera leggermente diversa.
Ho fatto in pratica come ti avevo suggerito: ho ipotizzato che la massa $m_4$ si muova accelerando verso l'alto, e quindi, detta semplicemente $a$ la sua accelerazione, ho scritto per essa la 2° eq. della Dinamica, tenendo conto che la tensione $T_4$ , con questa ipotesi, deve essere in valore maggiore di $m_4g$ . Dunque :
$m_4*a = T_4 - m_4g$
poi naturalmente ho scritto le altre equazioni di conseguenza, tenendo conto dei movimenti che seguono dall'ipotesi fatta. Non le scrivo. Ti posso solo confermare che mi risulta: $T_4 = 5.6 N$, il valore da te trovato.
Perciò essendo inferiore numericamente al peso di $m_4$, questa massa non può salire, deve scendere .
E la conferma mi viene dal fatto che, considerando le accelerazioni e i movimenti come conseguenza della ipotesi che $m_4$ salga, alla fine $m_1$ dovrebbe scendere con accelerazione metà di $a$. E invece, mi risulta che l'accelerazione di $m_1$ è negativa, precisamente vale : $-2.1m/s^2$ .
Il che significa che $m_1$ non scende, ma sale ! E naturalmente se $m_1$ sale con accelerazione $a_1 = 2.1 m/s^2$, vuol dire che $m_4$ scende con accelerazione : $a = 4.2 m/s^2$ .
Come vedi, anche provando in altro modo, si trovano valori per le tensioni in disaccordo a quelli proposti come soluzione.
E questo mi fa venire il sospetto che a sbagliare non siamo noi….
Ma io posso aver sbagliato nell'impostare le equazioni, non sono infallibile. Però i risultati proposti dal testo a stampa si contraddicono….e allora non so che dire. Dovresti parlarne con chi lo ha assegnato.
Guarderò l'altro topic, ma con calma. Ciao.
Ho fatto in pratica come ti avevo suggerito: ho ipotizzato che la massa $m_4$ si muova accelerando verso l'alto, e quindi, detta semplicemente $a$ la sua accelerazione, ho scritto per essa la 2° eq. della Dinamica, tenendo conto che la tensione $T_4$ , con questa ipotesi, deve essere in valore maggiore di $m_4g$ . Dunque :
$m_4*a = T_4 - m_4g$
poi naturalmente ho scritto le altre equazioni di conseguenza, tenendo conto dei movimenti che seguono dall'ipotesi fatta. Non le scrivo. Ti posso solo confermare che mi risulta: $T_4 = 5.6 N$, il valore da te trovato.
Perciò essendo inferiore numericamente al peso di $m_4$, questa massa non può salire, deve scendere .
E la conferma mi viene dal fatto che, considerando le accelerazioni e i movimenti come conseguenza della ipotesi che $m_4$ salga, alla fine $m_1$ dovrebbe scendere con accelerazione metà di $a$. E invece, mi risulta che l'accelerazione di $m_1$ è negativa, precisamente vale : $-2.1m/s^2$ .
Il che significa che $m_1$ non scende, ma sale ! E naturalmente se $m_1$ sale con accelerazione $a_1 = 2.1 m/s^2$, vuol dire che $m_4$ scende con accelerazione : $a = 4.2 m/s^2$ .
Come vedi, anche provando in altro modo, si trovano valori per le tensioni in disaccordo a quelli proposti come soluzione.
E questo mi fa venire il sospetto che a sbagliare non siamo noi….
Ma io posso aver sbagliato nell'impostare le equazioni, non sono infallibile. Però i risultati proposti dal testo a stampa si contraddicono….e allora non so che dire. Dovresti parlarne con chi lo ha assegnato.
Guarderò l'altro topic, ma con calma. Ciao.
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