Problema calore, lavoro, variazione di entropia, rendimento.
Ciao a tutti ragazzi a breve ho un esame e sto riscontrando problemi con la termodinamica, di preciso con il seguente esercizio:
Due moli di gas perfetto biatomico eseguono un ciclo reversibile ABCA, con AB isoterma, BC isobara e CA adiabatica. Sapendo che Pc= 0,3 atm, Vb= 500l e Vc=200l, calcolare il calore scambiato, il lavoro compiuto e la variazione di entropia del gas in ciascuna trasformazione e il rendimento del ciclo.
Ho problemi di impostazione, non so da dove cominciare, gli esercizi seguono tutti la stessa tipologia, dunque mi basterebbe capire questo e, spero, di riuscir a risolvere tutti gli altri! Vi ringrazio in anticipo.
Due moli di gas perfetto biatomico eseguono un ciclo reversibile ABCA, con AB isoterma, BC isobara e CA adiabatica. Sapendo che Pc= 0,3 atm, Vb= 500l e Vc=200l, calcolare il calore scambiato, il lavoro compiuto e la variazione di entropia del gas in ciascuna trasformazione e il rendimento del ciclo.
Ho problemi di impostazione, non so da dove cominciare, gli esercizi seguono tutti la stessa tipologia, dunque mi basterebbe capire questo e, spero, di riuscir a risolvere tutti gli altri! Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Cerco di descriverti un metodo logico per la risoluzione...
I metodi di calcolo per quanto riguarda le trasformazioni termodinamiche si basano sullo studio delle funzioni di stato $H$ (entalpia) e $U$ (energia interna)... fin qui lo sapevamo tutti!
Perciò ogni trasformazione è seguita da un particolare andamento di queste funzioni:
L'entalpia è caratterizzata come una funzione dipendente dalla temperatura e dalla pressione $H=H(T,P)$ (per una miscela questa dipende anche dalla concentrazione dell' n-esimo componente... però per questi problemi non ci interessa)
L'energia interna invece è una funzione dipendente dalla temperatura e dal volume $U=U(T,V)$ (anche l'energia interna di una miscela dipende dai componenti...)
Quindi queste due funzioni, caratterizzano uno stato termodinamico e sono sensibili alle variazione delle loro variabili dipendenti.
Inoltre energia interna ed entalpia sono legate dalla relazione $U=H-PV$
Ora, il problema ci chiede di studiare le trasformazione che vengono effettuate su di un sistema (aperto/chiuso...) come un espansione(o una compressione/riscaldamento a volume costante...).
Quasi sempre questi sistemi che studierai verranno ricondotti a sistemi chiusi (in cui non avvengono scambi materiali tra interno ed esterno) per i quali, definiti due parametri di stato è possibile definire la funzione dello stato termodinamico.
Prendiamo un esempio...
La trasformazione isobara:
Per definire lo stato energetico del sistema studieremo l'equilibrio energetico, perciò:
Ora se fossero definiti due parametri di stato potremmo definire qualsiasi funzione di stato del sistema.
Per semplicità ci chiediamo, cosa è meglio studiare per una trasformazione isobara? entalpia o energia interna?
La risposta è... visto che l'entalpia dipende da temperatura e pressione, allora se dovessi studiare la variazione di entalpia dallo stato A allo stato B, questa risulterebbe come dipendente solamente dalla temperatura!
{Ora comincerò a riferirmi alle funzioni di stato specifiche (grandezze intensive) relative ad una mole di composto}
Che matematicamente si traduce come segue...
Poiché abbiamo scelto di studiare l'entalpia, allora sarà conveniente riferire il bilancio energetico rispetto a questa!
Sapendo che $d\hat(U)=d\hat(H)-d(P*\hat(V))$ e che $d(P*\hat(V))=Pd\hat(V)+hat(V)dP$ (derivata del prodotto)
Allora il bilancio energetico sarà espresso come:
o meglio scritto come:
poiché la variazione di pressione è nulla allora possiamo trascurare il termine energetico di variazione di pressione, quindi:
Se dovessi esprimere la variazione infinitesima di entalpia ($\hatH=\hat(H)(T,P)$) scriverei il suo differenziale:
e poiché la variazione di pressione è nulla possiamo trascurare le variazioni di pressione:
Dove il termine $((\partial \hat(H))/(\partial T))_(P=\text(cost.))$ risulta essere $c_P$, così come $((\partial \hat(U))/(\partial T))_(\hat(V)=\text(cost.))$ risulta essere $c_V$.
Quindi imponendo sostituendo la variazione infinitesima di entalpia all'interno dell'equilibrio energetico del sistema, otteniamo che:
ed integrando:
Quindi seguendo uno studio passo passo riesci a definire ogni tipo di trasformazione.
I metodi di calcolo per quanto riguarda le trasformazioni termodinamiche si basano sullo studio delle funzioni di stato $H$ (entalpia) e $U$ (energia interna)... fin qui lo sapevamo tutti!
Perciò ogni trasformazione è seguita da un particolare andamento di queste funzioni:
L'entalpia è caratterizzata come una funzione dipendente dalla temperatura e dalla pressione $H=H(T,P)$ (per una miscela questa dipende anche dalla concentrazione dell' n-esimo componente... però per questi problemi non ci interessa)
L'energia interna invece è una funzione dipendente dalla temperatura e dal volume $U=U(T,V)$ (anche l'energia interna di una miscela dipende dai componenti...)
Quindi queste due funzioni, caratterizzano uno stato termodinamico e sono sensibili alle variazione delle loro variabili dipendenti.
Inoltre energia interna ed entalpia sono legate dalla relazione $U=H-PV$
Ora, il problema ci chiede di studiare le trasformazione che vengono effettuate su di un sistema (aperto/chiuso...) come un espansione(o una compressione/riscaldamento a volume costante...).
Quasi sempre questi sistemi che studierai verranno ricondotti a sistemi chiusi (in cui non avvengono scambi materiali tra interno ed esterno) per i quali, definiti due parametri di stato è possibile definire la funzione dello stato termodinamico.
Prendiamo un esempio...
La trasformazione isobara:
Per definire lo stato energetico del sistema studieremo l'equilibrio energetico, perciò:
$dU=\deltaQ-PdV$
*Molte volte $PdV$ viene indicato con $\delta L$Ora se fossero definiti due parametri di stato potremmo definire qualsiasi funzione di stato del sistema.
Per semplicità ci chiediamo, cosa è meglio studiare per una trasformazione isobara? entalpia o energia interna?
La risposta è... visto che l'entalpia dipende da temperatura e pressione, allora se dovessi studiare la variazione di entalpia dallo stato A allo stato B, questa risulterebbe come dipendente solamente dalla temperatura!
{Ora comincerò a riferirmi alle funzioni di stato specifiche (grandezze intensive) relative ad una mole di composto}
Che matematicamente si traduce come segue...
Poiché abbiamo scelto di studiare l'entalpia, allora sarà conveniente riferire il bilancio energetico rispetto a questa!
Sapendo che $d\hat(U)=d\hat(H)-d(P*\hat(V))$ e che $d(P*\hat(V))=Pd\hat(V)+hat(V)dP$ (derivata del prodotto)
Allora il bilancio energetico sarà espresso come:
$d\hat(H)-\hat(V)dP-Pd\hat(V)=\deltaQ-Pd\hat(V)$
o meglio scritto come:
$d\hat(H)=\deltaQ+\hat(V)dP$
poiché la variazione di pressione è nulla allora possiamo trascurare il termine energetico di variazione di pressione, quindi:
$d\hat(H)=\deltaQ$
Se dovessi esprimere la variazione infinitesima di entalpia ($\hatH=\hat(H)(T,P)$) scriverei il suo differenziale:
$d\hat(H)=((\partial \hat(H))/(\partial T))_(P=\text(cost.)) dT + ((\partial \hat(H))/(\partial P))_(T=\text(cost.)) dP$
e poiché la variazione di pressione è nulla possiamo trascurare le variazioni di pressione:
$d\hat(H)=((\partial \hat(H))/(\partial T))_(P=\text(cost.)) dT$
Dove il termine $((\partial \hat(H))/(\partial T))_(P=\text(cost.))$ risulta essere $c_P$, così come $((\partial \hat(U))/(\partial T))_(\hat(V)=\text(cost.))$ risulta essere $c_V$.
Quindi imponendo sostituendo la variazione infinitesima di entalpia all'interno dell'equilibrio energetico del sistema, otteniamo che:
$c_P dT =\delta Q$
ed integrando:
$\int_(T_A)^(T_B)c_P dT = Q$
Quindi seguendo uno studio passo passo riesci a definire ogni tipo di trasformazione.
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