Problema attrito dinamico
Una cassa piena di sabbia, inizialmente ferma viene trascinata su un pavimento da una corda per la quale la tensione non deve superare $1100N$ il coefficiente di attrito dinamico è $\mu_k=0.35$.
a)Quale dovrebbe essere l'angolo tra la corda e il piano orizzontale per poter trascinare la massima quantita possibile di sabbia?
b)Quale sarà in questa situazione, il peso complessivo della sabbia e della cassa?
Sbatto la testa su questo problema da un bel po, ma non riesco a venirne a capo come prima cosa ho disegnato la situazione mettendo in evidenza tutte le forze che entrano in gioco, in particolare esse sono:
$P=mg$ Forza peso;
$F_N$ Forza normale;
$f_k=\mu_kF_N$ Forza di attrito;
$T$ Tensione della corda.
per la seconda legge di Newton $sum{F}=ma$ quindi $F_N-P+T-f_k=ma$
ho scomposto per l'asse $x$ e per l'asse $y$ ottenendo due equazioni:
$TCos{\theta}-\mu_kF_N=ma_x$
$Tsin{\theta}-mg+F_N=ma_y$
La velocità lungo l'asse $y$ è nulla per cui lo è anche l'accelerazione quindi ho sostituito $ma_y$ con $0$ la seconda equazione diventa
$Tsin{\theta}-mg+F_N=0$
In questo momento ho quindi due equazioni e quattro incognite
$\theta$; L'angolo che è richiesto dal testo
$a$; L'accelerazione;
$m$; La massa, richiesta anch'essa nel punto (b)
$F_N$ che dalla seconda equazione viene $F_N=mg-Tsin{\theta}$
Durante uno dei tentativi ero riuscito anche a eliminare l'incognita $m$
in questo modo:
$frac\{Tcos{\theta}-\mu_kF_N}{a_x}=m$ e $frac\{Tsin{\theta}+F_N}{g}=m$
quindi
$frac\{Tcos{\theta}-\mu_kF_N}{a_x}=frac\{Tsin{\theta}+F_N}{g}$
Ma rimango comunque bloccato... Aspetto aiuto...
a)Quale dovrebbe essere l'angolo tra la corda e il piano orizzontale per poter trascinare la massima quantita possibile di sabbia?
b)Quale sarà in questa situazione, il peso complessivo della sabbia e della cassa?
Sbatto la testa su questo problema da un bel po, ma non riesco a venirne a capo come prima cosa ho disegnato la situazione mettendo in evidenza tutte le forze che entrano in gioco, in particolare esse sono:
$P=mg$ Forza peso;
$F_N$ Forza normale;
$f_k=\mu_kF_N$ Forza di attrito;
$T$ Tensione della corda.
per la seconda legge di Newton $sum{F}=ma$ quindi $F_N-P+T-f_k=ma$
ho scomposto per l'asse $x$ e per l'asse $y$ ottenendo due equazioni:
$TCos{\theta}-\mu_kF_N=ma_x$
$Tsin{\theta}-mg+F_N=ma_y$
La velocità lungo l'asse $y$ è nulla per cui lo è anche l'accelerazione quindi ho sostituito $ma_y$ con $0$ la seconda equazione diventa
$Tsin{\theta}-mg+F_N=0$
In questo momento ho quindi due equazioni e quattro incognite
$\theta$; L'angolo che è richiesto dal testo
$a$; L'accelerazione;
$m$; La massa, richiesta anch'essa nel punto (b)
$F_N$ che dalla seconda equazione viene $F_N=mg-Tsin{\theta}$
Durante uno dei tentativi ero riuscito anche a eliminare l'incognita $m$
in questo modo:
$frac\{Tcos{\theta}-\mu_kF_N}{a_x}=m$ e $frac\{Tsin{\theta}+F_N}{g}=m$
quindi
$frac\{Tcos{\theta}-\mu_kF_N}{a_x}=frac\{Tsin{\theta}+F_N}{g}$
Ma rimango comunque bloccato... Aspetto aiuto...
Risposte
Per caso hai anche i risultati?
Mi sembra che dovrebbe risultare
a) $tan theta_(Max)=mu->theta_(Max)~=19.3°$,
b) $(mg)_(Max)=T_(Max) sqrt(1+mu^2)/mu~=3.3*10^3 \ N$.
Mi sembra che dovrebbe risultare
a) $tan theta_(Max)=mu->theta_(Max)~=19.3°$,
b) $(mg)_(Max)=T_(Max) sqrt(1+mu^2)/mu~=3.3*10^3 \ N$.
purtroppo non ho i risultati poichè per qualche arcana ragione sul mio libro sono riportati i risultati dei soli esercizi dispari e questo è pari, comunque più importante del risultato è il ragionamento che porta ad esso, in modo da capire e in futuro saper affrontare un problema del genere, tu come hai fatto?
Partendo dal presupposto che l'unico movimento avviene lungo l'asse x avevo gia scritto
$Tcos\theta-\mu_KF_N=ma$ porto tutto a primo membro ottenendo $Tcos\theta-\mu_KF_N-ma=0$
ponendo uguale a zero e risolvendo rispetto a $\theta$ la derivata del primo membro si ottiene un punto di massimo ovvero l'angolo più efficente!
la derivata è $-sen\theta+\mu_kcos\theta$
ponendo uguale a 0 e risolvendo si ha
$tan\theta=\mu_k$ quindi $\theta=arctg(\mu_k)$
$\theta=19.3$ che è il risultato fornitomi da Chiaraotta
A questo punto mi rimane ancora di trovare il peso ovvero $mg$ il problema principale sta nel trovare la m, il meglio che sono riuscito a fare è
$m=frac{T-Tsen\theta}{\mu_k(g-a)}+frac{Tsen\theta}{g-a}$ ma mi manca l'accelerazione e non sono ancora riuscito a trovare un modo per aggirare il problema.
$Tcos\theta-\mu_KF_N=ma$ porto tutto a primo membro ottenendo $Tcos\theta-\mu_KF_N-ma=0$
ponendo uguale a zero e risolvendo rispetto a $\theta$ la derivata del primo membro si ottiene un punto di massimo ovvero l'angolo più efficente!
la derivata è $-sen\theta+\mu_kcos\theta$
ponendo uguale a 0 e risolvendo si ha
$tan\theta=\mu_k$ quindi $\theta=arctg(\mu_k)$
$\theta=19.3$ che è il risultato fornitomi da Chiaraotta
A questo punto mi rimane ancora di trovare il peso ovvero $mg$ il problema principale sta nel trovare la m, il meglio che sono riuscito a fare è
$m=frac{T-Tsen\theta}{\mu_k(g-a)}+frac{Tsen\theta}{g-a}$ ma mi manca l'accelerazione e non sono ancora riuscito a trovare un modo per aggirare il problema.
La cassa si muove se la componente della tensione parallela al piano orizzontale è maggiore o uguale alla forza d'attrito. Perciò
$T cos theta >= mu(mg-T sin theta)$,
cioè
$T/mu(mu sin theta + cos theta)>=mg$.
A parità di tensione e di coefficiente d'attrito, $m$ è massima se è massimo il termine
$mu sin theta + cos theta$.
Per trovare il massimo della funzione
$f(theta)=mu sin theta + cos theta$
si può studiarne la derivata oppure notare che
$mu sin theta + cos theta=sqrt(mu^2+1)sin(theta + arc cot mu)$
che è una sinusoide di ampiezza
$sqrt(mu^2+1)$.
Quindi ha un massimo per
$theta + arc cot mu=pi/2->$
$arc cot mu=pi/2-theta->$
$mu=cot(pi/2-theta)=tan theta$.
Il massimo vale
$sqrt(mu^2+1)$.
Da cui
$tan theta_(Max)=mu->$
$theta_(Max)=arc tan mu=arc tan (0.35) =arc tan (7/20)~=19.3°$,
$(mg)_(Max)=T_(Max)/mu sqrt(mu^2+1)~=3.3*10^3 \ N$.
$T cos theta >= mu(mg-T sin theta)$,
cioè
$T/mu(mu sin theta + cos theta)>=mg$.
A parità di tensione e di coefficiente d'attrito, $m$ è massima se è massimo il termine
$mu sin theta + cos theta$.
Per trovare il massimo della funzione
$f(theta)=mu sin theta + cos theta$
si può studiarne la derivata oppure notare che
$mu sin theta + cos theta=sqrt(mu^2+1)sin(theta + arc cot mu)$
che è una sinusoide di ampiezza
$sqrt(mu^2+1)$.
Quindi ha un massimo per
$theta + arc cot mu=pi/2->$
$arc cot mu=pi/2-theta->$
$mu=cot(pi/2-theta)=tan theta$.
Il massimo vale
$sqrt(mu^2+1)$.
Da cui
$tan theta_(Max)=mu->$
$theta_(Max)=arc tan mu=arc tan (0.35) =arc tan (7/20)~=19.3°$,
$(mg)_(Max)=T_(Max)/mu sqrt(mu^2+1)~=3.3*10^3 \ N$.
Confermo anch'io il risultato di chiaraotta!
Chiedo inoltre a chiaraotta se mi spiega il ragionamento alternativo allo studio di funzione. Non ho ben capito come sei arrivata a dire che $mu sin theta + cos theta=sqrt(mu^2+1)sin(theta + arc cot mu)$. Grazie e complimenti
Chiedo inoltre a chiaraotta se mi spiega il ragionamento alternativo allo studio di funzione. Non ho ben capito come sei arrivata a dire che $mu sin theta + cos theta=sqrt(mu^2+1)sin(theta + arc cot mu)$. Grazie e complimenti
Ogni espressione del tipo
$a sin x + b cos x$
può essere riscritta come
$C sin (x+alpha)$,
dove
$C^2=a^2+b^2$
e
$alpha=arc tan (b/a) = arc cot (a/b)$.
Infatti, dalle formule di addizione del seno, si può dire che
$C sin (x+alpha)=Csin x cos alpha+ C cos x sin alpha$.
Inoltre
$Csin x cos alpha+ C cos x sin alpha=a sin x + b cos x$
se
${(C cos alpha=a), (C sin alpha=b):}$.
Da cui, quadrando e sommando le due equazioni, si ottiene
$C^2 cos^2 alpha+ C^2 sin^2 alpha = a^2+b^2->C^2=a^2+b^2$
e, dividendo membro a membro,
$cot alpha= a/b->alpha = arc cot (a/b)$
oppure
$tan alpha=b/a->alpha=arc tan (b/a)$.
$a sin x + b cos x$
può essere riscritta come
$C sin (x+alpha)$,
dove
$C^2=a^2+b^2$
e
$alpha=arc tan (b/a) = arc cot (a/b)$.
Infatti, dalle formule di addizione del seno, si può dire che
$C sin (x+alpha)=Csin x cos alpha+ C cos x sin alpha$.
Inoltre
$Csin x cos alpha+ C cos x sin alpha=a sin x + b cos x$
se
${(C cos alpha=a), (C sin alpha=b):}$.
Da cui, quadrando e sommando le due equazioni, si ottiene
$C^2 cos^2 alpha+ C^2 sin^2 alpha = a^2+b^2->C^2=a^2+b^2$
e, dividendo membro a membro,
$cot alpha= a/b->alpha = arc cot (a/b)$
oppure
$tan alpha=b/a->alpha=arc tan (b/a)$.
Grazie mille per la risposta esauriente
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