Problema Asta non vincolata che cade su un piano
Salve a tutti vi propongo questo problema che non riesco a risolvere sperando che possiate aiutarmi.
Un'asta omogenea di lunghezza l e dimensioni trasversali trascurabili viene poggiata con un estremo sopra una superficie orizzontale priva di attrito; l'inclinazione dell'asta rispetto alla superficie è $alpha$ . Si lascia libera l'asta di cadere sotto l'azione della forza peso e della reazione sviluppata dalla superficie. Si calcoli il modulo Vg della velocità del baricentro in base all'angolo $alpha$.
Io l'ho fatto con il punto di contatto dell'asta con la superficie incernierato ma qui invece è mobile, come faccio in questo caso??
Un'asta omogenea di lunghezza l e dimensioni trasversali trascurabili viene poggiata con un estremo sopra una superficie orizzontale priva di attrito; l'inclinazione dell'asta rispetto alla superficie è $alpha$ . Si lascia libera l'asta di cadere sotto l'azione della forza peso e della reazione sviluppata dalla superficie. Si calcoli il modulo Vg della velocità del baricentro in base all'angolo $alpha$.
Io l'ho fatto con il punto di contatto dell'asta con la superficie incernierato ma qui invece è mobile, come faccio in questo caso??
Risposte
Rispondo cosi' a sentimento senza aver fatto due conti, ma credo che il baricentro dell'asta cada in modo verticale.
La sua accelerazione e' il solito $ g sen \alpha $.
Direi che e' del tutto simile all'asta incernierata, ma qui il baricentro non si sposta lateralmente ma rimane sempre sulla sua verticale.
Anzi, forse forse, la proiezione delle due cadute sull'asse z e' la stessa.
Tutto da verfificare.
La sua accelerazione e' il solito $ g sen \alpha $.
Direi che e' del tutto simile all'asta incernierata, ma qui il baricentro non si sposta lateralmente ma rimane sempre sulla sua verticale.
Anzi, forse forse, la proiezione delle due cadute sull'asse z e' la stessa.
Tutto da verfificare.
Be' che il baricentro cada verticalmente è immediato dato che non sono presenti forze orizzontali.
Invece non credo che l'espressione dell'accelerazione angolare del baricentro sia quella.
Comunque certo per calcolare la velocità finale basta la conservazione dell'energia.
Invece non credo che l'espressione dell'accelerazione angolare del baricentro sia quella.
Comunque certo per calcolare la velocità finale basta la conservazione dell'energia.
Ok al fatto che il centro di massa cade verticalmente purtroppo c'ero arrivato anche io però non riuscivo ad andare avanti.
Faussone tu dici che basta usare la conservazione dell'energia per trovare la velocità finale ma non capisco come devo impostarla.
Devo considerare l'energia cinetica rotazionale di tutta l'asta da l'angolo $alpha$ all'angolo generico $alphao$ e poi cosa altro devo considerare? come faccio a sapere con che velocità si muove il punto di contatto con il suolo per sapere di quanto sta traslando l'asse scelta per scrivere l'equazione dell'energia cinetica rotazionale?
Grazie a tutti
Ciao
Redbaron990
Faussone tu dici che basta usare la conservazione dell'energia per trovare la velocità finale ma non capisco come devo impostarla.
Devo considerare l'energia cinetica rotazionale di tutta l'asta da l'angolo $alpha$ all'angolo generico $alphao$ e poi cosa altro devo considerare? come faccio a sapere con che velocità si muove il punto di contatto con il suolo per sapere di quanto sta traslando l'asse scelta per scrivere l'equazione dell'energia cinetica rotazionale?
Grazie a tutti
Ciao
Redbaron990
Il punto di contatto con il suolo si sposta lateralmente "quanto basta" per fare in modo che il centro di massa cada in modo verticale.
Non e' una condizione ovvia ed intuitiva ed e' possibile solo perche' l'attrito e' zero, cosa che in realta' e' difficilissima.
Ad esempio lasciando cadere una penna appoggiata sul tavolo, la penna acquista anche un moto trasversale, perche' nei primi istanti in cui cade l'attrito si sente molto.
Quello che bisogna supporre e' che il punto di contatto si sposta in modo da lasciare cadere il baricentro in modo verticale.
E anche che il punto di contatto non si sollevi mai dal piano.
Anche questa condizione andrebbe dimostrata, ma e' vera e la si da per scontata.
Se il punto non si stacca mai dal piano, il baricentro e' a meta' dell'asta, per cui se il centro di rotazione e' il punto a contatto col piano, la velocita' del baricentro e'
[tex]\frac{1}{2}l \omega[/tex]
dove l e' la lunghezza dell'asta.
Calcoli energia cinetica del baricentro, energia cinetica rotazionale, li sommi.
Questa quantita' deve essere uguale all'energia potenziale di partenza.
Non e' una condizione ovvia ed intuitiva ed e' possibile solo perche' l'attrito e' zero, cosa che in realta' e' difficilissima.
Ad esempio lasciando cadere una penna appoggiata sul tavolo, la penna acquista anche un moto trasversale, perche' nei primi istanti in cui cade l'attrito si sente molto.
Quello che bisogna supporre e' che il punto di contatto si sposta in modo da lasciare cadere il baricentro in modo verticale.
E anche che il punto di contatto non si sollevi mai dal piano.
Anche questa condizione andrebbe dimostrata, ma e' vera e la si da per scontata.
Se il punto non si stacca mai dal piano, il baricentro e' a meta' dell'asta, per cui se il centro di rotazione e' il punto a contatto col piano, la velocita' del baricentro e'
[tex]\frac{1}{2}l \omega[/tex]
dove l e' la lunghezza dell'asta.
Calcoli energia cinetica del baricentro, energia cinetica rotazionale, li sommi.
Questa quantita' deve essere uguale all'energia potenziale di partenza.
Io ho pravato a fare come dici te ma almeno che non abbia sbagliato a fare i conti il risultato non torna assolutamente anche perchè l'asse di rotazione sta traslando e quindi se non sbaglio non essendo un asse di rotazione puro quando si calcola l'energia cinetica totale bisogna sommare l'energia rotazionale del corpo con l'energia di traslazione dell'asse (o almeno nel caso del cilindro che ruota senza strisciare il mio libro fa proprio così quando usa come asse quello passante per il baricentro che il quel momento sta traslando)
Il risultato comunque è questo :
$Vg= sqrt((3gl(sinalpha0-sinalpha)(cosalpha)^2/(1+3(cosalpha)^2)$
Dove con $Vg$ si intende velocità del centro di massa
Io non sono riuscito a capire da dove viene fuori il coseno ma soprattutto non riesco a capire come si trova la velocità di traslazione dell'asse.
Qualcuno sa darmi una mano????
Grazie a tutti
Il risultato comunque è questo :
$Vg= sqrt((3gl(sinalpha0-sinalpha)(cosalpha)^2/(1+3(cosalpha)^2)$
Dove con $Vg$ si intende velocità del centro di massa
Io non sono riuscito a capire da dove viene fuori il coseno ma soprattutto non riesco a capire come si trova la velocità di traslazione dell'asse.
Qualcuno sa darmi una mano????
Grazie a tutti
"Quinzio":
Se il punto non si stacca mai dal piano, il baricentro e' a meta' dell'asta, per cui se il centro di rotazione e' il punto a contatto col piano, la velocita' del baricentro e'
[tex]\frac{1}{2}l \omega[/tex]
Qui sta l'errore.
Riassumo tutti i punti salienti e ....occhio alla parte sull'energia cinetica.
la prima considerazione è che il baricentro si muove in verticale (immediato che se non c'è attrito non ci sono forze orizzontali...).
La variazione di energia potenziale è
$mgl/2*(sin(alpha_0)-sin(alpha))$
All'inizio l'energia cinetica è zero, mentre quando l'angolo è $alpha$ occorre considerare dove si trova il centro di istantanea rotazione dell'asta: questo si trova all'intersezione tra la normale alla superficie per l'estremo dell'asta sulla superficie e la linea orizzontale passante per il centro dell'asta, deve trovarsi sulla prima retta perché la velocità dell'estremo dell'asta è orizzontale e sulla seconda perché la velocità del baricentro è verticale.
A questo punto l'energia cinetica finale la scrivi come:
$1/2 I omega^2$
dove $I$ è il momento di inerzia rispetto al punto di istantanea rotazione (qui entra un primo coseno).
Trovi $omega$ e alla fine la velocità del baricentro che è $omega l/2 cos(alpha)$....
Perdonami Faussone ma credo di non aver capito bene il discorso sul centro di rotazione istantanea.
(premetto ho verificato personalmente che il risultato torna alla perfezione)
Io pensavo che il centro di rotazione fosse il punto dell'asta a contatto del piano che ovviamente sta traslando e del quale volevo cercare di calcolare la velocità.
Invece se non ho capito male tu dici che il centro di rotazione è un punto esterno all'asta che si trova facendo l'intersezione della retta parallela al piano passante per il centro dell'asta e della retta perpendicolare al piano passante per l'estremo in contatto con esso giusto?
Come mai dici che è questo il centro di rotazione?? c'è qualche regola per individuarlo??
E poi, quindi anche questo asse sta traslando istante per istante e non posso scrivere la velocità come puramente rotazionale (evidentemente non ho capito qualcosa puoi aiutarmi???) . E poi in questo caso il momento di inerzia lo calcoli sempre usando Steiner???
Spero di essere stato chiaro
GRazie mille
Redbaron990
(premetto ho verificato personalmente che il risultato torna alla perfezione)
Io pensavo che il centro di rotazione fosse il punto dell'asta a contatto del piano che ovviamente sta traslando e del quale volevo cercare di calcolare la velocità.
Invece se non ho capito male tu dici che il centro di rotazione è un punto esterno all'asta che si trova facendo l'intersezione della retta parallela al piano passante per il centro dell'asta e della retta perpendicolare al piano passante per l'estremo in contatto con esso giusto?
Come mai dici che è questo il centro di rotazione?? c'è qualche regola per individuarlo??
E poi, quindi anche questo asse sta traslando istante per istante e non posso scrivere la velocità come puramente rotazionale (evidentemente non ho capito qualcosa puoi aiutarmi???) . E poi in questo caso il momento di inerzia lo calcoli sempre usando Steiner???
Spero di essere stato chiaro
GRazie mille
Redbaron990
Il centro di rotazione istantaneo è il punto attorno a cui istante per istante possiamo immaginare ruoti il corpo rigido nel suo moto, per un moto rigido esiste sempre un tale punto (che ovviamente in generale può spostarsi).
Quindi un moto qualunque puoi vederlo istantaneamente come rotazione pura attorno al centro di rotazione.
L'estremo dell'asta trasla orizzontalmente e non può essere quindi il centro di istantanea rotazione.
Un modo di individuarlo nota la velocità di due punti del corpo rigido è quello di fare l'intersezione tra le normali alle velocità dei due punti, proprio perché la velocità di un punto qualunque deve avere direzione normale al vettore che congiunge il centro di rotazione con il punto in questione (questo è abbastanza ovvio per definizione di centro di rotazione).
Una volta individuato il centro di rotazione il moto in quell'istante è una rotazione attorno a quel punto quindi per scrivere l'energia cinetica ti basta calcolare il momento di inerzia rispetto a quel punto.
Non farti confondere dal fatto che quel punto si sposta, quel punto NON è un punto del corpo rigido, la cosa importante è invece che il moto del corpo rigido è istantaneamente una rotazione pura attorno a quel punto.
Quindi un moto qualunque puoi vederlo istantaneamente come rotazione pura attorno al centro di rotazione.
L'estremo dell'asta trasla orizzontalmente e non può essere quindi il centro di istantanea rotazione.
Un modo di individuarlo nota la velocità di due punti del corpo rigido è quello di fare l'intersezione tra le normali alle velocità dei due punti, proprio perché la velocità di un punto qualunque deve avere direzione normale al vettore che congiunge il centro di rotazione con il punto in questione (questo è abbastanza ovvio per definizione di centro di rotazione).
Una volta individuato il centro di rotazione il moto in quell'istante è una rotazione attorno a quel punto quindi per scrivere l'energia cinetica ti basta calcolare il momento di inerzia rispetto a quel punto.
Non farti confondere dal fatto che quel punto si sposta, quel punto NON è un punto del corpo rigido, la cosa importante è invece che il moto del corpo rigido è istantaneamente una rotazione pura attorno a quel punto.
Grazie mille sei stato chiarissimo ora ho capito (credo)!!!!!
Grazie spiegazione assolutamente esauriente
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