Problema analisi dimensionale

[AnalisiZero]

Ciao,

Non riesco a risolvere questo problema:

Il consumo di gas naturale da parte di una società soddisfa l'equazione empirica $V=1,50t+0,00800t^2$, dove $V$ è il volume espresso in milioni di piedi al cubo e $t$ il tempo in mesi. Esprimere questa equazione in unità di piedi al cubo e secondi. Introdurre le unità adeguate nei coefficienti. Considerare la durata di un mese pari a 30 giorni.

Ho provato a sostituire $V$ con $10^-6V$ e $t$ con $(2592000)^2t^2$. Ma il risultato del testo è diverso.

Grazie.

[Shackle]

In equazioni come queste , è opportuno indicare l'unità di misura vicino al simbolo della grandezza, racchiusa in parentesi . Chiarisco che cosa intendo. Prima però devo dire che questa definizione :

dove V è il volume espresso in milioni di piedi al cubo

è alquanto ambigua. Infatti, indicando il "piede" con $ft$ , e il "milione" con $M$ ( = mega) la definizione potrebbe significare sia :

$(M*ft) ^3 $

sia : $M (ft)^3 $

e c'è notevole differenza tra le due unità ! Io do per scontato che la definizione sia la seconda , cioè l'unità di misura del volume è "un milione di (piede)^3 , ovvero : $M (ft)^3 $ . È chiaro il discorso ?

Allora , se è cosí , abbiamo che :

$1 M(ft)^3 = 10^6 (ft)^3 $ , da cui : $ (1 M(ft)^3)/(1ft^3) = 10^6 $

ora, il rapporto tra le misure di una stessa quantità fisica è uguale al rapporto inverso delle unità; ad esempio, se un tavolo è lungo 4m , e 1m = 100 cm , abbiamo : $(1m)/(1cm) = 100 $ , quindi :

$(L(m) )/(L(cm)) = 1/(100) $

spero sia chiaro : come vedi, il rapporto tra le misure del tavolo è uguale al rapporto inverso delle unità di misura.

Torniamo ai volumi .

Assumendo che $V$ sia espresso in $M(ft)^3 $ abbiamo che : $ (V( M(ft)^3))/(V((ft)^3)) = 1/M = 10^(-6) $

da cui ricavi facilmente che : $V( M(ft)^3) = 10^(-6) V (ft^3) $

Analogamente , si ricava che : $ 1 mese = 2.592*10^6 s $ , perciò : $t(mesi) = (t(s))/ (2.592*10^6) $

Allora la tua equazione di partenza diventa, facendo le sostituzioni :

$ 10^(-6) V(ft^3) = 1.5* (t(s))/(2.592*10^6) + 0.008 * [ (t(s))/(2.592*10^6)]^2 $

Come vedi, il volume ora è espresso in $ft^3$ , e il tempo il $s$ .

[AnalisiZero]

Io anziché dividere il tempo in secondi per quel numero avevo moltiplicato. Comunque il risultato del testo non si capisce da dove viene fuori.

$0,579t (ft)^3/s+1,19*10^-9t^2 (ft)^3/s$

[professorkappa]

Come non si sa. Si sa eccome. Te l'ha scritto Shackle.
Prova a molitiplicare entrambi i membri dell'equazione scritta da lui per UN MILIONE (anime d'o purgatorio...), e vedi un po' quanto ti da'?

[Shackle]

Infatti, basta seguire il suggerimento di professorkappa , e si ottiene :

$V(ft^3) = 0.5787t(s) + 1.19*10^(-9) [t(s)]^2 $

grazie , professorkappa.

AnalisiZero,

il volume espresso in $ft^3$ è espresso , ora , in funzione del tempo in secondi, come chiede il tuo esercizio.

Con questi passaggi da certe unità di misura ad altre , specie se studi ingegneria, sarà bene che prendi la mano , perché capitano spesso . Talvolta si passa da unità del SI a quelle inglesi , o viceversa, e le espressioni sono più complesse di quella data. Certe unità di misura dovrebbero essere bandite, ma nel mondo della tecnica ci sono forti resistenze, da parte di alcuni paesi...Gli inglesi e gli americani sono i più resistenti !

[professorkappa]

Posso suggerire un metodo alternativo, molto meccanico, che elimina ogni ragionamento. Poi mi dite voi se serve o no, e' quello che usavo io quando, appunto, mi trovavo con le unita' di misura dei miei colleghi americani.
Facciamo il prio coefficiente. Ovviamente e' espresso in Milioni di piedi cubic/mese.
Allora basta moltiplicare e dividiere questa grandezza per la grandezza che cerchiamo noi. Il risultato non cambia (moltiplichiamo e dividiamo per la stessa quantita). Poi, sostituendo i valori corrispondeti (i milioni di piedi cubi diventano piedi cubi cuft, e i mesi diventano secondi), si semplificano le unita' uguali e il risultato salta fuori. E' piu facile a farsi che aspiegarlo

$1.50[Mcft]/[mese]=1.50[Mcft]/[mese]*[cft]/[sec]*[sec]/[cft]=1.50[1*10^6cft]/[2,592,000sec]*[cft]/[sec]*[sec]/[cft]=1.5/2.592[cft]/[sec]=0.58[cft]/[sec]$

[Shackle]

"professorkappa":Posso suggerire un metodo alternativo, molto meccanico, che elimina ogni ragionamento. Poi mi dite voi se serve o no, e' quello che usavo io quando, appunto, mi trovavo con le unita' di misura dei miei colleghi americani.
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Ottimo e semplice , profKappa ! Con questo metodo, c'è infatti meno possibilità di sbagliare .

[AnalisiZero]

Giusto, avevo dimenticato il $10^-6$ al primo membro.

Grazie a entrambi.