Problema!
Un’asta sottile rigida di lunghezza l = 50 cm e massa ma = 960 g, è sospesa per un suo
estremo ad un asse orizzontale, intorno al quale può ruotare, ed è
inizialmente in quiete nella posizione di equilibrio stabile. Un
proiettile puntiforme di massa mp = 100 g colpisce l’asta in un
punto distante b = 30 cm dall’asse, con velocità vp = 7 m/s diretta
orizzontalmente e, dopo l’urto, cade verticalmente. L’asta
comincia a ruotare e si ferma dopo aver descritto un angolo di 20°.
Verificare se l’urto è elastico o anelastico e calcolare il
momento resistente (supposto costante) che agisce sull’asse di
rotazione.
Io l'ho impostato considerando che quando il proiettile colpisce il braccio trasferisce la sua quantità di moto intatta all'asta e quindi di conseguenza sviluppa un momento angolare pari alla quantità di moto moltiplicata per b. Imponendo che questa deve essere uguale al momento d'inerzia moltiplicato per la velocità angolare (facilmente calcolato col teorema di Huygens-Steiner) mi ricavo quest'ultima; allorché valuto l'energia cinetica iniziale del semplice moto del proiettile e quella cinetica rotazionale relativa all'asta servendomi della velocità angolare appena ricavata e valuto se l'energia si conserva o meno.
Per quanto riguarda la seconda parte si imporrà che l'energia cinetica rotazionale meno l'energia potenziale (calcolata rispetto al centro massa che si solleva) deve essere uguale al lavoro delle forze non conservative, ossia del momento resistente moltiplicato per l'angolo descritto ossia (20° opportunamente scritto in radianti) e quindi si ricava facilmente il momento resistente... Ho ragionato bene o qualcosa non quadra??? ^^ Voi sarete di certo più in gamba di me e saprete aiutarmi! Attendo risposte! ^^
estremo ad un asse orizzontale, intorno al quale può ruotare, ed è
inizialmente in quiete nella posizione di equilibrio stabile. Un
proiettile puntiforme di massa mp = 100 g colpisce l’asta in un
punto distante b = 30 cm dall’asse, con velocità vp = 7 m/s diretta
orizzontalmente e, dopo l’urto, cade verticalmente. L’asta
comincia a ruotare e si ferma dopo aver descritto un angolo di 20°.
Verificare se l’urto è elastico o anelastico e calcolare il
momento resistente (supposto costante) che agisce sull’asse di
rotazione.
Io l'ho impostato considerando che quando il proiettile colpisce il braccio trasferisce la sua quantità di moto intatta all'asta e quindi di conseguenza sviluppa un momento angolare pari alla quantità di moto moltiplicata per b. Imponendo che questa deve essere uguale al momento d'inerzia moltiplicato per la velocità angolare (facilmente calcolato col teorema di Huygens-Steiner) mi ricavo quest'ultima; allorché valuto l'energia cinetica iniziale del semplice moto del proiettile e quella cinetica rotazionale relativa all'asta servendomi della velocità angolare appena ricavata e valuto se l'energia si conserva o meno.
Per quanto riguarda la seconda parte si imporrà che l'energia cinetica rotazionale meno l'energia potenziale (calcolata rispetto al centro massa che si solleva) deve essere uguale al lavoro delle forze non conservative, ossia del momento resistente moltiplicato per l'angolo descritto ossia (20° opportunamente scritto in radianti) e quindi si ricava facilmente il momento resistente... Ho ragionato bene o qualcosa non quadra??? ^^ Voi sarete di certo più in gamba di me e saprete aiutarmi! Attendo risposte! ^^
Risposte
Hai parlato come un libro stampato, che caspita di aiuto vuoi? 
Scherzi a parte, volendo proprio trovare il pelo nell'uovo la tua affermazione
Il proiettile possiede una quantità di moto puramente orizzontale che cessa dopo l'urto, dunque tu dici che viene comunicata all'asta. Questo sarebbe vero se il sistema fosse isolato, però così non è. Infatti l'asta è incernierata e dunque al momento dell'impatto questo vincolo potrebbe fornire all'asta un impulso tale da modificare la quantità di moto totale.
La presenza o meno di questo impulso dipende dal punto di impatto. E' facile verificare se questo impulso è presente o meno facendo la semplice verifica di conservazione della quantità di moto. Infatti basta verificare se la quantità di moto dell'asta subito dopo l'urto è uguale a quella del proiettile prima dell'urto, utilizzando per questo calcolo non il momento di inerzia dell'asta ma semplicemente la sua massa moltiplicata per la velocità del suo centro di massa. Salvo il caso particolare di impatto in un punto ben preciso dell'asta, che dà zero reazione di vincolo in senso orizzontale, la quantità di moto in generale non si conserva.
Viceversa qui occorre applicare direttamente il principio di conservazione del momento angolare (come tu alla fine hai fatto), senza fare ipotesi sulla quantità di moto. Infatti qualunque sia la reazione del perno il suo momento rispetto al perno stesso è sempre nullo, dunque il momento angolare si conserva anche se non si conservasse la quantità di moto.
Scherzi a parte, volendo proprio trovare il pelo nell'uovo la tua affermazione
quando il proiettile colpisce il braccio trasferisce la sua quantità di moto intatta all'asta e quindi di conseguenza sviluppa un momento angolare pari alla quantità di moto moltiplicata per bè un po' imprecisa. Vediamo di analizzare bene il caso.
Il proiettile possiede una quantità di moto puramente orizzontale che cessa dopo l'urto, dunque tu dici che viene comunicata all'asta. Questo sarebbe vero se il sistema fosse isolato, però così non è. Infatti l'asta è incernierata e dunque al momento dell'impatto questo vincolo potrebbe fornire all'asta un impulso tale da modificare la quantità di moto totale.
La presenza o meno di questo impulso dipende dal punto di impatto. E' facile verificare se questo impulso è presente o meno facendo la semplice verifica di conservazione della quantità di moto. Infatti basta verificare se la quantità di moto dell'asta subito dopo l'urto è uguale a quella del proiettile prima dell'urto, utilizzando per questo calcolo non il momento di inerzia dell'asta ma semplicemente la sua massa moltiplicata per la velocità del suo centro di massa. Salvo il caso particolare di impatto in un punto ben preciso dell'asta, che dà zero reazione di vincolo in senso orizzontale, la quantità di moto in generale non si conserva.
Viceversa qui occorre applicare direttamente il principio di conservazione del momento angolare (come tu alla fine hai fatto), senza fare ipotesi sulla quantità di moto. Infatti qualunque sia la reazione del perno il suo momento rispetto al perno stesso è sempre nullo, dunque il momento angolare si conserva anche se non si conservasse la quantità di moto.
Sei davvero gentilissimo! Grazie per aver corretto la mia sbavatura! ^^
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