Problem
problema di dinamica
c'è un corpo di massa m(data) che si muove lungo una retta. ha una certa velocità iniziale $v_0$(data).
C'è una forza resistente che si oppone alla direzione del moto $|F_R|=Bv^2$ dove B(nota, in kg/m) e "v" è la velocità istant. Bisogna trovare l'istante t* in cui la velocità è pari alla metà della velocità iniz.
m=100kg
v0=20 m/s
$F=Bv^2$; B=1kg/m
t*=? tale che v*=v(t*)=v0/2
c'è un corpo di massa m(data) che si muove lungo una retta. ha una certa velocità iniziale $v_0$(data).
C'è una forza resistente che si oppone alla direzione del moto $|F_R|=Bv^2$ dove B(nota, in kg/m) e "v" è la velocità istant. Bisogna trovare l'istante t* in cui la velocità è pari alla metà della velocità iniz.
m=100kg
v0=20 m/s
$F=Bv^2$; B=1kg/m
t*=? tale che v*=v(t*)=v0/2
Risposte
il risultato deve venire 5 secondi .. ma non mi viene
ho provato così
$-Bv^2=ma$
$v1=a*t1+v0=(v0)/2$
$-B((v0)/2)^2=m*a $
$a=-B/m*((v0)/2)^2$
sostituendo i valori dati ho a=-1m/s che sost in $t1=(-v_0/(2a))=10 s$ e non 5 s
ho provato così
$-Bv^2=ma$
$v1=a*t1+v0=(v0)/2$
$-B((v0)/2)^2=m*a $
$a=-B/m*((v0)/2)^2$
sostituendo i valori dati ho a=-1m/s che sost in $t1=(-v_0/(2a))=10 s$ e non 5 s
"hastings":
problema di dinamica
c'è un corpo di massa m(data) che si muove lungo una retta. ha una certa velocità iniziale $v_0$(data).
C'è una forza resistente che si oppone alla direzione del moto $|F_R|=Bv^2$ dove B(nota, in kg/m) e "v" è la velocità istant. Bisogna trovare l'istante t* in cui la velocità è pari alla metà della velocità iniz.
m=100kg
v0=20 m/s
$F=Bv^2$; B=1kg/m
t*=? tale che v*=v(t*)=v0/2
$m(dv)/dt=-Bv^2$
questa si risolve con riccati http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Riccati e le condizioni
$v(0)=v_0$ e $mv'(0)=-Bv_0^2$
"hastings":
il risultato deve venire 5 secondi .. ma non mi viene
ho provato così
$-Cv^2=ma$
$v1=a*t1+v0=(v0)/2$
attenzione a integrare, l'accelerazione non è uniforme....
l'accell non è uniforme? come fai a dirlo ?
quindi il corpo va a una velocità iniziale $v_0$.
la forza che da la decellerazione in ogni momento è la forza d'attrito...
allora la decellerazione istantanea in ogni punto è data sostituendo $F_r$ nell'equazione della dinamica $F=ma$
otteniamo quindi che $a=(Bv^2)/m$
quindi essendo che si ha $(dv)/(dt)=(Bv^2)/m$, risolvendo otteniamo che
$v=(Bv^2)/mt
quindi $t=m/(Bv)
quindi in $t_0$ si ha che $t_0=m/(Bv_0)$, mentre in $t_1=m/(Bv_1)
sapendo che $v_1=v_0/2$, la variazione di tempo che è quello che dobbiamo ottenere, cioè $t_1-t_0$ sarà dato da
$m/(Bv_1)-m/(Bv_0)$ cioè , ricordando che $v_1=v_0/2$ si ottiene che $Deltat=m/(Bv_0/2)-m/(Bv_0)$
sostituendo i dati forniti cioè
$m=100kg
$v_0=20 m/s
$F=Bv^2; B=1kg/m
otteniamo
$Deltat=(100kg)/(1(kg)/m*10m/s)-(100kg)/(1(kg)/m*20m/s)=10s-5s=5s
come dice il risultato ottenuto
la forza che da la decellerazione in ogni momento è la forza d'attrito...
allora la decellerazione istantanea in ogni punto è data sostituendo $F_r$ nell'equazione della dinamica $F=ma$
otteniamo quindi che $a=(Bv^2)/m$
quindi essendo che si ha $(dv)/(dt)=(Bv^2)/m$, risolvendo otteniamo che
$v=(Bv^2)/mt
quindi $t=m/(Bv)
quindi in $t_0$ si ha che $t_0=m/(Bv_0)$, mentre in $t_1=m/(Bv_1)
sapendo che $v_1=v_0/2$, la variazione di tempo che è quello che dobbiamo ottenere, cioè $t_1-t_0$ sarà dato da
$m/(Bv_1)-m/(Bv_0)$ cioè , ricordando che $v_1=v_0/2$ si ottiene che $Deltat=m/(Bv_0/2)-m/(Bv_0)$
sostituendo i dati forniti cioè
$m=100kg
$v_0=20 m/s
$F=Bv^2; B=1kg/m
otteniamo
$Deltat=(100kg)/(1(kg)/m*10m/s)-(100kg)/(1(kg)/m*20m/s)=10s-5s=5s
come dice il risultato ottenuto
$m(dv)/dt=-Bv^2$
questa si risolve con riccati http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Riccati e le condizioni
$v(0)=v_0$ e $mv'(0)=-Bv_0^2$
è un esercizio di Fisica1, non credo che servano addirittura le eq differenziali...
credo ci sia un modo più semplice per svolgerlo con formule di dinamica
"hastings":
l'accell non è uniforme? come fai a dirlo ?
l'accelerazione non è uniforme in quanto la forza d'attrito dipende dalla velocità istantanea...
se diminuisce la velocità diminuisce quadraticamente la forza d'attrito e quindi l'accelerazione
"fu^2":
quindi essendo che si ha $(dv)/(dt)=(Bv^2)/m$, risolvendo otteniamo che
$v=(Bv^2)/mt
eh!?!
"hastings":
$m(dv)/dt=-Bv^2$
questa si risolve con riccati http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Riccati e le condizioni
$v(0)=v_0$ e $mv'(0)=-Bv_0^2$
è un esercizio di Fisica1, non credo che servano addirittura le eq differenziali...
credo ci sia un modo più semplice per svolgerlo con formule di dinamica
se esiste una soluzione più semplice, io non la vedo...
"fu^2":
quindi il corpo va a una velocità iniziale $v_0$.
la forza che da la decellerazione in ogni momento è la forza d'attrito...
allora la decellerazione istantanea in ogni punto è data sostituendo $F_r$ nell'equazione della dinamica $F=ma$
otteniamo quindi che $a=(Bv^2)/m$
quindi essendo che si ha $(dv)/(dt)=(Bv^2)/m$, risolvendo otteniamo che
$v=(Bv^2)/mt
quindi $t=m/(Bv)
quindi in $t_0$ si ha che $t_0=m/(Bv_0)$, mentre in $t_1=m/(Bv_1)
sapendo che $v_1=v_0/2$, la variazione di tempo che è quello che dobbiamo ottenere, cioè $t_1-t_0$ sarà dato da
$m/(Bv_1)-m/(Bv_0)$ cioè , ricordando che $v_1=v_0/2$ si ottiene che $Deltat=m/(Bv_0/2)-m/(Bv_0)$
sostituendo i dati forniti cioè
$m=100kg
$v_0=20 m/s
$F=Bv^2; B=1kg/m
otteniamo
$Deltat=(100kg)/(1(kg)/m*10m/s)-(100kg)/(1(kg)/m*20m/s)=10s-5s=5s
come dice il risultato ottenuto
Dunque il risultato è 5 s ma lo si ottiene $t_1=m/(Bv_0)$ questo perchè si vuole un t1 non un delta.
io non riuscivo a capire il meccanismo
fino a $(Bv^2)/m=a$ ci stavo, ma non mi è venuto in mente che $a=(dv(t))/(dt)$ e che quindi per avere v dovessi integrare l'espressione ottenuta.
Grazie!
si però c'è da dire che $t_1=t_0+Deltat$....e visto che $t_0=0s$ in quanto parti da li a cronometrare... o no?
ora il problema è capire come mai $t1=m/(B*v_0)$ da' il risultato corretto quando più logicamente sarebbe $t1=m/(Bv_0/2)=2m/(B*v_0)$. in qualche modo il 2 si semplifica... boh?!
"fu^2":
quindi essendo che si ha $(dv)/(dt)=(Bv^2)/m$, risolvendo otteniamo che
$v(dv)/(dt)=(Bv^3)/(3m)$ puoi risolvere questa, certo... poi mi fai sapere come hai fatto, però
"Inmytime":
[quote="fu^2"]
quindi essendo che si ha $(dv)/(dt)=(Bv^2)/m$, risolvendo otteniamo che
$v=(Bv^2)/mt
eh!?![/quote]
premesso che non so praticamente nulla di eq diff...
ho ragionato alla buona, dicendo $v/t=(Bv^2)/m$,aveo messo le d davanti per indicare che sono le velocità istantanee...
cmq se moltiplico tutto per t e divido tutto per (Bv^2)/m ottengo l'espressione in funzione del tempo... visto la tua risposta, ho detto un'eresia tanto grande?
"fu^2":
si però c'è da dire che $t_1=t_0+Deltat$....e visto che $t_0=0s$ in quanto parti da li a cronometrare... o no?
Sì, ora mi torna.
"fu^2":
ho ragionato alla buona, dicendo $v/t=(Bv^2)/m$,aveo messo le d davanti per indicare che sono le velocità istantanee...
cmq se moltiplico tutto per t e divido tutto per (Bv^2)/m ottengo l'espressione in funzione del tempo... visto la tua risposta, ho detto un'eresia tanto grande?
$(dv)/(dt)$ è la derivata della velocità rispetto al tempo cioè l'acceleraz, a. Se io voglio risalire da "a" a "v" devo integrare rispetto al tempo, giusto?
"fu^2":
[quote="Inmytime"][quote="fu^2"]
quindi essendo che si ha $(dv)/(dt)=(Bv^2)/m$, risolvendo otteniamo che
$v=(Bv^2)/mt
eh!?![/quote]
premesso che non so praticamente nulla di eq diff...
ho ragionato alla buona, dicendo $v/t=(Bv^2)/m$,aveo messo le d davanti per indicare che sono le velocità istantanee...
cmq se moltiplico tutto per t e divido tutto per (Bv^2)/m ottengo l'espressione in funzione del tempo... visto la tua risposta, ho detto un'eresia tanto grande?[/quote]
attenzione a non confondere $v/t$ con $(dv)/(dt)$: la prima non rappresenta nulla in generale, la seconda rappresenta la VARIAZIONE di v nell'unità di tempo, molto bassa, dt. le d stanno ad indicare le variazioni, non che si tratta di quantità istantanee (sennò non ci starebbero a fare niente). in questo caso, ho una variazione in dt che dipende dal valore assunto dalla grandezza all'inizio dell'intervallo dt, per questo il problema non è esattamente banale
giusto.. il passaggio li l'ho fatto male...
se allora consideriamo la variazione di velocità nella variazione totale di tempo otteniamo che
$(Deltav)/(Deltat)=(B(v)^2)/m
quindi otteniamo che $Deltat=(Deltavm)/(Bv^2)$
essendo $Deltat=t_0-t_1$ si ha che
$Deltat=(v_0m)/(B(v_0)^2)-(v_1m)/(B(v_1)^2)$ in quanto, la velocità istantanea quando è v_o è anchessa v_o e quando è v_1 è v_1
considerando quindi l'incremento taotale, matematicamente non da problemi e tutto è tornato come ho detto prima, motivandolo meglio...
a questo punto si continua come ho detto prima...
è giusto ora?
se allora consideriamo la variazione di velocità nella variazione totale di tempo otteniamo che
$(Deltav)/(Deltat)=(B(v)^2)/m
quindi otteniamo che $Deltat=(Deltavm)/(Bv^2)$
essendo $Deltat=t_0-t_1$ si ha che
$Deltat=(v_0m)/(B(v_0)^2)-(v_1m)/(B(v_1)^2)$ in quanto, la velocità istantanea quando è v_o è anchessa v_o e quando è v_1 è v_1
considerando quindi l'incremento taotale, matematicamente non da problemi e tutto è tornato come ho detto prima, motivandolo meglio...
a questo punto si continua come ho detto prima...
è giusto ora?
"fu^2":
giusto.. il passaggio li l'ho fatto male...
se allora consideriamo la variazione di velocità nella variazione totale di tempo otteniamo che
$(Deltav)/(Deltat)=(B(v)^2)/m
quindi otteniamo che $Deltat=(Deltavm)/(Bv^2)$
essendo $Deltat=t_0-t_1$ si ha che
$Deltat=(v_0m)/(B(v_0)^2)-(v_1m)/(B(v_1)^2)$ in quanto, la velocità istantanea quando è v_o è anchessa v_o e quando è v_1 è v_1
considerando quindi l'incremento taotale, matematicamente non da problemi e tutto è tornato come ho detto prima, motivandolo meglio...
a questo punto si continua come ho detto prima...
è giusto ora?
non si può considerare quello come incremento totale, perchè la relazione vale SOLO quando l'incremento di tempo è infinitesimo... puoi vedere l'incremento totale come una somma di molti incrementi infinitesimi: con quella relazione che hai trovato
$Deltat=(v_0m)/(B(v_0)^2)-(v_1m)/(B(v_0)^2)$
ti trovi il $v_1$, che sarà il $v_0$ dell'intervallo successivo, e così via. ma ripeto, gli intervalli devono essere infinitesimi. è come approssimare la pendenza di una curva che va dal punto A al punto B con la pendenza della retta che congiunge questi due punti: in generale, capisci bene che questo è sbagliato
a me non sembra troppo sbagliato, cioè alla fine ho calcolato l'incremento della funzione da t_0 a t_1 che è quello che mi richiede il problema... o no?
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