Principio di indeterminazione generalizzato
Buondì, sono alle prese col formalismo quantistico e sono incappato nel principio di indeterminazione di Heisenberg visto in chiave operatori. Ho due dubbi in proposito, il primo teorico e il secondo matematico:
1) Partendo da $sigma_Asigma_B>=1/2|<[hat(A),hat(B)]>|$ con A e B generici osservabili, il libro dice che se i due osservabili non commutano, allora non è possibile determinare entrambe le grandezze con precisione arbitraria. Questo significa che se commutano invece si può? Ma dato che due osservabili commutano se $[hat(A),hat(B)]=0$, la disequazione è la stessa per qualsiasi coppia di osservabili?
Sono certo di essermi perso per strada.
2) Sapendo che $[hat(x),hat(p)]=ihbar$, potrei chiedere a chi ne ha la pazienza di mostrarmi i passaggi che portano al risultato? Giusto per essere sicuro, il mio materiale glissa un po' sull'algebra degli operatori.
Grazie!
1) Partendo da $sigma_Asigma_B>=1/2|<[hat(A),hat(B)]>|$ con A e B generici osservabili, il libro dice che se i due osservabili non commutano, allora non è possibile determinare entrambe le grandezze con precisione arbitraria. Questo significa che se commutano invece si può? Ma dato che due osservabili commutano se $[hat(A),hat(B)]=0$, la disequazione è la stessa per qualsiasi coppia di osservabili?
Sono certo di essermi perso per strada.
2) Sapendo che $[hat(x),hat(p)]=ihbar$, potrei chiedere a chi ne ha la pazienza di mostrarmi i passaggi che portano al risultato? Giusto per essere sicuro, il mio materiale glissa un po' sull'algebra degli operatori.
Grazie!
Risposte
per quanto riguarda il punto 2 se $ \[hat(x),hat(p)]=ihbar $ allora $ |<[hat(x),hat(p)]>| =| | = |ih/(2pi)|(psi, psi)=h/(2pi) $
Sì, la parte del valor medio mi era chiara, ma grazie per la conferma. In realtà per il secondo punto pensavo più a una cosa del tipo :
$[hat(x),hat(p)]=hatxhatp-hatphatx=hatx(-ibarhpartial/(partialx))- (-ibarhpartial/(partialx))hatx$
So che se ci infilo dentro una generica $f(x)$ i conti tornano, ma posso arrivarci a priori? Dire che il primo fattore è nullo perché è nulla la parentesi (non deriva nulla), il secondo è l'operatore momento che agisce su x e dunque $hatx(0)-(-ibarh) = ibarh$ è un insulto alla matematica?
$[hat(x),hat(p)]=hatxhatp-hatphatx=hatx(-ibarhpartial/(partialx))- (-ibarhpartial/(partialx))hatx$
So che se ci infilo dentro una generica $f(x)$ i conti tornano, ma posso arrivarci a priori? Dire che il primo fattore è nullo perché è nulla la parentesi (non deriva nulla), il secondo è l'operatore momento che agisce su x e dunque $hatx(0)-(-ibarh) = ibarh$ è un insulto alla matematica?
1) Se due operatori commutano possono essere determinati simultaneamente, ovvero la misura di uno non influenza l'altro.
2)
Gli operatori hanno significato solo quando vengono applicati a qualcosa, altrimenti resta solo una scrittura formale. Quindi devi necessariamente "moltiplicarli" per una funzione d'onda e poi confrontare.
2)
"Silence":
$ [hat(x),hat(p)]=hatxhatp-hatphatx=hatx(-ibarhpartial/(partialx))- (-ibarhpartial/(partialx))hatx $
So che se ci infilo dentro una generica $ f(x) $ i conti tornano, ma posso arrivarci a priori? Dire che il primo fattore è nullo perché è nulla la parentesi (non deriva nulla), il secondo è l'operatore momento che agisce su x e dunque $
Gli operatori hanno significato solo quando vengono applicati a qualcosa, altrimenti resta solo una scrittura formale. Quindi devi necessariamente "moltiplicarli" per una funzione d'onda e poi confrontare.
Perfetto, ti ringrazio molto, e funzione sia. Mi chiedevo... formalmente, ha senso dire che il commutatore posizione-momento è l'operatore che moltiplica una funzione per la costante $ihbar$?
si
Ottimo, grazie!
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