Principio di indeterminazione e teoria di De Broglie
Buongiorno a tutti 
Fin'ora, ho frequentato un Liceo scientifico sperimentale, progetto "Brocca"... ora, devo sostenere il tanto temuto esame di maturità.
Ho deciso di presentare, come argomento a piacere di fisica (o, come molti lo chiamano, "argomento della tesina"), il principio di indeterminazione di Heisenberg. Per dimostrare la sua forma $(delx)(delp)$ $>=$ $(h/(4\pi))$ a partire dalle teorie sul dualismo onda-corpuscolo di De Broglie, ho ragionato come segue:
Secondo voi, è un ragionamento corretto, oppure presenta delle falle?
Fin'ora, ho frequentato un Liceo scientifico sperimentale, progetto "Brocca"... ora, devo sostenere il tanto temuto esame di maturità.
Ho deciso di presentare, come argomento a piacere di fisica (o, come molti lo chiamano, "argomento della tesina"), il principio di indeterminazione di Heisenberg. Per dimostrare la sua forma $(delx)(delp)$ $>=$ $(h/(4\pi))$ a partire dalle teorie sul dualismo onda-corpuscolo di De Broglie, ho ragionato come segue:
Associando all’elettrone un’onda-pilota, risulta evidente l’impossibilità di misurarne contemporaneamente con la massima precisione la velocità e la posizione.
Se si considera un numero elevato di oscillazioni, la frequenza dell’onda è facilmente misurabile. Da ciò consegue che la velocità dell’elettrone (e di conseguenza, la sua quantità di moto) è ben definita:
$λ$ = $(ℎ/(mv))$=$(v/f)$
$v$ = $sqrt(hf/m)$
$p$ = $(mv)$ = $sqrt(mhf)$
Ma non lo è la sua posizione, visto che l’area entro cui potrebbe trovarsi l’elettrone è particolarmente ampia.
Analogamente, considerando un numero ridotto di oscillazioni, la posizione dell’elettrone è ben definita (perché l’area entro cui potrebbe trovarsi è minima), ma non lo è la frequenza, giacchè la precisione della sua misurazione aumenta all’aumentare delle oscillazioni considerate.
Secondo voi, è un ragionamento corretto, oppure presenta delle falle?
Risposte
Nessuno ha voglia di rispondere? 
Leggi quello che ti allego a questo post. È tratto dal mio libro di Meccanica Quantistica, ed è un'introduzione fenomenologica al principio, che non fa uso di nessuno strumento matematico non conosciuto al liceo.
Il libro (per bibliografia) è Lezioni di Meccanica Quantistica, Luigi E. Picasso, Edizioni ETS. Un libro perfetto, chiarissimo, limpido, cristallino, rende la meccanica quantistica quasi comprensibile.
Per le tue conoscenze matematiche e fisiche liceali, tuttavia, dovrai accontentarti del principio di indeterminazione, ovvero quello riportato nelle tre paginette allegate. Per il teorema di indeterminazione, invece, dovrai fidarti dei libri, perché non credo ci sia un modo per darne una dimostrazione formale seria con i tuoi strumenti.
Ma questo sarebbe già tanto, in un liceo.
http://tinypic.com/view.php?pic=k507l&s=8
Alcune note:
1. Evita di parlare di dualismo onda-corpuscolo, è sempre meno usato e un commissario esterno laureato in fisica potrebbe storcere il naso. Non te lo considererebbe errore, ci manca, però se lo eviti è meglio.
2. Evita di parlare di "ben definito" o "massima precisione": si dice "precisione arbitraria", o simili.
3. Piccola nota, che magari ti fa fare bella figura: \(h/(2\pi)\) si chiama \(\hbar\) e prende il nome di costante di Planck ridotta o costante di Dirac, e si legge "acca tagliato".
EDIT: AVEVO SBAGLIATO IMMAGINE.
Il libro (per bibliografia) è Lezioni di Meccanica Quantistica, Luigi E. Picasso, Edizioni ETS. Un libro perfetto, chiarissimo, limpido, cristallino, rende la meccanica quantistica quasi comprensibile.
Per le tue conoscenze matematiche e fisiche liceali, tuttavia, dovrai accontentarti del principio di indeterminazione, ovvero quello riportato nelle tre paginette allegate. Per il teorema di indeterminazione, invece, dovrai fidarti dei libri, perché non credo ci sia un modo per darne una dimostrazione formale seria con i tuoi strumenti.
Ma questo sarebbe già tanto, in un liceo.
http://tinypic.com/view.php?pic=k507l&s=8
Alcune note:
1. Evita di parlare di dualismo onda-corpuscolo, è sempre meno usato e un commissario esterno laureato in fisica potrebbe storcere il naso. Non te lo considererebbe errore, ci manca, però se lo eviti è meglio.
2. Evita di parlare di "ben definito" o "massima precisione": si dice "precisione arbitraria", o simili.
3. Piccola nota, che magari ti fa fare bella figura: \(h/(2\pi)\) si chiama \(\hbar\) e prende il nome di costante di Planck ridotta o costante di Dirac, e si legge "acca tagliato".
EDIT: AVEVO SBAGLIATO IMMAGINE.
"giuliofis":
1. Evita di parlare di dualismo onda-corpuscolo, è sempre meno usato e un commissario esterno laureato in fisica potrebbe storcere il naso. Non te lo considererebbe errore, ci manca, però se lo eviti è meglio.
Il professore di fisica è interno, quest'anno, per i licei Brocca
E proprio lui (anzi, lei) mi ha chiesto (dopo aver saputo della mia volontà di approfondire il principio di Heisenberg) di inserire anche il dualismo onda-particella, e da lì ho avuto l'idea provare a "giustificare" logicamente il principio partendo dalla teoria di De Broglie "giuliofis":
2. Evita di parlare di "ben definito" o "massima precisione": si dice "precisione arbitraria", o simili.
Correggo subito il testo, grazie
"giuliofis":
3. Piccola nota, che magari ti fa fare bella figura: \(h/(2\pi)\) si chiama \(\hbar\) e prende il nome di costante di Planck ridotta o costante di Dirac, e si legge "acca tagliato".
Già lo sapevo... grazie, comunque
"wrugg25":
Correggo subito il testo, grazie
Più che correggere il tuo testo (che non mi sembra abbia troppo senso...) studiati le tre paginette che ti ho postato. È vero che sono tratte da un testo universitario, ma è pur vero che lo è dai capitoli introduttivi dove non si usa il formalismo matematico proprio della meccanica quantistica, ma solo concetti che dovresti aver studiato al liceo (trigonometria e ottica, in fondo).
"wrugg25":
Il professore di fisica è interno, quest'anno, per i licei Broccasione arbitraria", o simili
Esiste il presidente, sempre esterno.
"giuliofis":
Esiste il presidente, sempre esterno.
È un professore di italiano e latino
"giuliofis":
(che non mi sembra abbia troppo senso...)
In che senso? Intendi dire che quello che ho scritto è tutto sbagliato, o che è proprio una cosa insensata?
"giuliofis":
studiati le tre paginette che ti ho postato. È vero che sono tratte da un testo universitario, ma è pur vero che lo è dai capitoli introduttivi dove non si usa il formalismo matematico proprio della meccanica quantistica, ma solo concetti che dovresti aver studiato al liceo (trigonometria e ottica, in fondo).
Le ho studiate... ma non vi ho trovato la risposta alla domanda che avevo originariamente posto, cioè quella circa la correttezza del mio ragionamento...
"wrugg25":
Se si considera un numero elevato di oscillazioni, la frequenza dell’onda è facilmente misurabile. Da ciò consegue che la velocità dell’elettrone (e di conseguenza, la sua quantità di moto) è ben definita:
Chi ti dice che sia "facilmente misurabile"? Con quali metodi? Quali errori? Che vuol dire "ben definita"? E se anche fosse "facilmente misurabile", chi ti dice che lo sia con "piccoli errori", eccetera?
Ma non lo è la sua posizione, visto che l’area entro cui potrebbe trovarsi l’elettrone è particolarmente ampia.
Cosa vuol dire "particolarmente ampia"? Anche fosse, chi ti dice che per lo scopo del mio esperimento non sia invece "sufficientemente piccola"?
Secondo voi, è un ragionamento corretto, oppure presenta delle falle?
Non è quantitativo, dunque eviterei di parlare così ad un commissario di fisica. La Fisica è una scienza quantitativa, ci vogliono le formule matematiche, e non solo parole...
"wrugg25":
[quote="giuliofis"]studiati le tre paginette che ti ho postato. È vero che sono tratte da un testo universitario, ma è pur vero che lo è dai capitoli introduttivi dove non si usa il formalismo matematico proprio della meccanica quantistica, ma solo concetti che dovresti aver studiato al liceo (trigonometria e ottica, in fondo).
Le ho studiate... ma non vi ho trovato la risposta alla domanda che avevo originariamente posto, cioè quella circa la correttezza del mio ragionamento...[/quote]
Secondo me, quella """dimostrazione""" del principio che ti ho postato andrebbe bene come approfondimento all'esame, poiché vai a considerare esperimenti e risultati di essi, dando una descrizione quantitativa dei fenomeni ed arrivando a presentare quantitativamente la famosa relazione.
Il ragionamento che fai (formule a parte, che non ho guardato) è perfettamente sensato. Non solo, è anche la stessa argomentazione naif e fenomenologica che riporta David Griffhits nel suo bellissimo libro "Introduction to quantum mechanics", a pagina 18, come introduzione al principio di indeterminazione.
In pratica il senso del principio di indeterminazione posizione-momento è proprio quello. Per formalizzare un po' meglio il concetto serve uno strumento matematico, la trasformata di fourier, che credo che ancora tu non conosca. Ma come inizio va bene. Il libro che a cui mi sono riferito non è di certo un libro d liceo, ma le prime (e le ultime) pagine contengono un sacco di "divulgazione" e spiegazioni intuitive tipo la tua, quindi magari può valerne la pena dargli un'occhiata
Giuliofis, permettimi un appunto. prima di dire che una cosa non ha senso io starei bene attento e leggerei le cose con spirito critico, anche se vengono dette da uno studente di liceo. Per altro l'espressione "ben definito" è usata abbondantemente in questo contesto nei testi di meccanica quantistica, italiani e stranieri, nuovi e vecchi, cosìccome l'espressione "dualismo onda-corpuscolo".
Evitiamo quindi inutili sofismi, ancor di più se si tratta di consigliare uno studente di liceo.
In pratica il senso del principio di indeterminazione posizione-momento è proprio quello. Per formalizzare un po' meglio il concetto serve uno strumento matematico, la trasformata di fourier, che credo che ancora tu non conosca. Ma come inizio va bene. Il libro che a cui mi sono riferito non è di certo un libro d liceo, ma le prime (e le ultime) pagine contengono un sacco di "divulgazione" e spiegazioni intuitive tipo la tua, quindi magari può valerne la pena dargli un'occhiata
Giuliofis, permettimi un appunto. prima di dire che una cosa non ha senso io starei bene attento e leggerei le cose con spirito critico, anche se vengono dette da uno studente di liceo. Per altro l'espressione "ben definito" è usata abbondantemente in questo contesto nei testi di meccanica quantistica, italiani e stranieri, nuovi e vecchi, cosìccome l'espressione "dualismo onda-corpuscolo".
Evitiamo quindi inutili sofismi, ancor di più se si tratta di consigliare uno studente di liceo.
Ben definito non l'ho mai trovato da nessuna parte, proprio perché l'accento veniva posto sull'arbitrarietà della precisione della misura.
Per quanto riguarda il dualismo, se leggerai ho detto che va benissimo. Ho solo detto che è sempre meno usato perché è ed è stato frutto di incomprensioni (un oggetto quantistico non è né una onda né una particella, e il fatto che noi descriviamo le cose in un certo modo non vuol dire che lo siano entrambe), e ho visto non solo professori dell università dire questo, ma anche del liceo. Una soluzione sentita in una conferenza ed usata anche da un mio prof è "quantone". Quindi, dato che alcuni professori liceali fanno questa considerazione (che non è errkre, sia chiaro) e ik fatto che esistano commissari e presidenri esterni, direi che accennarla male non fa.
Il discorso cade da quando il suo commissario è interno e il presidente un umanista.
Per quanto riguarda il dualismo, se leggerai ho detto che va benissimo. Ho solo detto che è sempre meno usato perché è ed è stato frutto di incomprensioni (un oggetto quantistico non è né una onda né una particella, e il fatto che noi descriviamo le cose in un certo modo non vuol dire che lo siano entrambe), e ho visto non solo professori dell università dire questo, ma anche del liceo. Una soluzione sentita in una conferenza ed usata anche da un mio prof è "quantone". Quindi, dato che alcuni professori liceali fanno questa considerazione (che non è errkre, sia chiaro) e ik fatto che esistano commissari e presidenri esterni, direi che accennarla male non fa.
Il discorso cade da quando il suo commissario è interno e il presidente un umanista.
"giacor86":
Il ragionamento che fai (formule a parte, che non ho guardato) è perfettamente sensato. Non solo, è anche la stessa argomentazione naif e fenomenologica che riporta David Griffhits nel suo bellissimo libro "Introduction to quantum mechanics", a pagina 18, come introduzione al principio di indeterminazione.
Allora andrò a guardare cosa è riportato in questo libro, e conformerò il mio testo a quanto lì avrò letto, così da evitare imprecisioni ed errori
"giacor86":
Per formalizzare un po' meglio il concetto serve uno strumento matematico, la trasformata di fourier, che credo che ancora tu non conosca.
Ne ho sentito parlare... ma, come hai giustamente evidenziato, si tratta di concetti al di là delle mie attuali competenze.
"giuliofis":
un oggetto quantistico non è né una onda né una particella, e il fatto che noi descriviamo le cose in un certo modo non vuol dire che lo siano entrambe
Questo l'avevo intuito
"giuliofis":
Secondo me, quella """dimostrazione""" del principio che ti ho postato andrebbe bene come approfondimento all'esame, poiché vai a considerare esperimenti e risultati di essi, dando una descrizione quantitativa dei fenomeni ed arrivando a presentare quantitativamente la famosa relazione.
Inserirò sicuramente quanto mi hai mostrato nella tesi, perchè è molto interessante
Ben definito, in relazione al risultato di una misura, non l'ho mai trovato. In altri contesti sì, in questo no.
Per il dualismo: non ho detto che è sbagliato, ma che è sempre meno usato in quanto fonte di incomprensione, sia da parte di professori universitari che liceali, in quanto gli oggetti quantistici non sono nè particelle nè onde nè entrambi, ma oggetti di altra natura. Ma siccome il commissario dell'utente è interno e il presidente un umanista, la questione per lui decade, non potendogli fare questa osservazione (che a me è stata fatta in altra sede).
Per il resto, forse mi sono spiegato male: perchè in un esame di maturitá scientifica si dovrebbe parlare della fisica (che è una scienza quantitativa) senza usare la matematica se si può non farlo?
Il consiglio che mi fu dato fu di non parlare e basta, dato che per far questo esistono giá le materie umanistiche. Alla maturitá si deve dimostrare di aver compreso anche il carattere particolare di ogni disciplina, e se si può fare perché non farlo? Poi queste sono le cose consigliate a me, e che condivido, non dico siano la Verita, ci manca.
Scusate il messaggio sconclusionato ma scrivo dal cellulare, ed è la terza volta mi si cancella tutto...
Per il dualismo: non ho detto che è sbagliato, ma che è sempre meno usato in quanto fonte di incomprensione, sia da parte di professori universitari che liceali, in quanto gli oggetti quantistici non sono nè particelle nè onde nè entrambi, ma oggetti di altra natura. Ma siccome il commissario dell'utente è interno e il presidente un umanista, la questione per lui decade, non potendogli fare questa osservazione (che a me è stata fatta in altra sede).
Per il resto, forse mi sono spiegato male: perchè in un esame di maturitá scientifica si dovrebbe parlare della fisica (che è una scienza quantitativa) senza usare la matematica se si può non farlo?
Il consiglio che mi fu dato fu di non parlare e basta, dato che per far questo esistono giá le materie umanistiche. Alla maturitá si deve dimostrare di aver compreso anche il carattere particolare di ogni disciplina, e se si può fare perché non farlo? Poi queste sono le cose consigliate a me, e che condivido, non dico siano la Verita, ci manca.
Scusate il messaggio sconclusionato ma scrivo dal cellulare, ed è la terza volta mi si cancella tutto...
"giuliofis":
Ben definito, in relazione al risultato di una misura, non l'ho mai trovato. In altri contesti sì, in questo no.
Invece è un concetto che si riferisce proprio al risultato di una misura. Una grandezza fisica si dice "ben definita" per un certo stato $\Psi$ quando, se prendi 1000000 particelle preparate nella stato $\Psi$ ed effettui per ognuna una misura di quella grandezza fisica, otterrai sempre lo stesso valore. Visto che poi è impossibile preparare gli stati così bene (o magari non esistono nemmeno), il concetto di "ben definito" si estende a "... otterrai in media un certo valore ed una varianza molto piccola".
Ciò non ha nulla a che fare con:
"giuliofis":
Chi ti dice che sia "facilmente misurabile"? Con quali metodi? Quali errori? Che vuol dire "ben definita"? E se anche fosse "facilmente misurabile", chi ti dice che lo sia con "piccoli errori", eccetera?"
o con:
"giuliofis":
Cosa vuol dire "particolarmente ampia"? Anche fosse, chi ti dice che per lo scopo del mio esperimento non sia invece "sufficientemente piccola"?
perchè queste argomentazioni riguardano la fisica in modo del tutto generico e trasversale, meccanica classica compresa, ma non centrano nulla col principio di indeterminazione, il quale invece pone un limite teorico alle incertezze di misura, che prescinde dallo strumento di misura che usi o di quanto sei bravo a fare un esperimento, e che si quantifica con la relazione riportata da wrugg25. Ma sul fatto che a destra dell'uguale ci sia $h/(4\pi)$ o ci sia $1$ o ci sia $2657$ cambia poco dal punto di vista del significato fisico della relazione. E questo significato è proprio quello spiegato a parole da wrugg25 (almeno per posizione-momento), ossia che un pacchetto d'onda più è localizzato nello spazio meno lo è in frequenza e vice versa.
Il tutto può essere formalizzato (o meglio, postulato), parlando di operatori, autostati, autovalori, etc, ma il significato fisico è questo e si può spiegare benissimo a parole. Non mi fraintendere. Per fare fisica, la matematica è importantissima. Ma ogni concetto fisico prescinde dalla matematica che lo descrive ed è altrettanto importante saper parlare di fisica senza di essa. Anzi, è anche più difficile, perchè per poterlo fare bene, uno deve aver veramente capito cosa succede, non potendo invocare formule e dimostrazioni che parlino per lui.
Infine per me rimane che la polemica sull'espressione "dualismo onda-corpuscolo" è abbastanza sterile e mi spiace che ti sia stata rivolta (curiosità, in quale sede?).
Scusa se scrivo poco, sono sul cellulare.
Sul "ben definito", io in quel contesto ho trovato solo "definito", espressione che toglie l'ambiguità del "ben", per il quale a mio modo di vedere si richiama a contesti sperimentali reali che a quel punto andrebbero descritti. Insomma, in sede teorica il risultato è definito (è quello), in sede sperimentale è ben definito (entro l'incertezza).
Nella sede di due corsi di fisica (MQ e struttura della materia), una conferenza sulla didattica per la fisica a cui mi sono intrufolato ed una di carattere divulgativo.
Io, invece, non la trovo affatto sterile, in quanto le possibili soluzioni sono semplicissime: usare altri termini.
Come non sono d'accordo che si possa parlare bene e in maniera comprensibile di fisica senza usare la matematica. Qui però entriamo in un discorso che è un ambito molto importante nella didattica delma fisica ed ancor di più nella divulgazione. Quando leggevo (o leggo) libri divulgativi faccio spesso fatica a capire, mentre quando al liceo lessi un libro divulgativo di MQ che usava la matematica del liceo (divulgativo, ripeto) tutto mi fu molto meno magico: erano cose stranissime, ma quantomeno avevano un filo logico tra di loro invece di essere buttate lì a chiacchiere.
E ti ripeto che la mia polemica era sulla mancanza di quel formalismo di base, a mio (e non solo...) imprescindibile per capire e parlare di fisica. Hai ragione, mi sono espresso male e non si capiva, proverò a riformulare: per me il non senso è questa mancanza, che dato che può essere evitata in modo semplicissimo, non vedo quale sia il problema.
Sul "ben definito", io in quel contesto ho trovato solo "definito", espressione che toglie l'ambiguità del "ben", per il quale a mio modo di vedere si richiama a contesti sperimentali reali che a quel punto andrebbero descritti. Insomma, in sede teorica il risultato è definito (è quello), in sede sperimentale è ben definito (entro l'incertezza).
Nella sede di due corsi di fisica (MQ e struttura della materia), una conferenza sulla didattica per la fisica a cui mi sono intrufolato ed una di carattere divulgativo.
Io, invece, non la trovo affatto sterile, in quanto le possibili soluzioni sono semplicissime: usare altri termini.
Come non sono d'accordo che si possa parlare bene e in maniera comprensibile di fisica senza usare la matematica. Qui però entriamo in un discorso che è un ambito molto importante nella didattica delma fisica ed ancor di più nella divulgazione. Quando leggevo (o leggo) libri divulgativi faccio spesso fatica a capire, mentre quando al liceo lessi un libro divulgativo di MQ che usava la matematica del liceo (divulgativo, ripeto) tutto mi fu molto meno magico: erano cose stranissime, ma quantomeno avevano un filo logico tra di loro invece di essere buttate lì a chiacchiere.
E ti ripeto che la mia polemica era sulla mancanza di quel formalismo di base, a mio (e non solo...) imprescindibile per capire e parlare di fisica. Hai ragione, mi sono espresso male e non si capiva, proverò a riformulare: per me il non senso è questa mancanza, che dato che può essere evitata in modo semplicissimo, non vedo quale sia il problema.
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