Principio di Huygens-Fresnel
Salve a tutti,
che voi sappiate il principio di Huygens è derivabile in qualche modo dalle equazioni di Maxwell attraverso una dimostrazione analitica?
Se qualcuno ha riferimenti bibliografici o qualche link sono ben accetti.
che voi sappiate il principio di Huygens è derivabile in qualche modo dalle equazioni di Maxwell attraverso una dimostrazione analitica?
Se qualcuno ha riferimenti bibliografici o qualche link sono ben accetti.
Risposte
Forse si può anche fare, ma sinceramente non saprei come. Inoltre, al di là dello "sfizio matematico" non credo sia molto utile, perchè alla fine il principio di Huygens Fresnel vale per onde di ogni tipo, non solo quelle elettromagnetiche.
Al di là dello sfizio c'è un problema più serio (almeno per me).
Sul libro su cui sto studiando (Introduction to Optics - Pedrotti) la trattazione della diffrazione viene effettuata in modo "scalare".
In altre parole nessuno si preoccupa di vedere la polarizzazione del campo che fine fa.
Se ad esempio devo studiare un problema di questo tipo:
Un'onda piana incide su un piano infinitamente esteso opaco, con un buco rettangolare. La polarizzazione dell'onda piana incidente è lineare e parallela al piano: come sarà la polarizzazione del campo prodotto (secondo il principio di Huygens) da ogni singolo elemento infinitesimo di superficie del buco?
Sul libro su cui sto studiando (Introduction to Optics - Pedrotti) la trattazione della diffrazione viene effettuata in modo "scalare".
In altre parole nessuno si preoccupa di vedere la polarizzazione del campo che fine fa.
Se ad esempio devo studiare un problema di questo tipo:
Un'onda piana incide su un piano infinitamente esteso opaco, con un buco rettangolare. La polarizzazione dell'onda piana incidente è lineare e parallela al piano: come sarà la polarizzazione del campo prodotto (secondo il principio di Huygens) da ogni singolo elemento infinitesimo di superficie del buco?
Thank you!
Scusate se riapro questa discussione, ma ho un dubbio ancora attinente con Huygens-Fresnel, stavolta in forma scalare.
Se incido con un'onda piana su un piano infinito opaco ovunque tranne che in una sezione limitata lungo x:
[fcd][FIDOCAD]
LI 35 25 80 50 0
LI 80 50 80 125 0
LI 80 125 35 100 0
LI 35 100 35 25 0
LI 60 75 190 75 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 195 80 4 3 0 0 0 * z
TY 65 85 4 3 0 0 0 *
LI 60 75 60 10 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 65 10 4 3 0 0 0 * x
TY 65 85 4 3 0 0 0 *
LI 60 75 135 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 140 105 4 3 0 0 0 * y
TY 65 85 4 3 0 0 0 *
LI 35 50 80 70 0
LI 35 79 80 99 0
LI 45 54 35 40 0
LI 54 59 35 30 0
LI 64 63 49 33 0
LI 74 67 63 41 0
LI 73 47 80 65 0
LI 35 89 44 106 0
LI 37 81 53 110 0
LI 47 86 62 115 0
LI 69 95 80 124 0
LI 58 91 72 120 0
LI 74 99 80 114 0[/fcd]
L'integrale da risolvere è questo:
\(\displaystyle f(x,y,z)=\int_{S_a} \frac{A(x',y')e^{-jk|\underline{r}-\underline{r'}|}}{|\underline{r}-\underline{r'}|}\text{d}S \)
dove senza apici si indica il punto di osservazione e con gli apici il punto di sorgente dell'onda sferica elementare.
Approssimando secondo Fraunhofer per la fase:
\(\displaystyle |\underline{r}-\underline{r'}|=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \sim z\left (1+\frac{x^2-2xx'}{z^2}+\frac{y^2-2yy'}{z^2} \right ) \)
e per il modulo:
\(\displaystyle |\underline{r}-\underline{r'}|=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \sim z \)
si ottiene (\(\displaystyle A(x',y')=A_0 \)):
\(\displaystyle f(x,y,z) =\frac{A_0e^{-jkz}}{z}e^{-jk\frac{x^2+y^2}{2z}}\int_{x=-x_0}^{x_0} e^{jk\frac{x}{z}x'} \text{d}x' \int_{y=-\infty}^{\infty}e^{jk\frac{y}{z}y'} \text{d}y' \)
ovvero:
\(\displaystyle f(x,y,z) =2x_0\frac{A_0e^{-jkz}}{z}e^{-jk\frac{x^2+y^2}{2z}} \text{sinc}\left ( k\frac{x}{z}x_0 \right )\delta \left (k\frac{y}{z} \right ) \)
La soluzione che mi è stata invece proposta è privata della delta di dirac che compare sopra.
Non riesco bene e a vedere come si possa farne a meno togliendola di mezzo.
I casi in cui "si attiva" sono due: o guardo infinitamente lontano lungo z, o mi metto a guardare in y=0.
All'infinito il campo si è annullato, per cui ha senso considerare solo il caso y=0:
\(\displaystyle f(x,y,z) =2x_0\frac{A_0e^{-jkz}}{z}e^{-jk\frac{x^2}{2z}} \text{sinc}\left ( k\frac{x}{z}x_0 \right )\delta \left (y \right )
\)
Ma da qui comunque la delta deve rimanere, non può essere tolta magicamente.
Idee?
Se incido con un'onda piana su un piano infinito opaco ovunque tranne che in una sezione limitata lungo x:
[fcd][FIDOCAD]
LI 35 25 80 50 0
LI 80 50 80 125 0
LI 80 125 35 100 0
LI 35 100 35 25 0
LI 60 75 190 75 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 195 80 4 3 0 0 0 * z
TY 65 85 4 3 0 0 0 *
LI 60 75 60 10 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 65 10 4 3 0 0 0 * x
TY 65 85 4 3 0 0 0 *
LI 60 75 135 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 140 105 4 3 0 0 0 * y
TY 65 85 4 3 0 0 0 *
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LI 35 79 80 99 0
LI 45 54 35 40 0
LI 54 59 35 30 0
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LI 74 67 63 41 0
LI 73 47 80 65 0
LI 35 89 44 106 0
LI 37 81 53 110 0
LI 47 86 62 115 0
LI 69 95 80 124 0
LI 58 91 72 120 0
LI 74 99 80 114 0[/fcd]
L'integrale da risolvere è questo:
\(\displaystyle f(x,y,z)=\int_{S_a} \frac{A(x',y')e^{-jk|\underline{r}-\underline{r'}|}}{|\underline{r}-\underline{r'}|}\text{d}S \)
dove senza apici si indica il punto di osservazione e con gli apici il punto di sorgente dell'onda sferica elementare.
Approssimando secondo Fraunhofer per la fase:
\(\displaystyle |\underline{r}-\underline{r'}|=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \sim z\left (1+\frac{x^2-2xx'}{z^2}+\frac{y^2-2yy'}{z^2} \right ) \)
e per il modulo:
\(\displaystyle |\underline{r}-\underline{r'}|=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \sim z \)
si ottiene (\(\displaystyle A(x',y')=A_0 \)):
\(\displaystyle f(x,y,z) =\frac{A_0e^{-jkz}}{z}e^{-jk\frac{x^2+y^2}{2z}}\int_{x=-x_0}^{x_0} e^{jk\frac{x}{z}x'} \text{d}x' \int_{y=-\infty}^{\infty}e^{jk\frac{y}{z}y'} \text{d}y' \)
ovvero:
\(\displaystyle f(x,y,z) =2x_0\frac{A_0e^{-jkz}}{z}e^{-jk\frac{x^2+y^2}{2z}} \text{sinc}\left ( k\frac{x}{z}x_0 \right )\delta \left (k\frac{y}{z} \right ) \)
La soluzione che mi è stata invece proposta è privata della delta di dirac che compare sopra.
Non riesco bene e a vedere come si possa farne a meno togliendola di mezzo.
I casi in cui "si attiva" sono due: o guardo infinitamente lontano lungo z, o mi metto a guardare in y=0.
All'infinito il campo si è annullato, per cui ha senso considerare solo il caso y=0:
\(\displaystyle f(x,y,z) =2x_0\frac{A_0e^{-jkz}}{z}e^{-jk\frac{x^2}{2z}} \text{sinc}\left ( k\frac{x}{z}x_0 \right )\delta \left (y \right )
\)
Ma da qui comunque la delta deve rimanere, non può essere tolta magicamente.
Idee?
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