Principio di equivalenza e teorema di unicità
Lavoriamo con le equazioni di Maxwell nel dominio della frequenza.
Consideriamo un dominio aperto e limitato $ V $ con bordo $ \partial V $.
1. Il teorema di equivalenza mi dice che se le sorgenti di campo sono assegnate in $ V $ e se i campi nei punti di $ \partial V $ sono noti, allora posso calcolare il campo in ogni punto di $ V $ come (soluzione di Stratton-Chu):
$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V\left( \frac{\rho}{\epsilon}\nabla'\psi-j\omega\mu\psi\mathbf{J} \right)dV+\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V}(\mathbf{n}_0\cdot\mathbf{E})\nabla'\psi-j\omega\psi(\mathbf{n}_0\times\mathbf{B})+(\mathbf{n}_0\times\mathbf{E})\times\nabla'\psi)dS$$
$$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V\left( \mu\mathbf{J}\times\nabla'\psi \right)dV+\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V}(\mathbf{n}_0\cdot\mathbf{B})\nabla'\psi-j\frac{\omega\psi}{c^2}(\mathbf{n}_0\times\mathbf{E})+(\mathbf{n}_0\times\mathbf{B})\times\nabla'\psi dS$$
dove $\psi=\frac{e^{-jkR}}{R}$ è la funzione di Green.
2. Il teorema di unicità mi dice che se soltanto la componente tangenziale del solo campo elettrico (o magnetico) è nota nei punti di $ \partial V $, allora il campo nei punti di $ V $ è univocamente determinato.
Mi chiedo allora: perché sembra che per il teorema di equivalenza sia necessario conoscere l'intero campo (sia elettrico che magnetico e sia componenti normali che tangenziali) su $ \partial V $, mentre il teorema di unicità necessita di molte meno informazioni? È solo una questione di calcolo? Nel senso che forse è vero che servono meno informazioni per determinare univocamente il campo, ma poi per calcolarlo effettivamente non sappiamo come farlo se non abbiamo tutte le informazioni che il teorema di equivalenza richiede su $ \partial V $. E' così?
Consideriamo un dominio aperto e limitato $ V $ con bordo $ \partial V $.
1. Il teorema di equivalenza mi dice che se le sorgenti di campo sono assegnate in $ V $ e se i campi nei punti di $ \partial V $ sono noti, allora posso calcolare il campo in ogni punto di $ V $ come (soluzione di Stratton-Chu):
$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V\left( \frac{\rho}{\epsilon}\nabla'\psi-j\omega\mu\psi\mathbf{J} \right)dV+\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V}(\mathbf{n}_0\cdot\mathbf{E})\nabla'\psi-j\omega\psi(\mathbf{n}_0\times\mathbf{B})+(\mathbf{n}_0\times\mathbf{E})\times\nabla'\psi)dS$$
$$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V\left( \mu\mathbf{J}\times\nabla'\psi \right)dV+\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V}(\mathbf{n}_0\cdot\mathbf{B})\nabla'\psi-j\frac{\omega\psi}{c^2}(\mathbf{n}_0\times\mathbf{E})+(\mathbf{n}_0\times\mathbf{B})\times\nabla'\psi dS$$
dove $\psi=\frac{e^{-jkR}}{R}$ è la funzione di Green.
2. Il teorema di unicità mi dice che se soltanto la componente tangenziale del solo campo elettrico (o magnetico) è nota nei punti di $ \partial V $, allora il campo nei punti di $ V $ è univocamente determinato.
Mi chiedo allora: perché sembra che per il teorema di equivalenza sia necessario conoscere l'intero campo (sia elettrico che magnetico e sia componenti normali che tangenziali) su $ \partial V $, mentre il teorema di unicità necessita di molte meno informazioni? È solo una questione di calcolo? Nel senso che forse è vero che servono meno informazioni per determinare univocamente il campo, ma poi per calcolarlo effettivamente non sappiamo come farlo se non abbiamo tutte le informazioni che il teorema di equivalenza richiede su $ \partial V $. E' così?
Risposte
Dovrei preventivamente riguardare questi teoremi, più che altro per verificare che tutto sia nei termini che hai descritto. Se così fosse però non mi stupirebbe che l'unicità richieda meno informazioni. Starei ben attento però a dire che anche il peso di queste informazioni sia minore, non è solo questione di quantità. In generale parliamo sempre di problemi di natura differenziale. Il teorema di unicità di un problema di Cauchy non richiede chissà quante ipotesi. Ma poi, dopo aver assodato che la soluzione esiste ed è unica, il riuscire a trovarla può essere un altro paio di maniche. Se ho tempo in giornata leggo alla fonte questi teoremi per esserne sicuro, ma io leggerei la questione in tali termini.
"ZerOmega":
Se ho tempo in giornata leggo alla fonte questi teoremi per esserne sicuro
Ti ringrazio, un confronto mi fa sicuramente bene.
"ZerOmega":
io leggerei la questione in tali termini.
Quindi in sostanza mi stai dicendo che ci avevo visto giusto?
"Silent":
È solo una questione di calcolo? Nel senso che forse è vero che servono meno informazioni per determinare univocamente il campo, ma poi per calcolarlo effettivamente non sappiamo come farlo se non abbiamo tutte le informazioni che il teorema di equivalenza richiede su ∂V. E' così?
Dire che ho avuto giorni pieni è poco, scusami. Ho letto ora rapidamente quei teoremi e resto dell'idea che il grado di informazione differente sia semplicemente dovuto al fatto che un teorema assicura che il campo esiste ed è unico, l'altro fornisce anche l'espressione di tale campo.
Grazie del riscontro.
Per curiosità, puoi dirmi che testo di riferimento hai utilizzato per andare a rileggere questi teoremi? Mi interessa in particolare quello di unicità.
Per curiosità, puoi dirmi che testo di riferimento hai utilizzato per andare a rileggere questi teoremi? Mi interessa in particolare quello di unicità.
Praticamente dai miei "appunti" cresciuti negli anni. Alla base non ricordo da quale testo presi l'enunciato e la dimostrazione in sé, credo non fosse nemmeno italiano. Comunque il concetto fisico e matematico è racchiuso dentro la dimostrazione che è sempre uguale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo