Primo teorema di equivalenza per i vettori applicati
Ciao a tutti. Oggi abbiamo dimostrato in aula il primo teorema di equivalenza per i vettori applicati. La dimostrazione è brevissima ed immediata ma c'è un passaggetto che non ho capito, c'è qualcosa che non riesco a collegare 
Allora:
"Assegnato un sistema di vettori applicati, il sistema è sempre equivalente al proprio risultante applicato in un arbitrario punto $ T $ più una coppia il cui momento è pari al momento del sistema valutato rispetto al punto di applicazione del risultante (ovvero $ T $ )."
Prendiamo $ Sigma->(vec(R),vec(M_T)) $ e $ Sigma'->(vec(R'),vec(M'_T)) $ . Voglio dimostare che $ Sigma~ Sigma' $ . Ciò è vero se e solo se $ vec(R)=vec(R') $ e $ vec(M_T)=vec(M'_T) $ .
Posso scrivere $ vec(M'_T)=vec(R) xx (T-T)+vec(M_T)=vec(M_T $ e fino a qua ci sono.
Poi nei miei appunti trovo $ vec(R') = vec(R) +vec(v)-vec(v)=vec(R) $ .
Non capisco perchè si possa sommare e sottrarre il vettore $ vec(v) $
Grazie mille per l'aiuto!
Allora:
"Assegnato un sistema di vettori applicati, il sistema è sempre equivalente al proprio risultante applicato in un arbitrario punto $ T $ più una coppia il cui momento è pari al momento del sistema valutato rispetto al punto di applicazione del risultante (ovvero $ T $ )."
Prendiamo $ Sigma->(vec(R),vec(M_T)) $ e $ Sigma'->(vec(R'),vec(M'_T)) $ . Voglio dimostare che $ Sigma~ Sigma' $ . Ciò è vero se e solo se $ vec(R)=vec(R') $ e $ vec(M_T)=vec(M'_T) $ .
Posso scrivere $ vec(M'_T)=vec(R) xx (T-T)+vec(M_T)=vec(M_T $ e fino a qua ci sono.
Poi nei miei appunti trovo $ vec(R') = vec(R) +vec(v)-vec(v)=vec(R) $ .
Non capisco perchè si possa sommare e sottrarre il vettore $ vec(v) $
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
Non è ben chiaro perché dovresti farlo: o i due sistemi di vettori applicati sono equivalenti e ciò, per definizione, implica \(\mathbf{R}=\mathbf{R}'\) oppure da \(\mathbf{R}=\mathbf{R}'\) vuoi dimostrare l'equivalenza dei due sistemi e quindi \(\mathbf{R}=\mathbf{R}'\) è vero per ipotesi. Dunque non so perché dovresti aggiungere e togliere il vettore \(\mathbf{v}\), questione che comunque è, per rispondere alla tua domanda, del tutto lecita essendo un'operazione elementare, a patto che i due vettori \(\mathbf{v}\) e \(-\mathbf{v}\) abbiano la stessa retta d'azione.
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta. Quello che avremmo dovuto dimostrare è che i due sistemi di vettori applicati sono equivalenti. Ma $ Sigma~ Sigma' $ se e soltanto se $ R=R' $ , giusto?
Ora mi viene il dubbio, data la confusione fatta dal professore, che non sia una vera e propria "dimostrazione" quella che lui ha fatto ma una precisazione.
Ora mi viene il dubbio, data la confusione fatta dal professore, che non sia una vera e propria "dimostrazione" quella che lui ha fatto ma una precisazione.
Comunque si, le possibilità sono due:
O da $ Sigma~ Sigma'=>R=R'vv M_T=M'_T $
oppure
$ R=R'vv M_T=M'_T=>Sigma~ Sigma' $ (questa è quella che dovrei "dimostrare")
Quindi semplicemente sto sfruttando il fatto che in un sistema di vettori applicati l’aggiunta o la soppressione di una o più coppie di braccio nullo è un'operazione elementare lecita.
O da $ Sigma~ Sigma'=>R=R'vv M_T=M'_T $
oppure
$ R=R'vv M_T=M'_T=>Sigma~ Sigma' $ (questa è quella che dovrei "dimostrare")
Quindi semplicemente sto sfruttando il fatto che in un sistema di vettori applicati l’aggiunta o la soppressione di una o più coppie di braccio nullo è un'operazione elementare lecita.
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