Prima legge di keplero (da controllare x tesina)
Allora...
Come tesina porto le ipotesi cosmologiche e la dimostrazione della prima legge di Keplero, dato che il mio prof non ha potuto/voluto aiutarmi spero che qualcuno possa farlo qui...
io posto la dimostrazione, se è sbagliata qualche affermazione vi prego di correggere
Iniziamo
La prima legge di keplero afferma che i pianeti descrivono orbite ellittiche dove il sole occupa uno dei fuochi
Per dimostrare ciò è necessario introdurre la forma polare dei luoghi geometrici, tale forma utilizza come coordinate, preso un polo, la distanza da questo (detto raggio) e l'angolo che il polo forma con l'asse delle x (detto anomalia).
Prendiamo un'ellisse di equazione $x^2/a^2+y^2/b^2=1$
A questo punto scriviamo l'equazione passando in forma polare
$(c+rsin theta )^2/a^2+(rcos theta)^2/b^2=1$
Sviluppando tutto il calcolo si giunge alla foma
$r(a+c cos theta)=b^2$
o ancora meglio
$r(a+ sqrt(a^2 - b^2) cos theta)=b^2$
Dunque dimostreremo la prima legge di keplero a partire da questo punto, giungeremo a questa forma polare della conica
Analizzamo ora il moto di un pianeta in orbita, applichiamo il teorema della conservazione dell'energia
$1/2 mv^2-G (Mm)/r=E$
Dove $m$ è la massa del pianeta in orbita, $M$ invece è la massa del sole
Ora disegnamo la situazione descritta
Scomponiamo la velocità
$v = \{(v_r = v cos theta ),(V_ theta=v sin theta):}$
Consideriamo il sole come polo.
Ora volendo scrivere i componenti della velocità in forma polare osserviamo che $v_r$ è la variazione infinitesima del raggio, quindi $v_r=(dr)/dt$, mentre lungo la traiettoria infinitesima perpendicolare a $v_r$ il moto può considerarsi per il tratto di tempo infinitesiamle un moto circolare uniforme, dunque $v_theta=r (d theta)/dt$
Possiamo riscrivere ora la valocità in forma polare
$v = \{(v_r=(dr)/dt; ),(v_theta=r (d theta)/dt):}$
A questo punto sostituiamo queste equazioni della velocità nell'eqauzione della conservazione dell'energia
$1/2 m(((dr)/dt)^2 + (r (d theta)/dt)^2)-G (Mm)/r=E$
Ora osserviamo che il momento della forza nel sistema descritto è nullo dato che raggio vettore e forza sono antiparalleli, dunque il momento della forza è nullo. Il momento della forza si definisce come la derivata del momento angolare, dunque essendo la derivata nulla il momento angolare $p$ è costante.
Dunque $p=r m v sin theta$
ma $v_theta=r (d theta)/dt$
dunque $(d theta)/dt=(p r^2)/m$
Sostituendo questa forma nell'ultima equazione della conservazione dell'energia otteniamo:
$1/2 m(((dr)/dt)^2 + p^2/(m^2 r^2))=G (Mm)/r+E$
sviluppando i calcoli si giunge a
$(dr)/(dt)=sqrt( (2E)/m + (2GM)/r - p^2/(m^2 r^2))$
A questo punto poniamo a sistema
$\{((d theta)/dt=(p r^2)/m),((dr)/(dt)=sqrt( (2E)/m + (2GM)/r - p^2/(m^2 r^2)) ):}$
ed eseguiamo il rapporto fra le due equazioni
$(d theta)/(dr)= p/(m r^2) 1/ sqrt( (2E)/m + (2GM)/r - p^2/(m^2 r^2))$
facendo le seguenti sostituzioni
$b=sqrt(-(p^2)/(2Em))$ il segno negativo è giustificato dal fatto che in questo sistema l'energia è negativa
$a=-(GMm)/(2E)$
Con questa sostituzione riscriviamo il tutto come
$d theta=(dr)/(r^2) b/(sqrt(-1 + (2a)/r - (b^2)/(r^2))$
Integrando membro a membro otteniamo
$theta=arccos( (b^2 - ar)/ (r sqrt(a^2 - b^2)))$
sviluppando otteniamo
$cos theta=(b^2 - ar)/ (r sqrt(a^2 - b^2))$
quindi
$r(a+ sqrt(a^2 - b^2) cos theta)=b^2$
che è la forma polare dell'ellisse che avevamo trovato prima
CVD
Errori?
Qualcosa da correggere?
Son perplesso perchè l'ho rivista io, l'ho un pò adattata, non è stata presa e copiata da un testo...
Spero qualcuno mi aiuti
Come tesina porto le ipotesi cosmologiche e la dimostrazione della prima legge di Keplero, dato che il mio prof non ha potuto/voluto aiutarmi spero che qualcuno possa farlo qui...
io posto la dimostrazione, se è sbagliata qualche affermazione vi prego di correggere
Iniziamo
La prima legge di keplero afferma che i pianeti descrivono orbite ellittiche dove il sole occupa uno dei fuochi
Per dimostrare ciò è necessario introdurre la forma polare dei luoghi geometrici, tale forma utilizza come coordinate, preso un polo, la distanza da questo (detto raggio) e l'angolo che il polo forma con l'asse delle x (detto anomalia).
Prendiamo un'ellisse di equazione $x^2/a^2+y^2/b^2=1$
A questo punto scriviamo l'equazione passando in forma polare
$(c+rsin theta )^2/a^2+(rcos theta)^2/b^2=1$
Sviluppando tutto il calcolo si giunge alla foma
$r(a+c cos theta)=b^2$
o ancora meglio
$r(a+ sqrt(a^2 - b^2) cos theta)=b^2$
Dunque dimostreremo la prima legge di keplero a partire da questo punto, giungeremo a questa forma polare della conica
Analizzamo ora il moto di un pianeta in orbita, applichiamo il teorema della conservazione dell'energia
$1/2 mv^2-G (Mm)/r=E$
Dove $m$ è la massa del pianeta in orbita, $M$ invece è la massa del sole
Ora disegnamo la situazione descritta
Scomponiamo la velocità
$v = \{(v_r = v cos theta ),(V_ theta=v sin theta):}$
Consideriamo il sole come polo.
Ora volendo scrivere i componenti della velocità in forma polare osserviamo che $v_r$ è la variazione infinitesima del raggio, quindi $v_r=(dr)/dt$, mentre lungo la traiettoria infinitesima perpendicolare a $v_r$ il moto può considerarsi per il tratto di tempo infinitesiamle un moto circolare uniforme, dunque $v_theta=r (d theta)/dt$
Possiamo riscrivere ora la valocità in forma polare
$v = \{(v_r=(dr)/dt; ),(v_theta=r (d theta)/dt):}$
A questo punto sostituiamo queste equazioni della velocità nell'eqauzione della conservazione dell'energia
$1/2 m(((dr)/dt)^2 + (r (d theta)/dt)^2)-G (Mm)/r=E$
Ora osserviamo che il momento della forza nel sistema descritto è nullo dato che raggio vettore e forza sono antiparalleli, dunque il momento della forza è nullo. Il momento della forza si definisce come la derivata del momento angolare, dunque essendo la derivata nulla il momento angolare $p$ è costante.
Dunque $p=r m v sin theta$
ma $v_theta=r (d theta)/dt$
dunque $(d theta)/dt=(p r^2)/m$
Sostituendo questa forma nell'ultima equazione della conservazione dell'energia otteniamo:
$1/2 m(((dr)/dt)^2 + p^2/(m^2 r^2))=G (Mm)/r+E$
sviluppando i calcoli si giunge a
$(dr)/(dt)=sqrt( (2E)/m + (2GM)/r - p^2/(m^2 r^2))$
A questo punto poniamo a sistema
$\{((d theta)/dt=(p r^2)/m),((dr)/(dt)=sqrt( (2E)/m + (2GM)/r - p^2/(m^2 r^2)) ):}$
ed eseguiamo il rapporto fra le due equazioni
$(d theta)/(dr)= p/(m r^2) 1/ sqrt( (2E)/m + (2GM)/r - p^2/(m^2 r^2))$
facendo le seguenti sostituzioni
$b=sqrt(-(p^2)/(2Em))$ il segno negativo è giustificato dal fatto che in questo sistema l'energia è negativa
$a=-(GMm)/(2E)$
Con questa sostituzione riscriviamo il tutto come
$d theta=(dr)/(r^2) b/(sqrt(-1 + (2a)/r - (b^2)/(r^2))$
Integrando membro a membro otteniamo
$theta=arccos( (b^2 - ar)/ (r sqrt(a^2 - b^2)))$
sviluppando otteniamo
$cos theta=(b^2 - ar)/ (r sqrt(a^2 - b^2))$
quindi
$r(a+ sqrt(a^2 - b^2) cos theta)=b^2$
che è la forma polare dell'ellisse che avevamo trovato prima
CVD
Errori?
Qualcosa da correggere?
Son perplesso perchè l'ho rivista io, l'ho un pò adattata, non è stata presa e copiata da un testo...
Spero qualcuno mi aiuti
Risposte
Per farci leggere meglio il tutto ed evitare errori al posto di θ inserisci la sintassi giusta, ovvero $theta$ 
Non ho letto , però all'inizio trovo una imprecisione
i pianeti descrivono orbite ellittiche attorno al sole
meglio dire
... di cui il sole è uno dei fuochi
i pianeti descrivono orbite ellittiche attorno al sole
meglio dire
... di cui il sole è uno dei fuochi
infatti...ke stupido...comunque intendevo quello naturalmente...ora faccio l'edit
ok...domani ho l'orale...a questo punto speriamo sia corretta
comunque era corretta...l'ho portata come tesina e tutto ok...
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