Prima legge di Keplero

[dan952]

Ricordo brevemente cosa afferma:

I pianeti compiono, nel loro moto intorno al sole, orbite piane di forma ellittica, con il sole che occupa uno dei due fuochi

Purtroppo la dimostrazione operativa del professore non si capisce, non per mea culpa, dunque ne ho abbozzata una mia che mi piacerebbe esporvi casomai qualcuno trovasse qualche errore...

Salto la dimostrazione del fatto che le orbite sono piane, basta infatti mostrare che il vettore momento angolare è costante dunque non cambia la giacitura del piano che contiene i vettori $\ul(r)$ e $\ul(v)$.

Dunque possiamo studiare il moto di ogni pianeta in un sistema di riferimento considerando $z=0$, cioè nel piano $xOy$. Supponiamo che il sole ne occupi l'origine, $S-=O$, dunque sia solidale con esso, vogliamo ora calcolare il centro di massa fra $S$ e un generico pianeta $P$ posto a distanza $r$ da $S$, sia $M$ la massa di $S$ e $m$ piccolo quella di $P$ si ha:
$$r_{cm}=\frac{mr}{m+M}$$
Notare che poiché $M\ >\ >m$ si ha $r_{cm}~=0$, cioè il centro di massa sta nell'origine (in $S$) e quindi immobile. Ora la forza gravitazionale esercitata dal pianeta su $S$ è data da $\ul(F)_1=\frac{GMm}{r^3}\ul(r)$ e quella esercitata dal sole su $P$ è data da $\ul(F)_2=-\frac{GMm}{r^3}\ul(r)$, quindi $\ul(F)_1=-\ul(F)_2$ inoltre ricordando che $\ul(r)(t)=x(t)\hat(i)+y(t)\hat(j)$ dunque riscrivendo rispetto agli assi si ha:
${(F_{1x}=\frac{GMm}{(x^2+y^2)^{3/2}}x),(F_{1y}=\frac{GMm}{(x^2+y^2)^{3/2}}y):}$
per trovare la legge del moto di $P$ dobbiamo risolvere l'equazione differenziale $m\ul(\ddot(r))=-\frac{GMm}{r^3}\ul(r)$, ovvero $m\ddot(x)=-\frac{GMm}{(x^2+y^2)^{3/2}}x$, basta infatti risolvere l'equazione differenziale (variabili separate) rispetto a $x(t)$ e dovrebbe venire fuori una relazione tra $x(t)$ e $y(t)$ che riamanda all'ellisse con un fuoco nell'origine. Non ho verificato in realtà...

[donald_zeka]

Non ho controllato la soluzione di quelle equazioni differenziali, anche perché per ora non le so svolgere, ma se ti torna sempre un'ellisse ci dovrebbe essere un errore, infatti le orbite sono delle coniche e non necessariamente ellissi, per verificare che sono ellissi le soluzioni di quelle equazioni dovrebbero dipendere da un parametro energetico che quantifica le condizioni iniziali del sistema. In generale, in base a come l'ha risolto il mio professore, mi pare che per $E<0$, essendo $E$ l'energia meccanica del pianeta orbitante, l'orbita è ellittica.

[dan952]

Potresti postarmi per piacere il procedimento del tuo prof? Grazie

P.s. non l'ho risolta l'equazione, e pensandoci bene non mi sembra la strada giusta, forse sarebbe meglio studiare il problema in coordinate polari.

[donald_zeka]

Allora, questa trattazione vale nel generale per due qualsiasi corpi che si attraggono con una forza proporzionale a $1/r^2$, quindi nel caso di pianeti orbitanti attorno al sole basta sostituire la massa ridotta $mu$ del sistema con quella della terra dato che la massa del sole è molto più grande di quella della terra.

Si consideri due corpi $m_1$ e $m_2$ e sia $mu$ la massa ridotta, nel piano in cui si svolge il moto si consideri un sistema di riferimento di coordinate polari $r,theta$ centrato in $m_1$ (il sole praticamente) e si considerino le componenti della velocità $vec(v)$ secondo la direzione del raggio vettore $vec(r)$ da $m_1$ a $m_2$ ($v_r$) e secondo la direzione perpendicolare a $vec(r)$ ($v_theta$), risulta:

$v_r=(dr)/(dt)$ ; $v_theta=r(d theta)/(dt)$

Inoltre il momento angolare vale in modulo $L=mur|v_theta|=mur^2|(d theta)/(dt)|$ e l'energia meccanica del sistema vale $E=1/2muv^2-G(m_1m_2)/r$, sia E che L sono costanti del moto.

Vale inoltre: $v^2=v_r^2+v_theta^2=((dr)/(dt))^2+r^2((d theta)/(dt))^2$
Adesso si elimina la variabile t dall'equazione precedente:

$v^2=((dr)/(dt))^2+r^2((d theta)/(dt))=((dr)/(d theta)*(d theta)/(dt))^2+r^2((d theta)/(dt))^2=((d theta)/(dt))^2[r^2+((dr)/(d theta))^2]$

Adesso in base all'equazione del momento angolare si ha $((d theta)/(dt))^2=L^2/(mu^2r^4)$ e sostituendolo nell'equazione della velocità si ha:

$v^2=L^2/(mu^2r^2)[1+1/r^2((dr)/(d theta))^2]$

Sostituendo quest'espressione di v^2 nell'equazione dell'energia si ha, con un po' di calcoli:

$1/r^4((dr)/(d theta))^2=(2muE)/L^2+(2Gm_1m_2mu)/L^2(1/r)-1/r^2$

Ora si introduce la funzione $u(theta)=1/(r(theta))$ e derivando rispetto a $theta$risulta $(dr)/(d theta)=-r^2(du)/(d theta)$ e l'equazione differenziale di prima diventa:

$((du)/(d theta))^2=(2muE)/L^2+(2Gm_1m_2mu)/L^2u-u^2$

Posto $A=(2muE)/L^2$e $B=(2Gm_1m_2mu)/L^2$ l'equazione diventa:

$d theta=(du)/(+-sqrt(A+Bu-u^2))$

La soluzione generale di quesll'equazione è $u(theta)=1/2B-sqrt(A+1/4B^2)costheta$ che con un po' di calcoli si può scrivere come

$u=(1-ecostheta)/l$ ossia come $r=l/(1-ecostheta)$, ossia l'equazione di una conica, essendo $l=L^2/(Gm_1m_2mu)$ e $e=sqrt(1+(2muEL^2)/(Gm_1m_2mu)^2)$

[dan952]

Grazie mille