Pressione in un punto di un fluido

[chrischris]

ciao a tutti,
vi pongo il testo di un esercizio, per poter farvi delle domande

Un recipiente cubico di lato l = 12 cm contiene una massa m = 15,5 kg di mercurio (densita del mercurio
x). Determinare l'intesita della forza che si esercita su una superficie laterale del
contenitore

immaginiamo di porre il cubetto su un piano orizzontale (chi mi vieta di supporlo? nessuno )
ora il cubetto è in equilibrio (lo devo supporre dato che sono in statica dei fluidi) quindi le pressioni su tutte le facce del cubo (le due orizzontali e le 4 laterali) sono le stesse, giusto (altrimenti non sarebbe in equilibrio)? oppure no?
ipotizzando (ed aspettando la vostra conferma) che siano uguali le pressioni ed essendo le 6 facce con la stessa area (essendo un cubo) allora le forze agenti su ciascuna faccia (4 laterali e, soprattuto, le 2 orizzonatli) sono le stesse. giusto?
ma come è possibile che siano le stesse? ovvero sta qui il problema: sullle facce laterali (verticali) agiscono solo le forze di superficie,mentre su quelle 2 orizzontali agiscono le forze di volume e di superficie.
cosa sbaglio nel ragionamento?

grazie

[Faussone]

Se metti il cubo su un piano, hai che la risultante della pressione che agisce sulla faccia che poggia sul tavolo è bilanciata dalla reazione del tavolo, mentre la risultante delle pressioni sulle 4 facce laterali si bilancia. Sulla faccia superiore il mercurio non esercita alcuna forza ovviamente.

Comunque il problema ti chiede la risultante della forza su *una* faccia laterale, non al somma delle forze che il mercurio esercita sul cubo.

[chrischris]

si però il dubbio è: la forza che viene esercitata sulla faccia "superiore" (ipotizzo che tu intendessi una delle orizzontali) è uguale ad una laterale "verticale"? giusto?

[Faussone]

"chna1991":si però il dubbio è: la forza che viene esercitata sulla faccia "superiore" (ipotizzo che tu intendessi una delle orizzontali) è uguale ad una laterale "verticale"? giusto?

Non mi pare proprio... oppure non ho capito bene i termini del problema..

[chrischris]

allora quello che dico io è (ora tralascia se cubo è poggiato su un tavolo, dato che era solo un mio espediente per poter dire facce orizzontali e verticali...):
le pressioni agenti sulle 6 facce sono uguali dato che il cubo è in equilibrio, se non lo sarebbe. ma se le pressioni sono uguali, le aree sono uguali (ciascuna faccia del cubo), allora le forze agenti su ciascuna faccia sono uguali? sbaglio qualcosa nel ragionamento?

[Faussone]

Se il cubo è in equilibrio quello che puoi dire è che la risultante delle forze che il mercurio esercita sul cubo (più la reazione del piano) è nulla, non che le pressione che il mercurio esercita sulle varie facce è la stessa. Infatti la pressione non è costante dappertutto e ha lo stesso andamento solo sulle facce verticali (secondo la legge di Stevino).

[chrischris]

allora non ho capito la soluzione del problema...
te la posto e ti faccio le domande relative:

Indicando con V e h il volume del mercurio e la sua altezza nel recipiente, rispettivamente, si ha:
V =m/d (d = dens mercurio) h = V/ l^2 
Dividendo la superficie laterale del contenitore in tante striscie infinitesime (parallele alla superficie libera del liquido) di altezza dh' (essendo h' la distanza della striscia dalla superficie libera del liquido:

[tex]0 < h' < h[/tex]

e area dS = l dh', su ognuna di esse si esercita una forza normale 

[tex]dF = pdS = (p_0 +d g h ') dS[/tex],

 essendo 

[tex]p_0[/tex]

 la pressione atmosferica sulla superfice libera del liquido 

( [tex]p_0 = 10^5 Pa[/tex] ); pertanto:
$ F = int_(0)^(h) (p_0 + dgh')l dh' $

ma così non si è calcolato la forza che agisce sulla (una) faccia "orizzontale" (perpendicolare all'accelerazione di gravità)? il testo non chiede la forza su una superficie laterale (verticale)?

[Faussone]

Mi pare sia tutto congruente.
Quella è proprio la risultante su una faccia verticale. Non capisco cosa non ti è chiaro.

[chrischris]

il reale dubbio è:
[tex]dF = pdS = (p_0 +d g h ') dS[/tex]
su una faccia "ovviamente" agisce [tex]dF = p dS[/tex] e qui non ci piove, quello che non caspisco è perchè
[tex]p = (p_0 +d g h ')[/tex] ??? ovvero su una faccia laterale che agisce l'accelerazione di gravità?

[Faussone]

$p=p_0+rho g h$ è la legge di Stevino che stabilisce come aumenta la pressione in un fluido (in un campo gravitazionale uniforme) all'aumentare della profondità $h$.

[chrischris]

ora penso di aver capito!
chiedo conferma, non vorrei farmi venire il risultato:
la pressione è una grandezza scalare e non vettoriale, quindi la pressione è la "stessa" basta che considero superfici isobariche ( in questo caso penso a superfici parallele al piano orizzontale)
poi sapendo che [tex]dF = p dS[/tex] posso sostituire a "P" [tex]p = P_0 + dgh[/tex] tanto non mi interessa sapere se sto considerando la parete verticale o orizzontale, dato che la pressione è una grandezza scalare e non vettoriale, quindi non dipende da che faccia prendo, l'importante è stare su superifici isobariche.ho sbagliato?

[MBUnitn]

"chna1991":ora penso di aver capito!
chiedo conferma, non vorrei farmi venire il risultato:
la pressione è una grandezza scalare e non vettoriale, quindi la pressione è la "stessa" basta che considero superfici isobariche ( in questo caso penso a superfici parallele al piano orizzontale)
poi sapendo che dF=pdS posso sostituire a "P" p=P0+dgh tanto non mi interessa sapere se sto considerando la parete verticale o orizzontale, dato che la pressione è una grandezza scalare e non vettoriale, quindi non dipende da che faccia prendo, l'importante è stare su superifici isobariche.ho sbagliato?

Non hai sbagliato affatto, quella è la motivazione! Poi come giustamente avevi intuito, la pressione sull fondo del recipiente è $P_1 = P_0 + rho g h$, mentre quella sulle pareti laterali è $P_2 = int_{0}^H (P_o + rho g h )ldh = P_o Hl + \frac{rho g H^2l}{2}$, quindi $P_1$ è diverso da $P_2$. Complessivamente però le pressioni esercitate sulle faccie verticali sono uguali e opposte a due a due, mentre la reazione vincolare del piano a cui è appoggiato il recipiente provvede ad equilibrare la forza di pressione sul fondale, e di conseguenza il recipiente rimane in equilibrio.