Pozzo quantistico
Ciao a tutti allora studiando per l'esame di fondamenti di fisica teorica sono al capitolo dei problemi unidimensionali.
In particolare ora,come dal titolo,sto affrontando il problema del pozzo quantistico di questo tipo:
$V(x) = \{(-V_0, per |x| < a ),(0 ,per |x|>a):}$
L'approccio ho cisto essere sempre lo stesso ovvero a seconda di come avremo il potenziale avremo una equazione di schrodinger diversa di cui poi dovremo calcolare le soluzioni.
In particolare mi sono bloccato nel caso in cui l'energia cinetica della particella sia minore di zero,o meglio: $-V_0<= E < 0$
Le equazioni di schr. per le due regioni (quella interna al pozzo e quella esterna a potenziale nulla) sono :
$d^2 phi(x) / dx^2 = -alpha^2 phi(x)$ per $|x|
$d^2 phi(x) / dx^2 =beta^2 phi(x)$ per $|x|>a$
dove ho considerato per questioni di simmetria solo il semiasse positivo.
le soluzioni sono:
soluzioni pari soluzioni dispari
$phi(x) = A cos (alpha x)$ per $0
$phi(x) = C e^(-beta x)$ per $x>a$ $phi(x)=Ce^(-beta x)$ $x>a$
Ora per le condizioni al contorno che devo essere tali che la funzione d'onda e la sua derivata sia continua anche in $x = +-a$
avremo dunque:
$alpha tan(alpha a) = beta$
$alpha cot(alpha a) = -beta$
ora per trovare i livelli di energia poniamo: $psi = alpha a$ e $eta = beta a$.
da cui:
$psi tan(psi) = eta$
$psi cot(psi) = -eta$
Il testo a questo punto dice che sia $psi$ che $eta$ sono positive(e qui ok) e inoltre deve valere:$ psi^2 + eta^2 = iota^2$
ecco questa ultima condizione non la capisco proprio...sarebbe una circonferenza e mi permetterà di risolvere il sistema ma da dove viene questa condizione=?
In particolare ora,come dal titolo,sto affrontando il problema del pozzo quantistico di questo tipo:
$V(x) = \{(-V_0, per |x| < a ),(0 ,per |x|>a):}$
L'approccio ho cisto essere sempre lo stesso ovvero a seconda di come avremo il potenziale avremo una equazione di schrodinger diversa di cui poi dovremo calcolare le soluzioni.
In particolare mi sono bloccato nel caso in cui l'energia cinetica della particella sia minore di zero,o meglio: $-V_0<= E < 0$
Le equazioni di schr. per le due regioni (quella interna al pozzo e quella esterna a potenziale nulla) sono :
$d^2 phi(x) / dx^2 = -alpha^2 phi(x)$ per $|x|
$d^2 phi(x) / dx^2 =beta^2 phi(x)$ per $|x|>a$
dove ho considerato per questioni di simmetria solo il semiasse positivo.
le soluzioni sono:
soluzioni pari soluzioni dispari
$phi(x) = A cos (alpha x)$ per $0
$phi(x) = C e^(-beta x)$ per $x>a$ $phi(x)=Ce^(-beta x)$ $x>a$
Ora per le condizioni al contorno che devo essere tali che la funzione d'onda e la sua derivata sia continua anche in $x = +-a$
avremo dunque:
$alpha tan(alpha a) = beta$
$alpha cot(alpha a) = -beta$
ora per trovare i livelli di energia poniamo: $psi = alpha a$ e $eta = beta a$.
da cui:
$psi tan(psi) = eta$
$psi cot(psi) = -eta$
Il testo a questo punto dice che sia $psi$ che $eta$ sono positive(e qui ok) e inoltre deve valere:$ psi^2 + eta^2 = iota^2$
ecco questa ultima condizione non la capisco proprio...sarebbe una circonferenza e mi permetterà di risolvere il sistema ma da dove viene questa condizione=?
Risposte
Tieni presente che
\(\displaystyle \alpha = \sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2 }}\)
\(\displaystyle \beta = \sqrt{\frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2 }}\)
e che quindi non sono quantità indipendenti. Adesso cerca di eliminare $E$ dal sistema precedente e vedrai che trovi l'equazione di una circonferenza. Moltiplicando poi per $a^2$ elimini le dimensioni e trovi l'espressione per il "raggio" \(\iota\).
\(\displaystyle \alpha = \sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2 }}\)
\(\displaystyle \beta = \sqrt{\frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2 }}\)
e che quindi non sono quantità indipendenti. Adesso cerca di eliminare $E$ dal sistema precedente e vedrai che trovi l'equazione di una circonferenza. Moltiplicando poi per $a^2$ elimini le dimensioni e trovi l'espressione per il "raggio" \(\iota\).
capito grazie mille!!!!
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