Potere delle punte

[oleg.fresi]

Sui conduttori che presentano delle curvature, si verifica che le cariche si addensano proprio in quelle zone. Il caso più semplice da dimostrare è quello che propongono tutti i libri, ovvero le due sfere cariche collegate da un filo conduttore. Ma come si dimostra questa proprietà in generale?

[oleg.fresi]

Nessuno?

[Gabrio2]

Cerca bene nel forum che hanno risposto con dettagli più' volte
Se il raggio e' piccolo la densità' di carica aumenta.

[oleg.fresi]

Cosa dovrei cercare esattamente? Perchè potere delle punte non produce risultati utili.

[Gabrio2]

Forse van der Graaf -:)
Qui' una, ma se cerchi sfere conduttrici...

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=110045

[oleg.fresi]

Ho controllato, ma nelle discussioni non si parla di questo.

[axpgn]

Io ho trovato questi. per esempio …

https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=203880&p=8437806&hilit=punte#p8437806
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=176780&p=8287266&hilit=punte#p8287266
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=53736&p=386143&hilit=punte#p386143
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=48282&p=350873&hilit=punte#p350873

[Gabrio2]

Come no, van der Graaf si basa su questo
E il link che ti ho postato ha la soluzione passaggio per passaggio

[axpgn]

@Gabrio
Non avevi postato nessun link prima ...

[oleg.fresi]

@Gabio, si all'inizio non c'era il link ma poi hai corretto. Ma la discussione a cui ti riferisci parla delle sfere cariche, che come ho detto all'inizio conoscevo già e mi interessava il caso generale. Nell'ultimo link postato da axpgn si accenna alla geometria differenziale e varietà "spiegazzate". Anche se non ho ancora gli strumenti matematici per capire tale dimostrazione ma vorrei conque vederla e capire intuitivamente si cosa si basa. Se sapete a quale teorema si riferisce fatemelo sapere. Grazie a tutti!

[Gabrio2]

Guarda, allora devi cercare di capire cosa sia una punta più' che altro
E va che indipendentemente dalla forma, la densita' di carica aumenta più' e' piccolo il raggio.
Se non sai cosa e' una densita' di carica......
Hai una quantità' estensiva, la carica, questa ha una densita' che e' una proprietà'' intensiva, che si ottiene dividendo la carica per la superficie...... che meraviglia, dipenderà' da un R.

[oleg.fresi]

Ma matematicamente parlando, cos'è una punta? Il fatto che la densità di carica aumenta al diminuire del raggio è abbastanza intuitiva, ma andrebbe geometricamente dimostrata a prescindere dalla forma

[Gabrio2]

Ascolta, una superficie e' funzione come minimo di r, e una punta e' una superficie con r piccolo, matematicamente
Se dividi per una cosa piccola tendi a numeri molto grandi, che altro vuoi come dimostrazione
Credo che tu non abbia compreso bene nemmeno le sfere cariche (il link sii chiama infatti effetto punte)

[oleg.fresi]

Ok, ho capito il ragionamento intuitivo. Ma potresti postarmi un link con la dimostrazione matematica?

[Quinzio]

"ZfreS":Ma matematicamente parlando, cos'è una punta? Il fatto che la densità di carica aumenta al diminuire del raggio è abbastanza intuitiva, ma andrebbe geometricamente dimostrata a prescindere dalla forma

Invece di parlare di superfici potremmo parlare di curve in un piano e di densita' di carica lineari. Curve fatte ovviamente di materiale conduttore nel quale sono libere di muoversi delle cariche.
Per semplificare ancora di piu' il ragionamento, senza perdere di generalita', possiamo limitarci al caso di curve convesse.
Il ragionamento e' simile: in una curva semplice e convessa le cariche tendono ad addensarsi nei punti a raggio di curvatura minore che nel resto della curva.
Il concetto di punta puo' essere formalizzato come un punto della curva a raggio di curvatura nullo o zero.
Una dimostrazione non rigorosa del potere dispersivo o addensante delle punte puo' essere la seguente.
Sia una curva sul piano xy composta da due segmenti di retta e avente equazione
$y = |x|$
La curva si chiude poi all'infinito, ma non ci interessa nel resto della discussione.
In base alla definizione che ho dato prima una punta e' presente in $(0, 0)$.
Si immagini che sulla curva sia presente una distribuzione uniforme di carica.
Ora si prendiamo una retta $y=k$ che divide la curva in una parte superiore e inferiore.
Una carica in prossimita' delle coordinate $(k, k)$ subisce la repulsione sia della parte inferiore che della parte superiore.
E' evidente pero' come le cariche siano in netta maggioranza nella parte superiore, che abbiamo ipotizzato si estende all'infinito, e invece siano in numero limitato nella parte inferiore. E' chiaro che sulla carica in $(k, k)$ agiscono delle forze la cui risultante e' orientata verso la parte inferiore, siccome le cariche circostanti esercitano una forza repulsiva.
Le cariche sulla curva tendono quindi a muoversi verso la punta, finche' non si raggiunge un equilibrio dovuto alla maggior densita' di cariche nei pressi della punta.

E questo conclude questa dimostrazione pseudo-matematica.
Ti e' piu' chiaro adesso ?

[oleg.fresi]

Si Quinzio, la spiegazione mi è chiarissima! Ma vedere la dimostrazione rigorosa matemtica era una sempice curiosità. Grazie mille!

[Gabrio2]

Ma che dimostrazione vuoi?
Te lo abbiamo detto in tutti i modi.
Ho perso le speranze che tu lo capisca
Bella e originale, complimenti Quinzio

[oleg.fresi]

Certo che l'ho capita, ma pensavo che fosse un modo per semplificare quella completa. In ogni caso grazie davvero per avermelo spiegato!