Potenziali elettromagnetici e condizione di Lorentz
se ho ben capito, la condizione di Lorentz sui potenziali elettromagnetici $divA + epsilon mu del/(delt) phi = 0$ (con la lettera maiuscola indico sempre dei vettori, of course) è necessaria per far sì che i potenziali $phi$ ed $A$ soddisfino delle equazioni delle onde non omogene
$nabla^2 phi - epsilon mu del^2/(delt)^2 phi - pho/epsilon = 0$
$nabla^2 A- epsilon mu del^2/(delt)^2 A - mu J = 0$
simili a quelle dei campi elettrico e magnetico
$nabla^2 E - epsilon mu del^2/(delt)^2 E - sigma mu del/(delt) E = 0$
$nabla^2 H - epsilon mu del^2/(delt)^2 H - sigma mu del/(delt) H = 0$
così che i potenziali si propaghino alla stessa velocità dei campi $v=(epsilon mu)^(-1/2)$
con un'altra condizione di gauge cosa accadrebbe?
da un lato le equazioni del campo elettromagnetico resterebbero invariate in quanto derivano unicamente dalle equazioni di Maxwell... dall'altro i potenziali risponderebbero ad una diversa legge di propagazione e gli stessi potenziali ritardati di Lienerd-Wiechert avrebbero una forma dipendente da $t' = t-|r-r'|/v$ con v diverso da $c=(epsilon mu)^(-1/2)$
il tutto è palesemente anti-intuitivo (dobbiamo quindi ringraziare Lorenz)
mi chiedo pertanto (oltre ad una piccola conferma di ciò che ho esposto sopra): a cosa diavolo servono le teorie di gauge?
$nabla^2 phi - epsilon mu del^2/(delt)^2 phi - pho/epsilon = 0$
$nabla^2 A- epsilon mu del^2/(delt)^2 A - mu J = 0$
simili a quelle dei campi elettrico e magnetico
$nabla^2 E - epsilon mu del^2/(delt)^2 E - sigma mu del/(delt) E = 0$
$nabla^2 H - epsilon mu del^2/(delt)^2 H - sigma mu del/(delt) H = 0$
così che i potenziali si propaghino alla stessa velocità dei campi $v=(epsilon mu)^(-1/2)$
con un'altra condizione di gauge cosa accadrebbe?
da un lato le equazioni del campo elettromagnetico resterebbero invariate in quanto derivano unicamente dalle equazioni di Maxwell... dall'altro i potenziali risponderebbero ad una diversa legge di propagazione e gli stessi potenziali ritardati di Lienerd-Wiechert avrebbero una forma dipendente da $t' = t-|r-r'|/v$ con v diverso da $c=(epsilon mu)^(-1/2)$
il tutto è palesemente anti-intuitivo (dobbiamo quindi ringraziare Lorenz)
mi chiedo pertanto (oltre ad una piccola conferma di ciò che ho esposto sopra): a cosa diavolo servono le teorie di gauge?
Risposte
30 visualizzazioni e 0 risposte?
UP!
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"wedge":
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Adesso son 37 ma sempre 0 risposte ! Non è una domanda facile ( eufemismo )
stamane con qualche piccolo suggerimento dall'alto ho approfondito la questione.
appena sarò un po' più lucido di ora posterò qualcosa, alla memoria dei posteri.
appena sarò un po' più lucido di ora posterò qualcosa, alla memoria dei posteri.
riporto in auge questo one-man-topic, poichè avevo scritto una piccola castroneria (dopo questo intervento spero d'avere la coscienza a posto)
con una diversa condizione di gauge i potenziali elettromagnetici non vedono variata la velocità di propagazione ma la stessa loro forma funzionale
esaminiamo ad esempio A, dalla quarta eq di Maxwell
$ rotH = J + (del)/(delt) D$
ossia $rot rot A = mu J + epsilon mu (del)/(delt) [ - grad phi - (del)/(delt)A ] $
che per una nota identità vettoriale che mi chiedo quanti studenti abbiano mai avuto la briga di dimostrare (io onestamente non l'ho mai fatto) diventa
$grad div A - nabla^2 A = mu J - epsilon mu (del^2)/(delt^2) A - grad (del)/(delt) phi $
se non introduciamo l'identità di Lorentz possiamo notare che al secondo membro resta il termine col gradiente e l'elegante forma funzionale equivalente a quella di H e E viene "sporcata" da un termine aggiuntivo (che credo rappresenti una relazione dissipativa)
questo è un piccolo passo, spero un giorno di poter approfondire la questione come merita
con una diversa condizione di gauge i potenziali elettromagnetici non vedono variata la velocità di propagazione ma la stessa loro forma funzionale
esaminiamo ad esempio A, dalla quarta eq di Maxwell
$ rotH = J + (del)/(delt) D$
ossia $rot rot A = mu J + epsilon mu (del)/(delt) [ - grad phi - (del)/(delt)A ] $
che per una nota identità vettoriale che mi chiedo quanti studenti abbiano mai avuto la briga di dimostrare (io onestamente non l'ho mai fatto) diventa
$grad div A - nabla^2 A = mu J - epsilon mu (del^2)/(delt^2) A - grad (del)/(delt) phi $
se non introduciamo l'identità di Lorentz possiamo notare che al secondo membro resta il termine col gradiente e l'elegante forma funzionale equivalente a quella di H e E viene "sporcata" da un termine aggiuntivo (che credo rappresenti una relazione dissipativa)
questo è un piccolo passo, spero un giorno di poter approfondire la questione come merita
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