Potenziale vettore ritardato

[frapp1]

Buongiorno a tutt*,
al corso di Complementi di Elettromagnetismo abbiamo affrontato il concetto dei potenziali ritardati.
Mi sono perso nello svolgimento del calcolo della divergenza del campo $ vec(A) $, in particolare al punto in cui bisogna integrare per parti.

Queste sono le premesse:

$ \vec{A}=\mu /(4pi) \int ([\vec{J(\vec{r'})}])/(R)dV' $

$ R=|vec(r)-vec(r')| $

$ grad\cdot vec(A)=mu/(4pi) int(grad_r (1/R)\cdot vec(J)+1/R(partial vec(J)) /( partialt )\cdotgrad_r (-R/c))dV' $

So che per prima si passa da $grad_r$ a $grad_r'$ e poi si integra per parti arrivando al risultato (in cui si è trascurato i termini di bordo che applicando il teorema della divergenza diventano integrali di superficie e si annullano):

$ grad\cdot vec(A)=mu/(4pi) int(1/R grad_r (vec(J))+1/R(partial vec(J)) /( partialt )\cdotgrad_r (-R/c)-1/R(partial vec(J)) /( partialt )\cdotgrad_r (-R/c))dV' $
P.s. il secondo e il terzo termine si annullano a vicenda

A me manca il passaggio intermedio, perchè le volte in cui ho provato a ricavarmelo non arrivo a questi termini.

Qualcuno può mostrarmi il calcolo intermedio? Credo che il mio problema sia nell'integrazioni per parti trattando $ grad $, ma mi trovo molto spaesato da questo risultato.

Grazie a chiunque voglia aiutarmi!

Buona giornata!
frapp

[ingres]

Guarda se in questa soluzione trovi qualche spunto

https://www.ifsc.usp.br/~strontium/Publ ... entz08.pdf

[Lampo1089]

Domanda ignorante: dato che la divergenza del potenziale vettore dipende dalla scelta del gauge, ed essendo la soluzione espressa nella gauge di Lorentz, il risultato non dovrebbe essere più che immediato? (più tardi lo scrivo, dal telefono è piuttosto scomodo...)

ps intendo che, nella gauge di lorentz

\[
\nabla \cdot \vec{A} + \frac{\partial V}{\partial t} = 0
\]

deve valere quindi

\[
\nabla \cdot \vec{A} = - \frac{\partial V}{\partial t} = - \int d^3 r^\prime \frac{1}{4\pi} \frac{\partial \rho}{\partial t}(\vec{r}^\prime,t_r)\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}^\prime|} = \int d^3 r^\prime \frac{1}{4\pi}\frac{\left(\nabla^\prime \cdot \vec{J}\right)(\vec{r}^\prime, t_r)} {|\vec{r} - \vec{r}^\prime|}
\]

dove nel secondo passaggio ho usato l'equazione di continuità della corrente e il pedice r indica il tempo ritardato.