Potenziale vettore di una spira quadrata
Buona sera.
Stavo studiando il dipolo magnetico e sul mio libro viene spiegato in modo un po' troppo approssimativo, e senza alcun conto,
come ricavarsi il potenziale vettore in un punto lontano da una spira (scelta quadrata) percorsa da corrente.
Non arrendendomi e spulciando un po' in giro, ho trovato l'impostazione (il calcolo dell'integrale l'ho svolto) per il potenziale vettore di una spira a forma di circonferenza e anche qui mi è sorto qualche dubbio.
Comunque confrontando i risultati si deduce che il potenziale vettore sia proporzionale all'area della spira.
Scrivo intanto come ho impostato l'esercizio per la spira di raggio $r'$.
La spira giace sul piano xy, centrata nell'origine del $SdR( Oxyz )$, $P$ sia un punto di raggio vettore $\vec{r}=(x,y,z)$, e sia $\theta$ l'angolo formato tra l'asse y ( positivo ) ed $\vec{r}'$ (nel IV quadrante). Infine sia $d\vec{l}$ lo spostamento infinitesimo lungo la spira.
$\vec{A}(\vec{r})=[\mu_0 I]/[4\pi] \oint_C [d\vec{s}]/[|\vec{r}-\vec{r}'|] $
$|\vec{r}-\vec{r}'|^-1 = [(x-r'sin\theta)^2+(y-r'cos\theta)^2+z^2]^(-1/2)$
Sviluppando i quadrati e portando fuori $1/r$, ottengo:
$|\vec{r}-\vec{r}'|^-1 = 1/r [1+(r'^2)/r^2 -(2r')/r^2(xsen\theta+ycos\theta)]^(-1/2)$
Ora mi riconduco all'espansione in serie di Taylor $(1+x)^\alpha=1+\alphax+...$ dove $\alpha=-1/2$ e $x=(r'^2)/r^2 -(2r')/r^2(xsen\theta+ycos\theta)$ e mi fermo al termine lineare, ottenendo:
$|\vec{r}-\vec{r}'|^-1 =1/r [1+(r')/r^2 (xsin\theta+ycos\theta)]$
E fin qui nessun problema. Il dubbio sorge quando devo scrivere $d\vec{s}$.
Il suo modulo vale $ds=r'd\theta$ e io porrei le sue componenti come $d\vec{s}=r'd\theta(cos\theta, sen\theta)$, com'è l'usuale parametrizzazione della circonferenza.
Svolgendo però l'integrale, non mi torna il risultato:
$A_x = [\mu_0I]/[4\pi] \int_{0}^{2\pi} (ds_x)/|\vec{r}-\vec{r}'|= [\mu_0I]/[4\pi] \int_{0}^{2\pi} [r'cos\theta]/r [1+(r')/r^2 (xsin\theta+ycos\theta)]d\theta=[\mu_0I]/[4\pi] \int_{0}^{2\pi} [r'^2]/r^3 ycos^2\thetad\theta$
$ =[\mu_0I]/[4\pi] [r'^2y]/r^3 [[\theta+ sin\thetacos\theta]/2]_{0}^{2\pi}$
E dunque mi viene
$A_x = [\mu_0I]/[4\pi] \pir'^2 y/[r^3]$ /*Manca un segno - */
Mentre per $A_y$ torna tutto:
$A_y = [\mu_0I]/[4\pi] \pir'^2 x/[r^3]$
Questo era uno dei due dubbi che mi sono sorti riguardo l'argomento.
L'altro dubbio è: se io non sapessi che il potenziale vettore dipende dall'area della spira, e volessi calcolare esplicitamente l'integrale nel caso di una spira quadrata, come dovrei parametrizzare il mio sistema? Per il cerchio (o circonferenza, per i più pignoli) è standard: con le coordinate polari esprimo i punti della circonferenza e di conseguenza esprimo in funzione di esse le altre distanze in gioco. Tuttavia, forse per una mia mancanza nella capacità di parametrizzare curve di ogni genere, per curve che non usano direttamente coordinate polari, sferiche o cilindriche (nel caso di superfici) non so come procedere.
Ad esempio come parametrizzo un cubo se voglio calcolarmi il flusso del campo elettrico attraverso una sua faccia? logica vuole: le facce sono 6, e se Q è la carica contenuta nella superficie del cubo, il flusso attraverso una faccia è $\Phi_E=Q/(6\epsilon_0)$, ma se volessi con estrema pignoleria fare il calcolo per esteso?
Spero di aver chiarito al meglio le mie difficoltà, e spero che possiate darmi una mano.
Più che altro mi interessa capire come ragionare, non tanto la soluzione al problema che già ho, peraltro.
Grazie a tutti,
Andrea
PS: sono uno studente della facoltà di Fisica
Stavo studiando il dipolo magnetico e sul mio libro viene spiegato in modo un po' troppo approssimativo, e senza alcun conto,
come ricavarsi il potenziale vettore in un punto lontano da una spira (scelta quadrata) percorsa da corrente.
Non arrendendomi e spulciando un po' in giro, ho trovato l'impostazione (il calcolo dell'integrale l'ho svolto) per il potenziale vettore di una spira a forma di circonferenza e anche qui mi è sorto qualche dubbio.
Comunque confrontando i risultati si deduce che il potenziale vettore sia proporzionale all'area della spira.
Scrivo intanto come ho impostato l'esercizio per la spira di raggio $r'$.
La spira giace sul piano xy, centrata nell'origine del $SdR( Oxyz )$, $P$ sia un punto di raggio vettore $\vec{r}=(x,y,z)$, e sia $\theta$ l'angolo formato tra l'asse y ( positivo ) ed $\vec{r}'$ (nel IV quadrante). Infine sia $d\vec{l}$ lo spostamento infinitesimo lungo la spira.
$\vec{A}(\vec{r})=[\mu_0 I]/[4\pi] \oint_C [d\vec{s}]/[|\vec{r}-\vec{r}'|] $
$|\vec{r}-\vec{r}'|^-1 = [(x-r'sin\theta)^2+(y-r'cos\theta)^2+z^2]^(-1/2)$
Sviluppando i quadrati e portando fuori $1/r$, ottengo:
$|\vec{r}-\vec{r}'|^-1 = 1/r [1+(r'^2)/r^2 -(2r')/r^2(xsen\theta+ycos\theta)]^(-1/2)$
Ora mi riconduco all'espansione in serie di Taylor $(1+x)^\alpha=1+\alphax+...$ dove $\alpha=-1/2$ e $x=(r'^2)/r^2 -(2r')/r^2(xsen\theta+ycos\theta)$ e mi fermo al termine lineare, ottenendo:
$|\vec{r}-\vec{r}'|^-1 =1/r [1+(r')/r^2 (xsin\theta+ycos\theta)]$
E fin qui nessun problema. Il dubbio sorge quando devo scrivere $d\vec{s}$.
Il suo modulo vale $ds=r'd\theta$ e io porrei le sue componenti come $d\vec{s}=r'd\theta(cos\theta, sen\theta)$, com'è l'usuale parametrizzazione della circonferenza.
Svolgendo però l'integrale, non mi torna il risultato:
$A_x = [\mu_0I]/[4\pi] \int_{0}^{2\pi} (ds_x)/|\vec{r}-\vec{r}'|= [\mu_0I]/[4\pi] \int_{0}^{2\pi} [r'cos\theta]/r [1+(r')/r^2 (xsin\theta+ycos\theta)]d\theta=[\mu_0I]/[4\pi] \int_{0}^{2\pi} [r'^2]/r^3 ycos^2\thetad\theta$
$ =[\mu_0I]/[4\pi] [r'^2y]/r^3 [[\theta+ sin\thetacos\theta]/2]_{0}^{2\pi}$
E dunque mi viene
$A_x = [\mu_0I]/[4\pi] \pir'^2 y/[r^3]$ /*Manca un segno - */
Mentre per $A_y$ torna tutto:
$A_y = [\mu_0I]/[4\pi] \pir'^2 x/[r^3]$
Questo era uno dei due dubbi che mi sono sorti riguardo l'argomento.
L'altro dubbio è: se io non sapessi che il potenziale vettore dipende dall'area della spira, e volessi calcolare esplicitamente l'integrale nel caso di una spira quadrata, come dovrei parametrizzare il mio sistema? Per il cerchio (o circonferenza, per i più pignoli) è standard: con le coordinate polari esprimo i punti della circonferenza e di conseguenza esprimo in funzione di esse le altre distanze in gioco. Tuttavia, forse per una mia mancanza nella capacità di parametrizzare curve di ogni genere, per curve che non usano direttamente coordinate polari, sferiche o cilindriche (nel caso di superfici) non so come procedere.
Ad esempio come parametrizzo un cubo se voglio calcolarmi il flusso del campo elettrico attraverso una sua faccia? logica vuole: le facce sono 6, e se Q è la carica contenuta nella superficie del cubo, il flusso attraverso una faccia è $\Phi_E=Q/(6\epsilon_0)$, ma se volessi con estrema pignoleria fare il calcolo per esteso?
Spero di aver chiarito al meglio le mie difficoltà, e spero che possiate darmi una mano.
Più che altro mi interessa capire come ragionare, non tanto la soluzione al problema che già ho, peraltro.
Grazie a tutti,
Andrea
PS: sono uno studente della facoltà di Fisica
Risposte
"demand":
...
Il suo modulo vale $ds=r'd\theta$ e io porrei le sue componenti come $d\vec{s}=r'd\theta(cos\theta, sen\theta)$, com'è l'usuale parametrizzazione della circonferenza.
Vista la scelta per $\theta$ direi
$d\vec{s}=r'd\theta(-cos\theta \hat x -sen\theta \hat y)$
Per quanto riguarda la tua seconda domanda è chiaro che non è per nulla semplice andare a determinarsi il flusso di un campo attraverso una generica superficie (anche piana) se non si possono usare particolari simmetrie o uguagliare detto flusso a quello che attraversa superfici di più semplice parametrizzazione.
Proverò a rifare il conto, ma non mi tornava con entrambi i segni -, mi torna con i segni alternati (uno + l' altro -).
Per la seconda domanda: eh, grazie, ma nella pratica se volessi parametrizzare un quadrato come dovrei fare? o un cubo?
Per la seconda domanda: eh, grazie, ma nella pratica se volessi parametrizzare un quadrato come dovrei fare? o un cubo?
Senza andare sul difficile, direi cercando di rendere i lati del quadrato o gli spigoli del cubo paralleli agli assi coordinati. 
Si ma il mio problema è cavar fuori un'equazione che mi descriva l'insieme.. Sicuramente ci sarà il modulo da qualche parte, perchè un quadrato coi lati paralleli agli assi ha simmetria assiale rispetto a ciascun asse.
Ho trovato due possibili rappresentazioni del quadrato di lato $l$ nel piano $xy$:
lati paralleli agli assi: $ max{|x|,|y|}= l $
vertici sugli assi: $ |x|+|y|= \sqrt(2)/2 l $
Forse il modo più agevole è di lavorare con la seconda. Qualche consiglio su come svolgere l'integrale per $\vec{A}(\vec{r})$ in questo caso?
Ho trovato due possibili rappresentazioni del quadrato di lato $l$ nel piano $xy$:
lati paralleli agli assi: $ max{|x|,|y|}= l $
vertici sugli assi: $ |x|+|y|= \sqrt(2)/2 l $
Forse il modo più agevole è di lavorare con la seconda. Qualche consiglio su come svolgere l'integrale per $\vec{A}(\vec{r})$ in questo caso?
"demand":
Si ma il mio problema è cavar fuori un'equazione che mi descriva l'insieme..
Scusa ma non ti capisco, per parametrizzare un quadrato di lato $a$ parallelo (per esempio) al piano $xy$ potremo usare come parametri le due coordinate $x$ e $y$ con $x_0 < x < x_0+a$, $y_0 < y < y_0+a$ e con $z=z_0$, no?
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