Potenziale tra due punti guscio cilindrico
Salve a tutti , è la prima volta che scrivo in questo forum quindi chiedo scusa in anticipo nel caso avessi scritto in modo errato alcune cose e spero che l’esposizione del problema sia chiara.
Non riesco a risolvere questo esercizio di fisica II per caso qualcuno può aiutarmi, so che il campo elettrico per entrambi i punti si ottiene utilizzando la legge di gauss , il problema è il calcolo del potenziale tra i due punti.
Ringrazio in anticipo
Dato un guscio cilindrico indefinito il cui asse é posto lungo l’asse z avente raggio interno $r1=2cm$ e raggio esterno $r2=10cm$ e caricato con una carica Q distribuita uniformemente con densità $ rho $ = $2x10^-6 C/m^3 $, calcolare la differenza di potenziale tra i punti P(4,0) e Q(0,20) con coordinate espresse in centimetri.
Non riesco a risolvere questo esercizio di fisica II per caso qualcuno può aiutarmi, so che il campo elettrico per entrambi i punti si ottiene utilizzando la legge di gauss , il problema è il calcolo del potenziale tra i due punti.
Ringrazio in anticipo
Dato un guscio cilindrico indefinito il cui asse é posto lungo l’asse z avente raggio interno $r1=2cm$ e raggio esterno $r2=10cm$ e caricato con una carica Q distribuita uniformemente con densità $ rho $ = $2x10^-6 C/m^3 $, calcolare la differenza di potenziale tra i punti P(4,0) e Q(0,20) con coordinate espresse in centimetri.
Risposte
Ciao Peppe09, benvenuto nel Forum
Dovresti allegare un tuo tentativo di soluzione, ma ti do una traccia.
Sfruttando Gauss e la simmetria cilindrica, non dovrebbe essere difficile trovare E(r) in tutto lo spazio, essendo r la distanza dall'asse.
Se hai già fatto quanto sopra ti basta usare la formula (integrale) che lega la differenza di potenziale con il lavoro del campo elettrico per determinare la soluzione. Ma per semplificarti la vita di faccio notare che i cilindri concentrici all'asse sono superfici equipotenziali. Questo significa ad esempio che tutti i punti del cerchio di raggio 4 hanno lo stesso potenziale e quindi il potenziale nel punto P (4,0) è lo stesso del punto (0,4) per cui ...
Dovresti allegare un tuo tentativo di soluzione, ma ti do una traccia.
Sfruttando Gauss e la simmetria cilindrica, non dovrebbe essere difficile trovare E(r) in tutto lo spazio, essendo r la distanza dall'asse.
Se hai già fatto quanto sopra ti basta usare la formula (integrale) che lega la differenza di potenziale con il lavoro del campo elettrico per determinare la soluzione. Ma per semplificarti la vita di faccio notare che i cilindri concentrici all'asse sono superfici equipotenziali. Questo significa ad esempio che tutti i punti del cerchio di raggio 4 hanno lo stesso potenziale e quindi il potenziale nel punto P (4,0) è lo stesso del punto (0,4) per cui ...
"ingres":
Ciao Peppe09, benvenuto nel Forum
Dovresti allegare un tuo tentativo di soluzione, ma ti do una traccia.
Sfruttando Gauss e la simmetria cilindrica, non dovrebbe essere difficile trovare E(r) in tutto lo spazio, essendo r la distanza dall'asse.
Se hai già fatto quanto sopra ti basta usare la formula (integrale) che lega la differenza di potenziale con il lavoro del campo elettrico per determinare la soluzione. Ma per semplificarti la vita di faccio notare che i cilindri concentrici all'asse sono superfici equipotenziali. Questo significa ad esempio che tutti i punti del cerchio di raggio 4 hanno lo stesso potenziale e quindi il potenziale nel punto P (4,0) è lo stesso del punto (0,4) per cui ...
Ciao Ingres, grazie mille per la risposta, ciò che mi hai scritto lo avevo già intuito ma grazie a te ne ho la conferma.
aggiungo la mia soluzione per vedere se il ragionamento che ho fatto è giusto oppure no.
Sappiamo che , siccome il campo $vec(E)$ è radiale il flusso $phi(vec(E)) = vec(E)Sigma$
ma per Gauss sappiamo che $phi(vec(E)) = Q_in/epsilon$
otteniamo facilmente $vec(E_1)$ che agisce su Q(20,0):
$vec(E_1)= ((r_2^2 - r_1^2)rho)/(2epsilon)$
inoltre sia $r_3 = P_x$
otteniamo $vec(E_2)$ che agisce su P(0,4)
$vec(E_2)= ((r_3^2 - r_1^2)rho)/(2epsilon)$
per calcolare la differenza di potenziale applico la definizione
$V_1=int vec(E_2) \cdot dr = ((r_2^2 - r_1^2)rho)/(2epsilon)*ln(1/r)$
$V_2=int vec(E_2) \cdot dr = ((r_3^2 - r_1^2)rho)/(2epsilon)*ln(1/r)$
ora non mi resta che sostituire il valore di r con le distanze stabilite da P e da Q consapevoli che siccome il campo è radiale possiamo scrivere P(0,4) come P(4,0) essendo tutti i punti presenti del cerchio di raggio 4 rappresentano una superficie equipotenziale.
calcolati i potenziali non mi resa che che fare $ DeltaV = V_2-V_1 $
spero di aver ragionato bene, grazie in anticipo per l'aiuto
(Scusami ho fatto un errore di battitutra per il calcolo del potenziale $V_1$ intendevo $E_1$ e non $E_2$
Il ragionamento generale è corretto, ma ci sono alcune espressioni scritte male o errate.
Cominciamo con $E_1$, ovvero il campo all'esterno. Se L è la lunghezza del cilindro risulterà per Gauss
$E_1(r)*2*pi*r*L = (rho * pi*L*(r_2^2-r_1^2))/epsilon$ ovvero
$E_1(r) = (rho*(r_2^2-r_1^2))/(2*epsilon*r)$
che corrisponde a quanto hai scritto con la differenza che si sei scordato il fattore $r$ al denominatore (che però devi aver riportato quando hai fatto il potenziale). Inoltre quello sopra è il modulo del campo. Puoi anche scrivere il vettore come hai fatto, ma in tal caso devi aggiungere il versore in direzione radiale $vec u_r$.
Passiamo adesso a $E_2$ il campo all'interno della distribuzione di carica. In questo caso si ha
$E_2(r)*2*pi*r*L = (rho * pi*L*(r^2-r_1^2))/epsilon$ ovvero
$E_2(r) = (rho*(r-r_1^2/r))/(2*epsilon)$
Qui la funzione è diversa da quella precedente e l'integrale ovviamente anche. Quanto agli integrali, bisogna prestare attenzione. Se supponiamo tutta la parte interna fino a $r=r_1$ a potenziale nullo, il potenziale in P richiederà di integrare $E_2$ da $r_1$fino a $r=4$, ma quello in Q richiederà di integrare prima $E_2$ fino a $r_2$ e poi $E_1$ da $r_2$ fino a $r=20$
Cominciamo con $E_1$, ovvero il campo all'esterno. Se L è la lunghezza del cilindro risulterà per Gauss
$E_1(r)*2*pi*r*L = (rho * pi*L*(r_2^2-r_1^2))/epsilon$ ovvero
$E_1(r) = (rho*(r_2^2-r_1^2))/(2*epsilon*r)$
che corrisponde a quanto hai scritto con la differenza che si sei scordato il fattore $r$ al denominatore (che però devi aver riportato quando hai fatto il potenziale). Inoltre quello sopra è il modulo del campo. Puoi anche scrivere il vettore come hai fatto, ma in tal caso devi aggiungere il versore in direzione radiale $vec u_r$.
Passiamo adesso a $E_2$ il campo all'interno della distribuzione di carica. In questo caso si ha
$E_2(r)*2*pi*r*L = (rho * pi*L*(r^2-r_1^2))/epsilon$ ovvero
$E_2(r) = (rho*(r-r_1^2/r))/(2*epsilon)$
Qui la funzione è diversa da quella precedente e l'integrale ovviamente anche. Quanto agli integrali, bisogna prestare attenzione. Se supponiamo tutta la parte interna fino a $r=r_1$ a potenziale nullo, il potenziale in P richiederà di integrare $E_2$ da $r_1$fino a $r=4$, ma quello in Q richiederà di integrare prima $E_2$ fino a $r_2$ e poi $E_1$ da $r_2$ fino a $r=20$
"ingres":
Il ragionamento generale è corretto, ma ci sono alcune espressioni scritte male o errate.
Cominciamo con $E_1$, ovvero il campo all'esterno. Se L è la lunghezza del cilindro risulterà per Gauss
$E_1(r)*2*pi*r*L = (rho * pi*L*(r_2^2-r_1^2))/epsilon$ ovvero
$E_1(r) = (rho*(r_2^2-r_1^2))/(2*epsilon*r)$
che corrisponde a quanto hai scritto con la differenza che si sei scordato il fattore $r$ al denominatore (che però devi aver riportato quando hai fatto il potenziale). Inoltre quello sopra è il modulo del campo. Puoi anche scrivere il vettore come hai fatto, ma in tal caso devi aggiungere il versore in direzione radiale $vec u_r$.
Passiamo adesso a $E_2$ il campo all'interno della distribuzione di carica. In questo caso si ha
$E_2(r)*2*pi*r*L = (rho * pi*L*(r^2-r_1^2))/epsilon$ ovvero
$E_2(r) = (rho*(r-r_1^2/r))/(2*epsilon)$
Qui la funzione è diversa da quella precedente e l'integrale ovviamente anche. Quanto agli integrali, bisogna prestare attenzione. Se supponiamo tutta la parte interna fino a $r=r_1$ a potenziale nullo, il potenziale in P richiederà di integrare $E_2$ da $r_1$fino a $r=4$, ma quello in Q richiederà di integrare prima $E_2$ fino a $r_2$ e poi $E_1$ da $r_2$ fino a $r=20$
Si , ho capito ,e si ho omesso $r$ durante il calcolo dei campi, mi sto abituando a scrivere correttamente
seguendo il tuo ragionamento termino l'esercizio (sperando di aver capito).
abbiamo detto quindi che :
$ vec(E_1)=rho(r_2^2-r_1^2)/(2epsilonr) $
$vec(E_2)=rho((r-r_1^2/r))/(2epsilon) $
il potenziale per $V_p$
$ vec(V_p)=int_(r1)^(4)vec(E_1)*dr= rho/(2epsilon)*(r^2/2-r_1ln(1/r))|_(r1)^4 $
il potenziale per $V_q$
$ vec(V_p)=int_(r1)^(r_2)vec(E_2)*dr+int_(r2)^(20)vec(E_1)*dr= rho/(2epsilon)*(r^2/2-r_1ln(1/r))|_(r1)^(r2) $ $ + rho/(2epsilon)(r_2^2-r_1^2)*ln(1/r)|_(r2)^(20 $
e quindi la differenza di potenziale tra i due punti :
$ V_(QP)=V_Q-V_P $
Solo alcune imprecisioni 
Non si può porre un vettore uguale ad uno scalare ma bisogna scrivere:
$vec E_1 = rho*(r_2^2-r_1^2)/(2*epsilon*r) * vec u_r$
$vec E_2 = rho*(r-r_1^2/r)/(2 epsilon) * vec u_r$
Il potenziale invece è uno scalare e quindi è scorretto inserire il simbolo di vettore.
Inoltre l'integrale di 1/r è ln(r) e siccome vale la relazione $vec E= - grad V$, bisogna poi inserire un segno negativo (la differenza di potenziale è l'opposto del lavoro del campo elettrico sulla carica elementare diviso la stessa carica elementare). Una scrittura più corretta è per $V_P$ ($vec (dr) = dr * vec (u_r)$).
$V_P = - int_(r_1)^4 (vec E_2 * vec (dr)) =- rho/(2 epsilon) (r^2/2-r_1^2*ln(r))|_(r_1)^4$
Lo stesso dicasi per $V_Q$
Infine credo che il testo richieda la ddp tra P e Q e non tra Q e P, ma comunque tra le due c'è solo la differenza di un segno.
PS: per evitare di ripetere tutto il messaggio usa il tasto RISPONDI in basso invece di CITA.
Non si può porre un vettore uguale ad uno scalare ma bisogna scrivere:
$vec E_1 = rho*(r_2^2-r_1^2)/(2*epsilon*r) * vec u_r$
$vec E_2 = rho*(r-r_1^2/r)/(2 epsilon) * vec u_r$
Il potenziale invece è uno scalare e quindi è scorretto inserire il simbolo di vettore.
Inoltre l'integrale di 1/r è ln(r) e siccome vale la relazione $vec E= - grad V$, bisogna poi inserire un segno negativo (la differenza di potenziale è l'opposto del lavoro del campo elettrico sulla carica elementare diviso la stessa carica elementare). Una scrittura più corretta è per $V_P$ ($vec (dr) = dr * vec (u_r)$).
$V_P = - int_(r_1)^4 (vec E_2 * vec (dr)) =- rho/(2 epsilon) (r^2/2-r_1^2*ln(r))|_(r_1)^4$
Lo stesso dicasi per $V_Q$
Infine credo che il testo richieda la ddp tra P e Q e non tra Q e P, ma comunque tra le due c'è solo la differenza di un segno.
PS: per evitare di ripetere tutto il messaggio usa il tasto RISPONDI in basso invece di CITA.
Innanzitutto ti ringrazio per l'aiuto , sei stato gentilissimo.
Ho capito tutti gli errori, tutto chiaro adesso.
Grazie
Ho capito tutti gli errori, tutto chiaro adesso.
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo