Potenziale lastra uniformemente carica
Ciao, voglio calcolare il potenziale esterno di una lastra uniformemente carica ed infinitamente estesa che va da X=0 ad X=a, con ipotesi di potenziale nullo ad infinito.
Calcolo E esternamente (per comodità lavoro sulla parte X>a):
$ E=(rho\cdot a)/(2*epsi $
\( dV=-\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl} \)
\( V(P)-V(infinito)=\Delta V=\int_{infinito}^{P} E\, dl \)
\( \Delta V=\int_{infinito}^{P} E\, dl =\int_{infinito}^{P} (\rho \cdot a)/(2\cdot \varepsilon )\, dx \)
è normale che non venga finito il risultato?
Grazie
Calcolo E esternamente (per comodità lavoro sulla parte X>a):
$ E=(rho\cdot a)/(2*epsi $
\( dV=-\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl} \)
\( V(P)-V(infinito)=\Delta V=\int_{infinito}^{P} E\, dl \)
\( \Delta V=\int_{infinito}^{P} E\, dl =\int_{infinito}^{P} (\rho \cdot a)/(2\cdot \varepsilon )\, dx \)
è normale che non venga finito il risultato?
Grazie
Risposte
Credo di aver capito da solo quale è il problema.
Che essendo la distribuzione infinita, mi conviene prendere il potenziale in un punto della distribuzione stessa e non ad infinito.
Che essendo la distribuzione infinita, mi conviene prendere il potenziale in un punto della distribuzione stessa e non ad infinito.
Sicuramente è meglio far annullare il potenziale sulla distribuzione, ma a parte quello se vuoi ricavare il potenziale noto il campo, sfruttando quindi $E=-grad(V)$, non puoi integrare fino a infinito. Se vuoi fare il conto rigoroso sul potenziale andando all'infinito devi usare la definizione. Hai fatto un mix delle due.
Ah, questo non lo sapevo proprio, pensavo la relazione dV=-E*dl andasse sempre bene quando il campo era conservativo, grazie!!
Non bestemmiamo 
l'esistenza del potenziale è strettamente legato alla conservatività del campo. Io ho solo detto che per ricavare il potenziale, noto il campo, non devi integrare fino a infinito ma, ad esempio, da $0$ a $x$. E' una relazione matematica, lì l'integrale è inteso come ricerca di primitive. Invece se usi la definizione fisica di potenziale, separi i differenziali, integri su un cerchietto nel piano indefinito e poi mandi il raggio a infinito per coprire tutto il piano.
l'esistenza del potenziale è strettamente legato alla conservatività del campo. Io ho solo detto che per ricavare il potenziale, noto il campo, non devi integrare fino a infinito ma, ad esempio, da $0$ a $x$. E' una relazione matematica, lì l'integrale è inteso come ricerca di primitive. Invece se usi la definizione fisica di potenziale, separi i differenziali, integri su un cerchietto nel piano indefinito e poi mandi il raggio a infinito per coprire tutto il piano.
Stai distruggendo tutte le mie convinzioni, spero che ci siamo capiti male 
Io ho sempre integrato (usando la formula dV=-E*dl) dal punto in cui il potenziale era più basso al punto in cui il potenziale era più alto.
Se per ipotesi il potenziale era nullo ad infinito allora il punto in cui il potenziale era più basso era proprio infinito.
Chiaramente io sto dicendo che uso la formula dV=-E*dl , ma intendo che la uso quando sto trattando casi ad una dimensione, altrimenti uso il gradiente.
Mi stai dicendo che questo non è corretto?
Io ho sempre integrato (usando la formula dV=-E*dl) dal punto in cui il potenziale era più basso al punto in cui il potenziale era più alto.
Se per ipotesi il potenziale era nullo ad infinito allora il punto in cui il potenziale era più basso era proprio infinito.
Chiaramente io sto dicendo che uso la formula dV=-E*dl , ma intendo che la uso quando sto trattando casi ad una dimensione, altrimenti uso il gradiente.
Mi stai dicendo che questo non è corretto?
Forse mi sono spiegato male io. Sto semplicemente dicendo che noto il campo elettrico, e per noto intendo noto davvero, perchè tu lì hai inserito il valore $\sigma/(2\epsilon)$ quindi l'hai già calcolato o ti è noto per qualche motivo, poi $(dV)/dx=-E=-\sigma/(2\epsilon)$ .
A questo punto $V(x)=\int-\sigma/(2\epsilon)dx= -\sigma/(2\epsilon) x$ che equivale a mettere a zero il potenziale a infinito.
A questo punto $V(x)=\int-\sigma/(2\epsilon)dx= -\sigma/(2\epsilon) x$ che equivale a mettere a zero il potenziale a infinito.
Si benissimo, su questo sono perfettamente d'accordo.
Fortunatamente ci eravamo capiti male !!
Fortunatamente ci eravamo capiti male !!
"Nikikinki":
che equivale a mettere a zero il potenziale a infinito.
Non sono d'accordo. Mettere il potenziale zero all'infinito significa che quando hai $\frac {dV} {dx} = f(x)$ ed integri:
$$\int_{\infty}^{x} dV = \int_{\infty}^{x} f(x) dx$$
$$ V(x) - V(\infty) = f(x) - f(\infty)$$
(dove con $V(\infty)$ e $f(\infty)$ intendo ovviamente $lim_{x->\infty} V(x)$ e $lim_{x->\infty} f(x)$) tu poni $V(\infty) = 0$. In questo caso si rimane con:
$$V(x) - 0 = f(x) - f(\infty)$$
$$V(x) = f(x) - f(\infty)$$
Dove, nel 99% dei casi è anche $f(\infty) = 0$ (ma questo NON è un cosa che DEVE succedere necessariamente).
Quindi in questo caso porre il potenziale nullo all'infinito genererebbe un non senso, ovvero $V(x) = -\frac {\sigma x} {2 \epsilon} + \infty$.
La risposta è che quando hai una distribuzione di carica infinita, il campo elettrico (e quindi il potenziale) non va a zero all'infinito!. E' per questo che, in questi casi, si preferisce scegliere un altro punto di riferimento. La motivazione fisica è molto semplice: di solito si mette il potenziale nullo all'infinito perché nelle comuni circostanze il campo elettrico va come $frac 1 {r^n}$ e quindi tende a zero all'infinito, ma se hai una carica che si estende infinitamente nello spazio, come fai a dire che il campo elettrico si "attenuerà"? Non puoi.
In questo caso è più pratico integrare da $0$ a $x$ e e porre $V(x=0) = 0$ in questo modo:
$$V(x) = f(x) - f(0) = -\frac {\sigma x} {2 \epsilon} + 0 = -\frac {\sigma x} {2 \epsilon}$$
Ho capito quello che vuoi dire ed in effetti come avevo precedentemente consigliato avrebbe dovuto mettere a zero un punto sulla distribuzione mi sono confuso alla fine ma per una questione di principio più che altro. La costante di integrazione posso sceglierla come voglio ed il risultato matematico non cambia. Se integri da zero a infinito o il contrario , quel termine nel campo elettrico ti verrà comunque infinito generando il non senso come lo chiami tu. L'integrazione va fatta da zero a $x$ perché è una ricerca di primitive. La relazione di potenziale è puramente matematica e vuole una risoluzione puramente matematica. Non posso a prescindere integrare tra due estremi noti senza commettere comunque un errore concettuale. Quella è la definizione di primitiva che ha poco a che fare con il concetto di integrale. Io preferisco sempre vederla così in questi casi, ma nulla toglie che possa essere interpretata come tu dici come un normale integrale, visto che siamo in fisica ponendo in zero il potenziale zero. E' una scelta arbitraria chi ti dice che il potenziale lì sia zero? Lo metti l' perché matematicamente trovi un assurdo all'infinito, ma il concetto di infinito lo usiamo comunque senza sapere davvero cosa sia quindi, tanto vale per me mantenere la base matematica di primitiva. Una costante arbitraria a sommare ti dà la possibilità, ovunque sia zero il potenziale, di porlo a zero. E sono infinite possibilità, non ha quindi molto senso chiedersi dove sarebbe meglio immaginare che sia zero, almeno per me, tanto poi viene automatico dalla forma della primitiva.
Scusami ma non ti seguo. Per me è tanto semplice la cosa... E' un banale integrale e " l'origine " la metti dove ti pare, purché abbia matematicamente e fisicamente senso. In questo caso partire da infinito non ha senso in nessun contesto. Non sono un grande fan di quei fisici che dicono che gli infiniti a volte si possono trascurare. Comunque non penso tu abbia problemi a calcolare un potenziale, era solo per fare chiarezza all'OP.
No ma ho detto che hai ragione, stavo spiegandoti perché, pur avendo detto all'inizio la stessa cosa, mi sono poi confuso alla fine. Personalmente non mi sono mai chiesto dove fosse infinito e dove zero poiché, trovata la primitiva $V(x)$ poi me lo dice lei a posteriori dove è zero e dove infinito, quindi trovo inutile porre delle condizioni a monte quando a valle mi sono autoimposte dalla formulazione matematica stessa. Solo per rendere giustizia al concetto matematico. Tutto lì 
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