Potenziale in un punto P
Testo:
Una certa carica superficiale $\sigma$ è uniformemente distribuita su un quarto di cerchio di raggio R. Qual è l'espressione del potenziale elettrostat. nel punto P che si trova ad una quota h, sulla normale al cerchio, passante per il centro O del cerchio stesso? (prendere V(infinito)=0).
disegno: http://www.flickr.com/photos/20995287@N07/2060396894/
La soluzione NON commentata del problema, prende in considerazione l'angolo $\theta$ di apertura del settore circolare. Questi sono i passaggi:
(1) $dV= 1/{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{l}$ dove $l=\sqrt{r^2+h^2}$.
(2) $dq=\sigma dS= \sigma r \theta dr$ (dS è una superficie infinitesima, credo).
fermiamoci qui: come mai σ dS=σ (r θ dr) ? Qualcuno mi può spiegare il concetto dietro a quel passaggio analitico, basandosi anche sul disegno?
Una certa carica superficiale $\sigma$ è uniformemente distribuita su un quarto di cerchio di raggio R. Qual è l'espressione del potenziale elettrostat. nel punto P che si trova ad una quota h, sulla normale al cerchio, passante per il centro O del cerchio stesso? (prendere V(infinito)=0).
disegno: http://www.flickr.com/photos/20995287@N07/2060396894/
La soluzione NON commentata del problema, prende in considerazione l'angolo $\theta$ di apertura del settore circolare. Questi sono i passaggi:
(1) $dV= 1/{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{l}$ dove $l=\sqrt{r^2+h^2}$.
(2) $dq=\sigma dS= \sigma r \theta dr$ (dS è una superficie infinitesima, credo).
fermiamoci qui: come mai σ dS=σ (r θ dr) ? Qualcuno mi può spiegare il concetto dietro a quel passaggio analitico, basandosi anche sul disegno?
Risposte
"hastings":
La soluzione NON commentata del problema
dov'è?
è questa?
"hastings":
(1) $dV= 1/{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{l}$ dove $l=\sqrt{r^2+h^2}$.
(2) $dq=\sigma dS= \sigma r \theta dr$ (dS è una superficie infinitesima, credo).
EDIT: qui mi sono confuso..
ah si ok ci sono!
dS, come hai giustamente detto è un elemento di superficie. Come è fatto? vedi quel pezzo di corona circolare tratteggiata, ecco prendi uno spicchietto di quella striscia. L'area di uno spicchietto vale: bordo curvo*dr=$r*theta*dr$. é quasi un rettangolino perciò devi fare baseXaltezza. La base è un archetto (la lunghezza dell'arco è angoloXraggio) e l'altezza è dr, un elementino di r
Nota che r non è il raggio R
ah si ok ci sono!
dS, come hai giustamente detto è un elemento di superficie. Come è fatto? vedi quel pezzo di corona circolare tratteggiata, ecco prendi uno spicchietto di quella striscia. L'area di uno spicchietto vale: bordo curvo*dr=$r*theta*dr$. é quasi un rettangolino perciò devi fare baseXaltezza. La base è un archetto (la lunghezza dell'arco è angoloXraggio) e l'altezza è dr, un elementino di r
Nota che r non è il raggio R
Posso sbagliare ma per me è $dS=r dr d theta$.
Ciao
Ciao
"manlio":
Posso sbagliare ma per me è $dS=r dr d theta$.
Ciao
infatti ho sbagliato a calcolare superficie. dS non è uno spicchio della striscia, ma tutta la striscia e quindi $dS=r*theta*dr$
ora i conti dovrebbero tornare
Secondo me la via più semplice per individuare l'area elementare dS è questa.
Si tracciano due raggi di anomalia (o argomento) $theta$ e $theta+d theta$ e poi due archi di raggi r e r+dr.In questo modo si viene ad individuare una sorta di rettangolo che rappresenta dS e la cui area e' uguale al prodotto di un arco di lunghezza $ r d theta $ ( che funge da base del rettangolo) per (r+dr)-r=dr che funge da altezza del rettangolo.Per il resto si tratta di integrare su r e su $theta$.
Ciao
Si tracciano due raggi di anomalia (o argomento) $theta$ e $theta+d theta$ e poi due archi di raggi r e r+dr.In questo modo si viene ad individuare una sorta di rettangolo che rappresenta dS e la cui area e' uguale al prodotto di un arco di lunghezza $ r d theta $ ( che funge da base del rettangolo) per (r+dr)-r=dr che funge da altezza del rettangolo.Per il resto si tratta di integrare su r e su $theta$.
Ciao
"manlio":
Secondo me la via più semplice per individuare l'area elementare dS è questa.
Si tracciano due raggi di anomalia (o argomento) $theta$ e $theta+d theta$ e poi due archi di raggi r e r+dr.In questo modo si viene ad individuare una sorta di rettangolo che rappresenta dS e la cui area e' uguale al prodotto di un arco di lunghezza $ r d theta $ ( che funge da base del rettangolo) per (r+dr)-r=dr che funge da altezza del rettangolo.Per il resto si tratta di integrare su r e su $theta$.
Ciao
Secondo me, come compare nella soluzione, è più semplice calcolarsi l'area integrando in dr l'area elementare dS che èquella tratteggiata e che pertanto vale: $dS=$lunghezza_arco*dr$=r*theta*dr$ per cui l'integrale in 2 variabili (r e theta) diventa in una sola variabile, r
GRazie ad entrambi:
quindi, l'arco di un settore circolare si trova sempre facendo (r * angolo_al_centro) ?
Mi confermate?
adesso però c'è un altro passaggio poco chiaro. Riprendiamo da qui:
lo svolgimento del problema sostituisce la (2) nella (1) ed integra:
(3) $V=\int dV= (\sigma \theta)/(4 \pi \varepsilon_0) 1/2 \int_0^R(r^2+h^2)^{-1/2}d(r^2+h^2)=$
(4) $= \sigma \theta/{8 \pi \varepsilon_0} \cdot 2 [\sqrt{r^2+h^2}]_0^R$
Mi spiegate dove è finita la "r" di $dq= \sigma r \theta dr$ nel passaggio (3) e da dove sbuca fuori quel 1/2 davanti all'integrale, sempre nel passaggio (3)?
Nel passaggio (4), da dove viene fuori il "2" davanti le parentesi quadre?
"raff5184":
infatti ho sbagliato a calcolare superficie. dS non è uno spicchio della striscia, ma tutta la striscia e quindi $dS=r*theta*dr$
ora i conti dovrebbero tornare
quindi, l'arco di un settore circolare si trova sempre facendo (r * angolo_al_centro) ?
Mi confermate?
adesso però c'è un altro passaggio poco chiaro. Riprendiamo da qui:
"hastings":
(1) $dV= 1/{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{l}$ dove $l=\sqrt{r^2+h^2}$.
(2) $dq=\sigma dS= \sigma r \theta dr$ (dS è una superficie infinitesima, credo).
lo svolgimento del problema sostituisce la (2) nella (1) ed integra:
(3) $V=\int dV= (\sigma \theta)/(4 \pi \varepsilon_0) 1/2 \int_0^R(r^2+h^2)^{-1/2}d(r^2+h^2)=$
(4) $= \sigma \theta/{8 \pi \varepsilon_0} \cdot 2 [\sqrt{r^2+h^2}]_0^R$
Mi spiegate dove è finita la "r" di $dq= \sigma r \theta dr$ nel passaggio (3) e da dove sbuca fuori quel 1/2 davanti all'integrale, sempre nel passaggio (3)?
Nel passaggio (4), da dove viene fuori il "2" davanti le parentesi quadre?
E' la stessa cosa che ho detto io perché l'integrazione su $theta$ si riduce a calcolare $int _0^((pi)/2) d theta=(pi)/2$.C'è però un vantaggio ad operare come ho detto ,in quanto il procedimento e' applicabile anche a domini non così simmetrici come quello dell'esercizio in questione.
ciao
ciao
"hastings":
quindi, l'arco di un settore circolare si trova sempre facendo (r * angolo_al_centro) ?
Mi confermate?
Sì. Purché l'angolo sia espresso in radianti
"manlio":
E' la stessa cosa che ho detto io perché l'integrazione su $theta$ si riduce a calcolare $int _0^((pi)/2) d theta=(pi)/2$.
Si certo!
Si tratta di un integrale generalizzato. Infatti si può scrivere :
$int _0^R r/(sqrt(r^2+h^2))dr=1/2*int_0^R (r^2+h^2)^(-1/2)d(r^2+h^2)=1/2*|(r^2+h^2)^(1/2)/(1//2)|_0^R=...$
Ciao
$int _0^R r/(sqrt(r^2+h^2))dr=1/2*int_0^R (r^2+h^2)^(-1/2)d(r^2+h^2)=1/2*|(r^2+h^2)^(1/2)/(1//2)|_0^R=...$
Ciao
"manlio":
Si tratta di un integrale generalizzato. Infatti si può scrivere :
$int _0^R r/(sqrt(r^2+h^2))dr=1/2*int_0^R (r^2+h^2)^(-1/2)d(r^2+h^2)=1/2*|(r^2+h^2)^(1/2)/(1//2)|_0^R=...$
Scusami sono un po' di coccio: l'1/2 dopo il primo uguale, da cosa deriva? ho più o meno capito che è stato fatto un cambio di variabili, ma come? $ r dr $ dove è andato tra il primo e il secondo membro? é proprio quello che chiedevo.
Tieni presente che $d(r^2+h^2)=2rdr$ e quindi quell' 1/2 serve per eliminare il 2 che nel calcolo iniziale non è presente.
Per semplificarti la vita puoi anche fare così.Poni $r^2+h^2=t^2$ con t>0.Da qui ricavi rdr=tdt e sostituendo ti trovi il valore dell'integrale:
$int _0^R (rdr)/(sqrt(r^2+h^2))= int_h^(sqrt(R^2+h^2))(tdt)/((sqrt(t^2)))=int_h^(sqrt(R^2+h^2)) dt=sqrt(R^2+h^2)-h$
Ciao
Per semplificarti la vita puoi anche fare così.Poni $r^2+h^2=t^2$ con t>0.Da qui ricavi rdr=tdt e sostituendo ti trovi il valore dell'integrale:
$int _0^R (rdr)/(sqrt(r^2+h^2))= int_h^(sqrt(R^2+h^2))(tdt)/((sqrt(t^2)))=int_h^(sqrt(R^2+h^2)) dt=sqrt(R^2+h^2)-h$
Ciao
graziEEEEEEEEEE!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo