Potenziale fra piani
ciao a tutti, ho un problema con il seguente problema:
Due piani indefiniti paralleli, distanti $d=20cm$, sono carichi con densità uniformi $\sigma_1=17,72*10^-8 C/m^2$ e $\sigma_2=( \sigma_1)/2 $. Determinare il potenziale $V(x)$, ponendolo eguale a zero nel punto di mezzo O tra i due piani, origine delle coordinate. Determinare inoltre l'energia cinetica minima $Ek_min$ che deve avere un protone nel punto A ($x=-d$) per giungere in un generico punto O'. Se un elettrone viene lasciato libero in A con velocità nulla, dove arriva?
il mio problema non si pone nel calcolo del campo elettrico, in quanto tracciando le linee di campo ed apportando le dovute sostituzioni ottengo che per:
$x<-d/2$ si ha $E_1(x)=\sigma_1/(2\epsilon)+\sigma_2/(2\epsilon)=-3/2*\sigma_1/(2\epsilon)$
$-d/2
ricordando che $V(x)=-\int_{B}^{A} E(x) dx$ averemo che per:
$x<-d/2$ si ha $V_1(x)=-\int_{-x}^{-d/2}E_1(x) dx $
dato che il risultato di tale integrale non coincide con la soluzione proposta dal libro vorrei capire in cosa sbaglio
Due piani indefiniti paralleli, distanti $d=20cm$, sono carichi con densità uniformi $\sigma_1=17,72*10^-8 C/m^2$ e $\sigma_2=( \sigma_1)/2 $. Determinare il potenziale $V(x)$, ponendolo eguale a zero nel punto di mezzo O tra i due piani, origine delle coordinate. Determinare inoltre l'energia cinetica minima $Ek_min$ che deve avere un protone nel punto A ($x=-d$) per giungere in un generico punto O'. Se un elettrone viene lasciato libero in A con velocità nulla, dove arriva?
il mio problema non si pone nel calcolo del campo elettrico, in quanto tracciando le linee di campo ed apportando le dovute sostituzioni ottengo che per:
$x<-d/2$ si ha $E_1(x)=\sigma_1/(2\epsilon)+\sigma_2/(2\epsilon)=-3/2*\sigma_1/(2\epsilon)$
$-d/2
ricordando che $V(x)=-\int_{B}^{A} E(x) dx$ averemo che per:
$x<-d/2$ si ha $V_1(x)=-\int_{-x}^{-d/2}E_1(x) dx $
dato che il risultato di tale integrale non coincide con la soluzione proposta dal libro vorrei capire in cosa sbaglio
Risposte
Ciao. Due osservazioni:
1. per un campo elettrico uniforme, usare l'integrale per valutare il potenziale è eccessivo: il potenziale $V(x)$ dev'essere una funzione lineare del tipo: $V(x)=-E_x*x+V_0$, essendo $E_x$ la componente del campo lungo l'asse $x$ e $V_0$ una costante da determinare in base alle condizioni che deve soddisfare il potenziale;
2. una delle condizioni di cui sopra è che il potenziale sia una funzione continua. Perciò conviene iniziare col calcolarlo nella regione $-d/2
Per $x=d/2$ è: $V_1(d/2)=1/4dE$ ; quando $x>d/2$, il potenziale è la funzione: $V_2(x)=-3/2E*x+C_1$ , con $C_1$ costante da determinare per avere continuità in $x=d/2$, ovvero in modo che:
$V_2(d/2)=V_1(d/2)" "to" "-3/4E*d+C_1=1/4E*d" "to" "C_1=…$ .
In modo analogo per $x<-d/2$.
Salvo miei errori.
1. per un campo elettrico uniforme, usare l'integrale per valutare il potenziale è eccessivo: il potenziale $V(x)$ dev'essere una funzione lineare del tipo: $V(x)=-E_x*x+V_0$, essendo $E_x$ la componente del campo lungo l'asse $x$ e $V_0$ una costante da determinare in base alle condizioni che deve soddisfare il potenziale;
2. una delle condizioni di cui sopra è che il potenziale sia una funzione continua. Perciò conviene iniziare col calcolarlo nella regione $-d/2
Per $x=d/2$ è: $V_1(d/2)=1/4dE$ ; quando $x>d/2$, il potenziale è la funzione: $V_2(x)=-3/2E*x+C_1$ , con $C_1$ costante da determinare per avere continuità in $x=d/2$, ovvero in modo che:
$V_2(d/2)=V_1(d/2)" "to" "-3/4E*d+C_1=1/4E*d" "to" "C_1=…$ .
In modo analogo per $x<-d/2$.
Salvo miei errori.
Grazie mille adesso mi è molto più chiara la cosa, tuttavia mi servirebbe anche una dritta per il calcolo dell'energia cinetica minima
Conservazione dell'energia. In $x_1$ il protone ha energia $K_1+eV(x_1)$ ; la minima $K_1$ è quella che gli permette di arrivare in $x_2$ e fermarsi.
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