Potenziale elettrostatico sfera

[claudiamelinda]

una carica Q è distribuita all'interno di una sfera di raggio R, in modo che la densità di carica cresca dal centro verso l'esterno proporzionalmete alla distanza del centro stesso, dove è nulla. Calcolare la differenza di potenziale tra il centro della sfera e la superficie della sfera se Q = 10^(-8)C e R=10 cm

grazie delle risposte!

[chiaraotta1]

Per caso hai anche il risultato del problema?
Io troverei $Delta V = V(0)-V(R)=4/3*k_e*Q/R-k_e*Q/R=1/3*k_e*Q/R = 1/3*8.99*10^9*(10^(-8))/(10*10^(-2)) ~= 300 \ V$.

[Sk_Anonymous]

@chiaraotta
Dovrebbe essere corretto. Del resto:

$[4pir^2E=\int_{0}^{r}(4piA)/epsilon_0r^3dr] rarr [4pir^2E=(piA)/epsilon_0r^4] rarr [E=A/(4epsilon_0)r^2]$

$[A/(4epsilon_0)R^2=1/(4piepsilon_0)Q/R^2] rarr [A=Q/(piR^4)] rarr [E=Q/(4piepsilon_0R^4)r^2]$

$[V(0)-V(R)=\int_{0}^{R}Q/(4piepsilon_0R^4)r^2dr] rarr [V(0)-V(R)=Q/(12piepsilon_0R)]$

Quali considerazioni hai fatto per giungere al medesimo risultato?

[chiaraotta1]

Mi sembra che si potrebbe ragionare così ....

Se la densità di carica di volume $rho$ è direttamente proporzionale alla distanza $r$ dal centro della sfera, allora $rho=k*r$, dove il valore della costante $k$ di proporzionalità si può calcolare conoscendo il raggio $R$ della sfera e la carica totale $Q$. Infatti
$Q=\int_(Volume)dq=\int_(Volume)rho dV=\int_0^Rk*r*4*pi*r^2dr=4*pi*k\int_0^Rr^3dr=4*pi*k*1/4*R^4=pi*k*R^4$,
da cui
$k=Q/(pi*R^4)$.

Il potenziale $V(R)$ sulla superficie della sfera è quello che si avrebbe se tutta la carica $Q$ fosse concentrata al centro. Quindi
$V(R)=k_e*Q/R$.

Il potenziale al centro $V(0)$ si può calcolare come somma dei potenziali prodotti da gusci sferici con carica $dq$, di spessore infinitesimo, al loro centro: $dV=k_e*(dq)/r$, dove $dq=rho*4*pi*r^2*dr=k*r*4*pi*r^2*dr$. Quindi
$V(0)=\int_(Volume)dV=\int_(Volume)k_e*(dq)/r= \int_0^R k_e*k*r*4*pi*r^2*(dr)/r =$
$\ \ \ \ \ 4*pi*k_e*k*\int_0^R r^2dr=4*pi*k_e*k*1/3*R^3=4/3*pi*k_e*k*R^3$.
Sostituendo l'espressione di $k$ trovata prima, si ottiene che
$V(0) =4/3*pi*k_e*k*R^3=4/3*pi*k_e*Q/(pi*R^4)*R^3= 4/3*k_e*Q/R$.

Concludendo:
$Delta V = V(0)-V(R)=4/3*k_e*Q/R-k_e*Q/R=1/3*k_e*Q/R = 1/3*8.99*10^9*(10^(-8))/(10*10^(-2)) ~= 300 \ V$.

[Sk_Anonymous]

Ok, hai preferito procedere solo in termini di potenziale.

[armandodambrosio97]

Concludendo:
$Delta V = V(0)-V(R)=4/3*k_e*Q/R-k_e*Q/R=1/3*k_e*Q/R = 1/3*8.99*10^9*(10^(-8))/(10*10^(-2)) ~= 300 \ V$.[/quote]

salve, volevo gentilmente chiedere una cosa .. come mai c'è "V(0)-V(R)" e non "V(R)-V(0)"