Potenziale elettrostatico semicerchio
Ho un semicerchio di raggio $R$ e apertura angolare $\theta$.
Il campo elettrico nel centro della circonferenza cui l'arco appartiene vale $E = Q sin(\theta/2) / (2 \pi \epsilon_0 R^2 \theta)$
Mi si chiede il potenziale elettrostatico nello stesso punto (assumendo $V(\infty)=0$).
Io vado a integrare così:
$V(C) - V(\infty) = Q*sin(\theta/2) / (2\pi \epsilon_0 \theta) * \int_{R}^{\infty} (dr)/r^2$
ma la soluzione non mi dà ragione. Qualche consiglio?
Il campo elettrico nel centro della circonferenza cui l'arco appartiene vale $E = Q sin(\theta/2) / (2 \pi \epsilon_0 R^2 \theta)$
Mi si chiede il potenziale elettrostatico nello stesso punto (assumendo $V(\infty)=0$).
Io vado a integrare così:
$V(C) - V(\infty) = Q*sin(\theta/2) / (2\pi \epsilon_0 \theta) * \int_{R}^{\infty} (dr)/r^2$
ma la soluzione non mi dà ragione. Qualche consiglio?
Risposte
Non ho capito cosa c'entra l'apertura angolare nel caso di un semicerchio... Se è metà di un cerchio l'angolo al centro sarà $pi$. Oppure non ho inteso bene il problema?
Scusa, un arco di circonferenza.
Posso sapere quale soluzione riporta il libro?
$V(P) = -Q / (4\pi\epsilon_0R)$
Ok, per venirmi mi viene anche se sospetto di aver sparato alle mosche con il cannone. 
Comunque ho fatto così:
sia $lambda=Q/l$ la densità lineare di carica sul filo che costituisce l'arco di circonferenza. E' noto che la lunghezza di un arco è $l=r*theta$ dove $theta$ è l'angolo al centro. Posso quindi dire che $dQ=lambda*r*d theta$.
E' noto che il potenziale per una carica puntiforme è dato da $Q/(4 pi epsilon_0 r)$, quindi il potenziale che cerchiamo sarà dato da
$int_0^theta (lambda*r*d theta)/(4 pi epsilon_0 r)$ da cui $(lambda r)/(4 pi epsilon r) theta$.
Semplificando la $r$, sostituendo $lambda=Q/(r theta)$ e aggiungendo un $-$ otteniamo il risultato.
Come ho detto non so se questo sia il metodo ottimale ma...funziona.
Osservazione: ha senso che la variabile di integrazione sia $theta$ poichè ti dice quanto è esteso l'arco che stai considerando. Tu invece stavi integrando sulla distanza ma, dato un arco di circonferenza, la distanza dai punti di questo al centro è costante e pari al raggio.
Spero di averti aiutato. Ciao.
Comunque ho fatto così:
sia $lambda=Q/l$ la densità lineare di carica sul filo che costituisce l'arco di circonferenza. E' noto che la lunghezza di un arco è $l=r*theta$ dove $theta$ è l'angolo al centro. Posso quindi dire che $dQ=lambda*r*d theta$.
E' noto che il potenziale per una carica puntiforme è dato da $Q/(4 pi epsilon_0 r)$, quindi il potenziale che cerchiamo sarà dato da
$int_0^theta (lambda*r*d theta)/(4 pi epsilon_0 r)$ da cui $(lambda r)/(4 pi epsilon r) theta$.
Semplificando la $r$, sostituendo $lambda=Q/(r theta)$ e aggiungendo un $-$ otteniamo il risultato.
Come ho detto non so se questo sia il metodo ottimale ma...funziona.
Osservazione: ha senso che la variabile di integrazione sia $theta$ poichè ti dice quanto è esteso l'arco che stai considerando. Tu invece stavi integrando sulla distanza ma, dato un arco di circonferenza, la distanza dai punti di questo al centro è costante e pari al raggio.
Spero di averti aiutato. Ciao.
"kniv7s":
$V(P) = -Q / (4\pi\epsilon_0R)$
Sei sicuro di quel segno "$-$" ?
Secondo me, a naso, il potenziale nel centro dovrebbe avere lo stesso segno della carica $Q$, ma ovviamente posso sbagliare.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo