Potenziale Elettrostatico nel centro di un disco
Salve ragazzi ho svolto questo problema :
$Q=int_0^R 2\pi Ar^2dr=\frac{2}{3}A\pi R^3$
ho calcolato il campo ( solo per esercitarmi,credo che sia ben piu comodo calcolare direttamente il potenziale )
$dE_z=\frac{Ar^2\pi\zdr}{4\pi\epsilon_0(z^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}$ integrando
$E_z=\int_0^R \frac{Ar^2\pi\zdr}{4\pi\epsilon_0(z^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{Az}{2\epsilon_0}[sinh^-1 (R) - \frac{R}{\sqrt(R^2+z^2)}]$
Ricordo che $\vec{E}=-\vec{\nabla} \phi$ per cui :
$E_z= \frac{Az}{2\epsilon_0}[sinh^-1 (R) - \frac{R}{\sqrt(R^2+z^2)}]=-\frac{d\phi}{dz}$ da cui ricavo che :
$\phi=int_0^x \frac{Az}{2\epsilon_0}[sinh^-1 (R) - \frac{R}{\sqrt(R^2+z^2)}]dz=\frac{AR}{2\epsilon_0}[\sqrt{x^2+R^2}+R]-\frac{Asinh^-1(R)x^2}{4\epsilon_0}+cost$
E' corretto?
$Q=int_0^R 2\pi Ar^2dr=\frac{2}{3}A\pi R^3$
ho calcolato il campo ( solo per esercitarmi,credo che sia ben piu comodo calcolare direttamente il potenziale )
$dE_z=\frac{Ar^2\pi\zdr}{4\pi\epsilon_0(z^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}$ integrando
$E_z=\int_0^R \frac{Ar^2\pi\zdr}{4\pi\epsilon_0(z^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{Az}{2\epsilon_0}[sinh^-1 (R) - \frac{R}{\sqrt(R^2+z^2)}]$
Ricordo che $\vec{E}=-\vec{\nabla} \phi$ per cui :
$E_z= \frac{Az}{2\epsilon_0}[sinh^-1 (R) - \frac{R}{\sqrt(R^2+z^2)}]=-\frac{d\phi}{dz}$ da cui ricavo che :
$\phi=int_0^x \frac{Az}{2\epsilon_0}[sinh^-1 (R) - \frac{R}{\sqrt(R^2+z^2)}]dz=\frac{AR}{2\epsilon_0}[\sqrt{x^2+R^2}+R]-\frac{Asinh^-1(R)x^2}{4\epsilon_0}+cost$
E' corretto?
Risposte
La carica totale è ok. Il potenziale, invece, mi viene diverso.
Metto il disco sul piano $x,y$ centrato nel centro in $(0,0)$. Il potenziale $\varphi(0,0,z)$ mi risulta:
[tex]\varphi(0,0,z)=k A \int_D \frac{\rho dx dy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=kA\int_{[0,2\pi]\times[0,R]}\frac{\rho^2 d\theta d \rho}{\sqrt{\rho^2+z^2}}=2\pi kA\int_0^R \frac{\rho^2 d \rho}{\sqrt{\rho^2+z^2}}=\pi k A (R \sqrt{R^2+z^2}-z^2 \sinh^{-1}{\frac{R}{z}})[/tex],
dove $D$ è il disco e $(\rho,\theta)$ sono le coordinate polari sul piano $x,y$.
Chi ha ragione?
Metto il disco sul piano $x,y$ centrato nel centro in $(0,0)$. Il potenziale $\varphi(0,0,z)$ mi risulta:
[tex]\varphi(0,0,z)=k A \int_D \frac{\rho dx dy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=kA\int_{[0,2\pi]\times[0,R]}\frac{\rho^2 d\theta d \rho}{\sqrt{\rho^2+z^2}}=2\pi kA\int_0^R \frac{\rho^2 d \rho}{\sqrt{\rho^2+z^2}}=\pi k A (R \sqrt{R^2+z^2}-z^2 \sinh^{-1}{\frac{R}{z}})[/tex],
dove $D$ è il disco e $(\rho,\theta)$ sono le coordinate polari sul piano $x,y$.
Chi ha ragione?
Una cosa è certa, almeno uno dei due ha torto 
O entrambi
"MillesoliSamuele":
Una cosa è certa, almeno uno dei due ha torto
Già dimensionalmente si capisce chi ce l'ha di sicuro.
... e anche il punto dove comincia a sbagliare.
Non avevo controllato le dimensioni, ma non capisco dove stà l'errore...
"MillesoliSamuele":
... non capisco dove stà l'errore...
Nella espressione del campo elettrico $E_z$.
$dE_z=\frac{\sigma da \hat{R'}\hat{z}}{4\pi\epsilon_0 R'^2}=\frac{Arx2\pi rdr}{4\pi\epsilon_0(r^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{Axr^2 dr}{2\epsilon_0(r^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}$
"MillesoliSamuele":
$dE_z $
Non ho detto $dE_z $, ma $E_z $ ... ovvero, per essere più precisi, è quell'arcoseno iperbolico che mi fa venire l'orticaria.
Ho ricontrollato l'integrale ed ottengo :
$E_z=\frac{Az}{4\epsilon_0}[log(\sqrt{z^2+r^2}+r)-\frac{z}{\sqrt{z^2 +r^2}}]_0^R$
$E_z=\frac{Az}{4\epsilon_0}[log(\sqrt{z^2+r^2}+r)-\frac{z}{\sqrt{z^2 +r^2}}]_0^R$
"MillesoliSamuele":
Ho ricontrollato l'integrale ed ottengo :
$E_z=\frac{Az}{4\epsilon_0}[log(\sqrt{z^2+r^2}+r)-\frac{z}{\sqrt{z^2 +r^2}}]_0^R$
Questo si che è ok
... ora però completa il calcolo.Ad ogni modo il logaritmo può anche essere sostituito dall'arcoseno iperbolico, solo che devi farlo correttamente.
Avrò commesso qualche piccolo errore! Il ragionamento è corretto?
"MillesoliSamuele":
Avrò commesso qualche piccolo errore! Il ragionamento è corretto?
Certo, intendevo dirti che un arcoseno di una lunghezza non si può proprio "vedere", e quindi volevo suggerirti che come argomento doveva esserci una grandezza adimensionale; matematicamente parlando alla primitiva logaritmica poteva essere sostituita una equivalente funzione arcoseno iperbolico, ma nella seguente forma
$sinh^-1(r/z)$
Potresti dirmi che anche usando il logaritmo si verrebbe ad avere un logaritmo di una lunghezza, che non si può vedere nemmeno lui, ma in questo caso è sempre presente in forma esplicita o implicita [nota]Quando per esempio abbiamo -log(1) che sparisce.[/nota] una differenza fra due logaritmi che sistema le cose dal punto di vista dimensionale.
Hai perfettamente ragione! Mi era proprio sfuggito :/
Grazie mille
Grazie mille
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