Potenziale elettrostatico e variazione di energia elettrostatica
Un sistema è costituito da 3 gusci sferici concentrici conduttori di raggi rispettivamente \(\displaystyle r_1 = 0.100m \), \(\displaystyle r_2 = 0.143m \) e \(\displaystyle r_3 = 0.200m \) e spessore trascurabile. Sul guscio di raggio
\(\displaystyle r_1 \) è presente la carica elettrica \(\displaystyle Q1 = 1.54nC \), il guscio di raggio \(\displaystyle r_2 \) è neutro, sul guscio di raggio \(\displaystyle r_3 \) è presente la carica elettrica \(\displaystyle Q_3 = 2.72nC \).
1) Determinare la differenza di potenziale elettrostatico, in volt, tra i gusci di raggio \(\displaystyle r_1 \) e \(\displaystyle r_3 \).
2) Determinare la variazione di energia elettrostatica del sistema, in nanojoule, nel passare dalla configurazione nella quale i gusci di raggio \(\displaystyle r_1 \) ed \(\displaystyle r_2 \) sono connessi con un filo conduttore.
Ho provato a risolvere il primo punto trovando il potenziale prima nel guscio di raggio \(\displaystyle r_1 \) e poi nel guscio di raggio \(\displaystyle r_2 \) in questo modo:
\(\displaystyle V(r_1) =\int_{r_1} ^{r_2} {E \cdot {dR}} = \frac {Q_1} {4πε_0} \cdot \biggl( \frac 1 {r_1} - \frac 1 {r_2} \biggr)\)
\(\displaystyle V(r_3) =\int_{r_2} ^{r_3} {E \cdot {dR}} = \frac {Q_1 + Q_3} {4πε_0} \cdot \biggl( \frac 1 {r_2} - \frac 1 {r_3} \biggr)\)
Ho poi fatto la differenza tra \(\displaystyle V(r_3) \) e \(\displaystyle V(r_1) \) solo che il risultato non coincide con quello del libro. Sapete dirmi dove ho sbagliato?
Per quanto riguarda la seconda domanda pensavo di procedere trovando prima l'energia elettrostatica iniziale \(\displaystyle U = \frac 1 2 \cdot \biggl( \int_0 ^{r_1} {EdL} + \int_{r_1} ^{r_2} {EdL} + \int_{r_2} ^{r_3} {EdL} + \int_{r_3} ^{\infty} {EdL} \biggr)\) e poi quella finale dove abbiamo che il termine\(\displaystyle \int_{r_1} ^{r_2} {EdL}\) è nullo, dal momento che i due gusci sono stati collegati da un filo conduttore, per poi fare la differenza.
Grazie a tutti in anticipo per l'aiuto
\(\displaystyle r_1 \) è presente la carica elettrica \(\displaystyle Q1 = 1.54nC \), il guscio di raggio \(\displaystyle r_2 \) è neutro, sul guscio di raggio \(\displaystyle r_3 \) è presente la carica elettrica \(\displaystyle Q_3 = 2.72nC \).
1) Determinare la differenza di potenziale elettrostatico, in volt, tra i gusci di raggio \(\displaystyle r_1 \) e \(\displaystyle r_3 \).
2) Determinare la variazione di energia elettrostatica del sistema, in nanojoule, nel passare dalla configurazione nella quale i gusci di raggio \(\displaystyle r_1 \) ed \(\displaystyle r_2 \) sono connessi con un filo conduttore.
Ho provato a risolvere il primo punto trovando il potenziale prima nel guscio di raggio \(\displaystyle r_1 \) e poi nel guscio di raggio \(\displaystyle r_2 \) in questo modo:
\(\displaystyle V(r_1) =\int_{r_1} ^{r_2} {E \cdot {dR}} = \frac {Q_1} {4πε_0} \cdot \biggl( \frac 1 {r_1} - \frac 1 {r_2} \biggr)\)
\(\displaystyle V(r_3) =\int_{r_2} ^{r_3} {E \cdot {dR}} = \frac {Q_1 + Q_3} {4πε_0} \cdot \biggl( \frac 1 {r_2} - \frac 1 {r_3} \biggr)\)
Ho poi fatto la differenza tra \(\displaystyle V(r_3) \) e \(\displaystyle V(r_1) \) solo che il risultato non coincide con quello del libro. Sapete dirmi dove ho sbagliato?
Per quanto riguarda la seconda domanda pensavo di procedere trovando prima l'energia elettrostatica iniziale \(\displaystyle U = \frac 1 2 \cdot \biggl( \int_0 ^{r_1} {EdL} + \int_{r_1} ^{r_2} {EdL} + \int_{r_2} ^{r_3} {EdL} + \int_{r_3} ^{\infty} {EdL} \biggr)\) e poi quella finale dove abbiamo che il termine\(\displaystyle \int_{r_1} ^{r_2} {EdL}\) è nullo, dal momento che i due gusci sono stati collegati da un filo conduttore, per poi fare la differenza.
Grazie a tutti in anticipo per l'aiuto
Risposte
Suggerimenti/ Spunti di riflessione
x Domanda 1
Tutti i gusci sferici aventi raggio tra r1 e r3 hanno carica in eccesso all'interno pari a Q1 visto che il guscio intermedio è neutro. Quindi, per il T. di Gauss, quanto vale il campo tra r1 e r3 e di conseguenza la ddp ?
x Domanda 2
a) Se i gusci interno e intermedio sono connessi da un filo conduttore dove si posizionerà la carica Q1?
b) Internamente tra r1 e r2 giustamente la ddp è nulla e non c'è campo. Torna con il risultato in a)?
c) Internamente tra r2 e r3 cambia qualcosa?
d) Esternamente (ovvero per r> r3) cambia qualcosa?
e) Una volta trovato il risultato questo è congruente con il calcolo ottenuto usando la densità di energia del campo elettrostatico $1/2 epsilon_0 E^2$?
x Domanda 1
Tutti i gusci sferici aventi raggio tra r1 e r3 hanno carica in eccesso all'interno pari a Q1 visto che il guscio intermedio è neutro. Quindi, per il T. di Gauss, quanto vale il campo tra r1 e r3 e di conseguenza la ddp ?
x Domanda 2
a) Se i gusci interno e intermedio sono connessi da un filo conduttore dove si posizionerà la carica Q1?
b) Internamente tra r1 e r2 giustamente la ddp è nulla e non c'è campo. Torna con il risultato in a)?
c) Internamente tra r2 e r3 cambia qualcosa?
d) Esternamente (ovvero per r> r3) cambia qualcosa?
e) Una volta trovato il risultato questo è congruente con il calcolo ottenuto usando la densità di energia del campo elettrostatico $1/2 epsilon_0 E^2$?
Grazie mille per i suggerimenti...sono riuscita a risolvere l'esercizio.
Per la domanda 1 sono partita sfruttando il teorema di Gauss in modo tale da trovare il campo elettrico e poi da questo ho trovato il potenziale in questo modo:
Per il teorema di Gauss \(\displaystyle E \cdot dS = \frac {Q_1} {ε_0} \), per cui integrando si ha \(\displaystyle E \cdot \int_0 ^{2π} \int_0 ^{π} R^2 sin \theta d\theta d\phi = \frac {Q_1} {\varepsilon _0}\), da cui si ottiene \(\displaystyle E = \frac {Q_1} {4π\varepsilon_0} \cdot \frac 1 {R^2} \).
Per ottenere infine il potenziale ho risolto l'integrale \(\displaystyle \int _{r_1}^{r_3} EdR \) ottenendo come risultato 69.2V
Per quanto riguarda la seconda domanda considerando che dal momento che i gusci interno e intermedio sono connessi da un filo conduttore la ddp tra r1 e r2 è nulla, per cui la carica Q1 si posiziona tra r2 e r3. Ho quindi trovato la ddp tra r2 e r3 utilizzando lo stesso procedimento della domanda 1 trovando \(\displaystyle \Delta V = \frac {Q_1} {4π\varepsilon_0} \cdot \biggl( \frac 1 {r_2} - \frac 1 {r_3} \biggr) = 27.6 V \)
A questo punto, considerando che nella regione esterna, ovvero per r > r3 non cambia nulla ho trovato la differenza di energia potenziale in questo modo: \(\displaystyle \Delta U = U_{fin} - U_{in} = \frac 1 2 \cdot {Q_1}^2 \cdot (\Delta V _{fin} - \Delta V_{in} ) = -32.0 nJ \)
Per la domanda 1 sono partita sfruttando il teorema di Gauss in modo tale da trovare il campo elettrico e poi da questo ho trovato il potenziale in questo modo:
Per il teorema di Gauss \(\displaystyle E \cdot dS = \frac {Q_1} {ε_0} \), per cui integrando si ha \(\displaystyle E \cdot \int_0 ^{2π} \int_0 ^{π} R^2 sin \theta d\theta d\phi = \frac {Q_1} {\varepsilon _0}\), da cui si ottiene \(\displaystyle E = \frac {Q_1} {4π\varepsilon_0} \cdot \frac 1 {R^2} \).
Per ottenere infine il potenziale ho risolto l'integrale \(\displaystyle \int _{r_1}^{r_3} EdR \) ottenendo come risultato 69.2V
Per quanto riguarda la seconda domanda considerando che dal momento che i gusci interno e intermedio sono connessi da un filo conduttore la ddp tra r1 e r2 è nulla, per cui la carica Q1 si posiziona tra r2 e r3. Ho quindi trovato la ddp tra r2 e r3 utilizzando lo stesso procedimento della domanda 1 trovando \(\displaystyle \Delta V = \frac {Q_1} {4π\varepsilon_0} \cdot \biggl( \frac 1 {r_2} - \frac 1 {r_3} \biggr) = 27.6 V \)
A questo punto, considerando che nella regione esterna, ovvero per r > r3 non cambia nulla ho trovato la differenza di energia potenziale in questo modo: \(\displaystyle \Delta U = U_{fin} - U_{in} = \frac 1 2 \cdot {Q_1}^2 \cdot (\Delta V _{fin} - \Delta V_{in} ) = -32.0 nJ \)
Ottimo! 
Nota: il $Q_1^2$ nell'ultima formula è chiaramente un refuso
Ripercorro rapidamente lo svolgimento in modo che eventualmente ne trovi qualche spunto per ridurre il lavoro (e non del campo
).
Non so se hai svolto realmente gli integrali della domanda 1, ma, poiché il campo ha simmetria sferica, risulta subito
$E*4 pi r^2 =Q_1/epsilon_0$ da cui $E=1/(4 pi epsilon_0)*Q_1/r^2$.
Questo significa che il campo è comunque assimilabile a quello di una carica puntiforme Q1 posta al centro delle sfere. E quindi anche il potenziale sarà tale. Di conseguenza:
$DeltaV = V_1-V_3 = Q_1/(4 pi epsilon_0)*(1/r_1-1/r_3)=69.2 V$
Nella domanda 2 la carica Q1 si sposta tutta nel guscio intermedio. Per r>r2 non cambia nulla (basta verificare con Gauss) pertanto l'energia persa è quella che era accumulata tra r1 e r2 ovvero:
$Delta U = -1/2 *Q_1* (V_1-V_2) = -32 nJ$
Verifica: coincide con l'energia persa usando la densità di energia?
Si, infatti se V è il volume compreso tra r1 e r2
$Delta U = - int_V 1/2 epsilon_0 *E^2 dV = - int_(r_1)^(r_2) 1/2 epsilon_0 (1/(4 pi epsilon_0)*Q_1/r^2)^2 pi *r^2 dr =$
$=- 1/2Q_1^2/(4 pi epsilon_0) int_(r_1)^(r_2) 1/r^2 dr =- 1/2Q_1^2/(4 pi epsilon_0) (1/r_1-1/r_2)=-1/2 *Q_1* (V_1-V_2) $
Nota: il $Q_1^2$ nell'ultima formula è chiaramente un refuso
Ripercorro rapidamente lo svolgimento in modo che eventualmente ne trovi qualche spunto per ridurre il lavoro (e non del campo
).Non so se hai svolto realmente gli integrali della domanda 1, ma, poiché il campo ha simmetria sferica, risulta subito
$E*4 pi r^2 =Q_1/epsilon_0$ da cui $E=1/(4 pi epsilon_0)*Q_1/r^2$.
Questo significa che il campo è comunque assimilabile a quello di una carica puntiforme Q1 posta al centro delle sfere. E quindi anche il potenziale sarà tale. Di conseguenza:
$DeltaV = V_1-V_3 = Q_1/(4 pi epsilon_0)*(1/r_1-1/r_3)=69.2 V$
Nella domanda 2 la carica Q1 si sposta tutta nel guscio intermedio. Per r>r2 non cambia nulla (basta verificare con Gauss) pertanto l'energia persa è quella che era accumulata tra r1 e r2 ovvero:
$Delta U = -1/2 *Q_1* (V_1-V_2) = -32 nJ$
Verifica: coincide con l'energia persa usando la densità di energia?
Si, infatti se V è il volume compreso tra r1 e r2
$Delta U = - int_V 1/2 epsilon_0 *E^2 dV = - int_(r_1)^(r_2) 1/2 epsilon_0 (1/(4 pi epsilon_0)*Q_1/r^2)^2 pi *r^2 dr =$
$=- 1/2Q_1^2/(4 pi epsilon_0) int_(r_1)^(r_2) 1/r^2 dr =- 1/2Q_1^2/(4 pi epsilon_0) (1/r_1-1/r_2)=-1/2 *Q_1* (V_1-V_2) $
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