Potenziale elettrico su una sfera in conduttori

[fu^2]

Sia data una sfera di raggio $a$ uniformemente carica con carica $Q$, inserita in modo concentrico in un conduttore sferico cavo con raggi (rispettivamente interno ed esterno) $R_1$ ed $R_2$. Mi si chiede di trovare il potenziale $V(a)$ sapendo che $V(oo)=0$.
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Io ho ragionato in questo modo:

Sulla superficie esterna del conduttore posso scrivere (essendo che si carica per induzione) che $V(R_2)=\int_{oo}^{R_2} Edl=Q/(4\pi\epsilon_0R_2)+V(oo)=Q/(4\pi\epsilon_0R_2)$.

essendo che nel conduttore il potenziale è costante, $V(R_1)=V(R_2)$.

Infine arriviamo alla nostra superficie interna: $V(a)=\int_{oo}^aEdl=\int_{oo}^{R_2}Edl+\int_{R_2}^{R_1}Edl+\int_{R_1}^aEdl=$ sapendo dal teorema di gauss che il campo tra $a$ ed $R_1$ è dato da $E=Q/(4\pi\epsilon_0r^2)$ ottengo, ricordando che $E$ nel conduttore è nullo e quindi il secondo integrale è zero, $V(a)=V(R_2)-V(oo)+Q/(4\pi\epsilon_0a)-V(R_1)=Q/(4\pi\epsilon_0a)$ essendo che $V(R_1)=V(R_2)$.

Quindi il conduttore io non lo vedo!! (cioè la sua presenza è completamente irrilevante) è possibile?...

Perchè il risultato che dovrei ottenere è $V(a)=Q/(8\pi\epsilon_0a)$, ovvero la metà del mio... ma secondo me questo è sbagliato... ho ragione io?... non capisco se e dove sbaglio...

[fu^2]

secondo me $V(0)=Q/(8\pi\epsilon_0a)$, infatti calcoliamo la differenza di potenziale tra il centro e la superficie: $DeltaV=int_a^0 Edl=int_a^0 (rho r)/(3\epsilon_0)dr=$ se scriviamo $rho=Q/(4/3pi a^3)$ otteniamo $=int_a^0 (Qr)/(4\pi \epsilon_0 a^3)=- (Q)/(8\pi \epsilon_0 a)=V(0)-V(a)$ (i quanto $V$ è la primitiva) cioè $V(a)=(Q)/(8\pi \epsilon_0 a)+C$ e $V(0)=C$

Dobbiamo ricavare $C$! ma noi sappiamo (se usiamo il teorema di Gauss e, per quando detto nel post precedente, ce ne freghiamo dei conduttori e quindi mettiamo solo il potenziale all'infinito come costante) che $V(a)= (Q)/(4\pi \epsilon_0 a)= (Q)/(8\pi \epsilon_0 a)+C$ da cui $C= (Q)/(8\pi \epsilon_0 a)$ e quindi abbiamo ricavato il potenziale in zero.


concordate? o mi sto perdendo fin dal principio in un bicchier d'acqua?..

[wedge]

no, c'è un qualcosa che non torna nemmeno a me nel problema stesso.
se il conduttore è in equilibrio, le cariche si disporranno certo non uniformemente nel suo volume, ma tenderanno a disporsi sulla superficie esterna.
la condizione con cariche diposte in maniera uniforme è tipica di un isolante.
devo ripensarci...

[fu^2]

ma il conduttore si carica per induzione... con $-Q$ sulla superficie interna e $+Q$ su quella esterna essendo che la carica $Q$ iniziale è interna al conduttore... Giusto?(e staranno disposte solo sulle due superfici, non all'interno)

[wedge]

chiedo venia, ho letto male il testo io.

[fu^2]

ci mancherebbe

e cosa ne pensi quindi della mia soluzione?...

[andra_zx]

Scusa se mi intrometto, ma come fai ad affermare che $V(R1) = V(R2)$ ? Questo sarebbe possibile solo se i 2 conduttori sferici fossero collegati, ma non è così..

[fu^2]

e si... è un unico conduttore sferico cavo all'interno ed $R_1$ è il raggio interno, $R_2$ è quello esterno. (quindi la sfera di raggio $R_1$ è vuota, dove è posizionata la carica interna, poi c'è diciamo uno spessore fino ad arrivare alla sfera di raggio $R_2$ e quello che c'è tra $R_1$ ed $R_2$ è il conduttore, quindi sono collegati...)
Forse si capisce male dal testo...

[andra_zx]

ah ok. Si in effetti il tuo ragionamento sembra non fare una piega..