Potenziale elettrico di un guscio sferico carico
Salve a tutti,
ho appena sostenuto l'esame scritto di Fisica II (superandolo), tuttavia ho dei dubbi sul seguente esercizio tratto dalla prova, che mi piacerebbe chiarire (specialmente per quanto riguarda il punto (b)).
"Un guscio sferico di raggio interno $R_1$ e raggio esterno $R_2$ è riempito da una carica di densità volumica $\rho = (\rho_0 r)/R_1$, $R_2 < r < R_1$. Determinare:
a) L'espressione del campo elettrostatico in tutto lo spazio della distribuzione di carica;
b) Il valore del potenziale elettrostatico sul guscio interno, ossia per $r = R_1$, rispetto a un punto all'infinito."
L'ho svolto così:
a) Applico semplicemente il teorema di Gauss per $r$ compreso tra $R_1$ ed $R_2$:
$\int_{S} \vec E * d\vecS = 1/\epsilon_0 int_{\tau} \rho d\tau$;
$E\int_{S}dS = \rho_0/(R_1\epsilon_0) \int_{R_1}^{r} r d(4/3 \pi r^3)$;
$E4\pi r^2 = \rho_0/(R_1\epsilon_0) \int_{R_1}^{r} r 4\pi r^2 dr$;
$E4\pi r^2 = (\rho_0 4\pi)/(R_1\epsilon_0) [(r^4)/4]_{R_1}^{r}$;
$E = (\rho_0(r^4 - R_1^4))/(4R_1 \epsilon_0 r^2)$.
b) Qui viene il "bello". Per prima cosa calcolo la differenza di potenziale tra la superficie interna del guscio (di potenziale $V_1$) e quella esterna (di potenziale $V_2$):
$\Delta V = V_1 - V_2 = \int_{R_1}^{R_2} \vec E * d\vec l = \int_{R_1}^{R_2} E dr =$
$= \int_{R_1}^{R_2} (\rho_0(r^4 - R_1^4))/(4R_1 \epsilon_0 r^2) dr =$
$= (\rho_0)/(4R_1 \epsilon_0) (\int_{R_1}^{R_2} (r^4)/(r^2) dr - \int_{R_1}^{R_2} (dr)/r^2) =$
$= (\rho_0)/(4R_1 \epsilon_0) ((R_2^3 - R_1^3)/3 + 1/R_2 - 1/R_1)$.
Ora calcolo il potenziale sulla superficie esterna, servendomi però dell'espressione che il campo elettrico assume all'esterno del guscio sferico (cioè $r > R_2$): $E = (\rho_0(R_2^4 - R_1^4))/(4R_1 \epsilon_0 r^2)$. Dunque, assumendo nullo il potenziale di un punto all'infinito, si avrà:
$V_2 = V_2 - V_\infty = \int_{R_2}^{\infty} \vec E * d\vec l =$
$= (\rho_0(R_2^4 - R_1^4))/(4R_1 \epsilon_0) (\int_{R_2}^{\infty} (dr)/r^2) =$
$= (\rho_0(R_2^4 - R_1^4))/(4R_1 \epsilon_0) [-1/r]_{R_2}^{\infty} =$
$= (\rho_0(R_2^4 - R_1^4))/(4R_1 \epsilon_0) [1/R_2 - 0] = (\rho_0(R_2^4 - R_1^4))/(4R_1R_2 \epsilon_0)$.
Allora il potenziale in $R_1$ sarà:
$V_1 = V_1 - V_2 + V_2 = (\rho_0)/(4R_1 \epsilon_0)((R_2^3 - R_1^3)/3 + 1/R_2 - 1/R_1 + (R_2^4 - R_1^4)/R_2)$.
E' corretto il ragionamento? Ringrazio in anticipo per ogni risposta.
ho appena sostenuto l'esame scritto di Fisica II (superandolo), tuttavia ho dei dubbi sul seguente esercizio tratto dalla prova, che mi piacerebbe chiarire (specialmente per quanto riguarda il punto (b)).
"Un guscio sferico di raggio interno $R_1$ e raggio esterno $R_2$ è riempito da una carica di densità volumica $\rho = (\rho_0 r)/R_1$, $R_2 < r < R_1$. Determinare:
a) L'espressione del campo elettrostatico in tutto lo spazio della distribuzione di carica;
b) Il valore del potenziale elettrostatico sul guscio interno, ossia per $r = R_1$, rispetto a un punto all'infinito."
L'ho svolto così:
a) Applico semplicemente il teorema di Gauss per $r$ compreso tra $R_1$ ed $R_2$:
$\int_{S} \vec E * d\vecS = 1/\epsilon_0 int_{\tau} \rho d\tau$;
$E\int_{S}dS = \rho_0/(R_1\epsilon_0) \int_{R_1}^{r} r d(4/3 \pi r^3)$;
$E4\pi r^2 = \rho_0/(R_1\epsilon_0) \int_{R_1}^{r} r 4\pi r^2 dr$;
$E4\pi r^2 = (\rho_0 4\pi)/(R_1\epsilon_0) [(r^4)/4]_{R_1}^{r}$;
$E = (\rho_0(r^4 - R_1^4))/(4R_1 \epsilon_0 r^2)$.
b) Qui viene il "bello". Per prima cosa calcolo la differenza di potenziale tra la superficie interna del guscio (di potenziale $V_1$) e quella esterna (di potenziale $V_2$):
$\Delta V = V_1 - V_2 = \int_{R_1}^{R_2} \vec E * d\vec l = \int_{R_1}^{R_2} E dr =$
$= \int_{R_1}^{R_2} (\rho_0(r^4 - R_1^4))/(4R_1 \epsilon_0 r^2) dr =$
$= (\rho_0)/(4R_1 \epsilon_0) (\int_{R_1}^{R_2} (r^4)/(r^2) dr - \int_{R_1}^{R_2} (dr)/r^2) =$
$= (\rho_0)/(4R_1 \epsilon_0) ((R_2^3 - R_1^3)/3 + 1/R_2 - 1/R_1)$.
Ora calcolo il potenziale sulla superficie esterna, servendomi però dell'espressione che il campo elettrico assume all'esterno del guscio sferico (cioè $r > R_2$): $E = (\rho_0(R_2^4 - R_1^4))/(4R_1 \epsilon_0 r^2)$. Dunque, assumendo nullo il potenziale di un punto all'infinito, si avrà:
$V_2 = V_2 - V_\infty = \int_{R_2}^{\infty} \vec E * d\vec l =$
$= (\rho_0(R_2^4 - R_1^4))/(4R_1 \epsilon_0) (\int_{R_2}^{\infty} (dr)/r^2) =$
$= (\rho_0(R_2^4 - R_1^4))/(4R_1 \epsilon_0) [-1/r]_{R_2}^{\infty} =$
$= (\rho_0(R_2^4 - R_1^4))/(4R_1 \epsilon_0) [1/R_2 - 0] = (\rho_0(R_2^4 - R_1^4))/(4R_1R_2 \epsilon_0)$.
Allora il potenziale in $R_1$ sarà:
$V_1 = V_1 - V_2 + V_2 = (\rho_0)/(4R_1 \epsilon_0)((R_2^3 - R_1^3)/3 + 1/R_2 - 1/R_1 + (R_2^4 - R_1^4)/R_2)$.
E' corretto il ragionamento? Ringrazio in anticipo per ogni risposta.
Risposte
Si, il ragionamento è corretto ma, mentre il calcolo del campo elettrico sembra corretto, quello per il potenziale è chiaramente errato, vista la non coerenza dimensionale della relazione finale; lascio a te scoprire cosa ti sei perso per strada. 
"Zultacchie":
$= (\rho_0)/(4R_1 \epsilon_0) (\int_{R_1}^{R_2} (r^4)/(r^2) dr - \int_{R_1}^{R_2} (dr)/r^2) =$
Ecco, ho dimenticato un $R_1^4$ prima del secondo integrale
Tra parentesi, mi sembra di averlo svolto correttamente nel compito e male qui. Facile lasciarsi sfuggire qualcosa quando si scrive al computer
Certo, ma puoi facilmente accorgertene quando trovi una formula finale che va a sommare $m^3$ a $m^{-1}$.
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