Potenziale elettrico
Ho un'atavica incapacità di comprensione del concetto di potenziale elettrico. Cioè, la definizione è comprensibile, ma quando entra in ballo il concetto di capacità elettrica, sorge un po' di confusione. Cito da wikipedia la definizione di potenziale, dopodichè espongo il problema:
"Per potenziale, in fisica, si intende il rapporto tra un'energia e il corpo origine dell'energia stessa. Ad esempio, il potenziale elettrico in un punto è il rapporto fra l'energia potenziale di una carica e la carica stessa (dove per energia potenziale si intende il lavoro necessario alla forza per spostare un corpo dal punto in cui si trova in un altro punto). L'ambito più comune in cui si utilizza il concetto di potenziale è sicuramente l'elettromagnetismo in cui appaiono due tipi di potenziale: il potenziale scalare e il potenziale vettore."
Il potenziale è il rapporto tra l'energia potenziale elettrica di una carica e la carica stessa. Così esposta, la definizione base mi fa subito pensare alla necessità di definire operativamente l'energia potenziale in relazione alla carica generatrice del campo (perchè la formula kQ/r, dove r è la distanza della carica che possiederebbe l'energia da quella che compirebbe il lavoro elettrico fino agi estremi del campo), cosicché verrebbe creata questa nuova grandezza fisica proprio per questo scopo. La stessa formula sarebbe concepita al secondo scopo di definire l'energia potenziale come una proprietà del campo stesso.
Stando a queste idee confuse, che ogni tanto sorgono e rendono così ostico il mio rapporto con la fisica, tanto bello e tanto conflittuale, nasce la confusione quando viene introdotto il concetto di Capacità elettrica.
Se infatti viene definita la capacità elettrica come il rapporto tra la carica stessa e il suo potenziale, come fa una carica non apparentemente inserita in un campo, a possedere potenziale? Se pure penso alla carica come generatrice essa stessa di un campo, come farebbe questa carica a possedere del potenziale se non può compiere lavoro su sé stessa? Non ci vuole un'altra carica per compiere lavoro sulla prima, o meglio, per far sì che vi sia un cambiamento dell'energia potenziale elettrica della prima carica?
E' come se un corpo, non inserito in un campo gravitazionale, possedesse energia potenziale di gravità: ciò sembra, ai miei pur ignoranti occhi, una cosa quantomeno discutibile.
Il mio dubbio viene in parte placato dall'analisi dei condensatori. Lì vi sono campi, o meglio vi sono differenze di potenziale interne, ad esempio, alle tue armature del condensatore piano. Ma in ogni caso, all 'inizio del mio testo, si fa riferimento, ad esempio, a conduttori sferici, dove differenze di potenziale interne non vi sono. E come misura del potenziale di questo conduttore, viene utilizzata la formula classica kQ/r, assumendo come carica "lavoratrice" la carica stessa del conduttore su cui si dovrebbe fare lavoro.
Probabilmente devo rifondare da zero la mia idea inconscia di potenziale, ovvero quella che, prescindendo dalla definizione razionale, è vera cultura, perchè consiste nell'intima convinzione del possedimento di un'idea.
"Per potenziale, in fisica, si intende il rapporto tra un'energia e il corpo origine dell'energia stessa. Ad esempio, il potenziale elettrico in un punto è il rapporto fra l'energia potenziale di una carica e la carica stessa (dove per energia potenziale si intende il lavoro necessario alla forza per spostare un corpo dal punto in cui si trova in un altro punto). L'ambito più comune in cui si utilizza il concetto di potenziale è sicuramente l'elettromagnetismo in cui appaiono due tipi di potenziale: il potenziale scalare e il potenziale vettore."
Il potenziale è il rapporto tra l'energia potenziale elettrica di una carica e la carica stessa. Così esposta, la definizione base mi fa subito pensare alla necessità di definire operativamente l'energia potenziale in relazione alla carica generatrice del campo (perchè la formula kQ/r, dove r è la distanza della carica che possiederebbe l'energia da quella che compirebbe il lavoro elettrico fino agi estremi del campo), cosicché verrebbe creata questa nuova grandezza fisica proprio per questo scopo. La stessa formula sarebbe concepita al secondo scopo di definire l'energia potenziale come una proprietà del campo stesso.
Stando a queste idee confuse, che ogni tanto sorgono e rendono così ostico il mio rapporto con la fisica, tanto bello e tanto conflittuale, nasce la confusione quando viene introdotto il concetto di Capacità elettrica.
Se infatti viene definita la capacità elettrica come il rapporto tra la carica stessa e il suo potenziale, come fa una carica non apparentemente inserita in un campo, a possedere potenziale? Se pure penso alla carica come generatrice essa stessa di un campo, come farebbe questa carica a possedere del potenziale se non può compiere lavoro su sé stessa? Non ci vuole un'altra carica per compiere lavoro sulla prima, o meglio, per far sì che vi sia un cambiamento dell'energia potenziale elettrica della prima carica?
E' come se un corpo, non inserito in un campo gravitazionale, possedesse energia potenziale di gravità: ciò sembra, ai miei pur ignoranti occhi, una cosa quantomeno discutibile.
Il mio dubbio viene in parte placato dall'analisi dei condensatori. Lì vi sono campi, o meglio vi sono differenze di potenziale interne, ad esempio, alle tue armature del condensatore piano. Ma in ogni caso, all 'inizio del mio testo, si fa riferimento, ad esempio, a conduttori sferici, dove differenze di potenziale interne non vi sono. E come misura del potenziale di questo conduttore, viene utilizzata la formula classica kQ/r, assumendo come carica "lavoratrice" la carica stessa del conduttore su cui si dovrebbe fare lavoro.
Probabilmente devo rifondare da zero la mia idea inconscia di potenziale, ovvero quella che, prescindendo dalla definizione razionale, è vera cultura, perchè consiste nell'intima convinzione del possedimento di un'idea.
Risposte
Provo a risponderti:se una carica elettrica viene spostata da un'armatura (supponi quella positiva) a quella negativa, il campo elettrico deve compiere un lavoro. Se ciò non accade, bisogna spendere un lavoro contro il campo elettrico, e questo lavoro viene immagazzinato nella tua carica q tramite energia potenziale. Inoltre la differenza di potenziale tra due punti a b, può essere vista come il lavoro che bisogna compiere per spostare una carica qo da a ad b (scusa l'ad 
). Inotlre in un condesatore, è la differenza di potenziale tra le due armature che a te "interessa", che può essere calcolata essendo a conoscenza del campo presente tra esse, infatti:
$DeltaV=V_+-V__=-int__^+Eds=int_+^-Eds$ dove Eds si intende il prodotto scalare. Il generatore che tu colleghi per mantere una d.d.p. costante tra le armature compie appunto un lavoro per mantere questa d.d.p. Non so se ti ho risposto
). Inotlre in un condesatore, è la differenza di potenziale tra le due armature che a te "interessa", che può essere calcolata essendo a conoscenza del campo presente tra esse, infatti:$DeltaV=V_+-V__=-int__^+Eds=int_+^-Eds$ dove Eds si intende il prodotto scalare. Il generatore che tu colleghi per mantere una d.d.p. costante tra le armature compie appunto un lavoro per mantere questa d.d.p. Non so se ti ho risposto
quando ad esempio anche colleghi una batteria ad un circuito, essa mantiene una f.e.m. nel circuito: facendo le solite analogie con l'idraulica, essa pompa le cariche da un punto di pontenziale più basso, ad un punto di potenziale maggiore. La f.e.m è definita come il lavoro per unità di carica svotlo dalla batteria. Quando appunto colleghi la batteria al circuito, entro i conduttori è presente un campo elettrico, in quanto le cariche devono scorrere, e senza di esso questo scorriemtno non sarebbe possibile. Perchè si instauri nei conduttori una corrente, anche notevole, bastano valori di cariche piccolissime che si instaurino sulla sua superficie. Infatti, appena colleghi la batteria, c'è una fase transitoria che dura pochissimo, in cui queste cariche si dispongono sulle superfici interne del conduttore, in modo da "guidare"le cariche che instaureranno la corrente lungo tutto il conduttore.
Ti ho scritto questa cosa perchè forse ti può aiutare a capire anche in un coduttore cosa sia il potenziale.
Ti ho scritto questa cosa perchè forse ti può aiutare a capire anche in un coduttore cosa sia il potenziale.
Guardate come è definita la capacità elettrica da wikipedia:
"La capacità elettrica o capacitanza è una grandezza fisica scalare che misura la quantità di carica elettrica accumulata da un condensatore in rapporto alla differenza di potenziale fra i suoi capi, secondo la formula C=Q/V."
A questo punto sarebbe smentito il mio dubbio perchè per potenziale di un conduttore si intenderebbe sempre la d.d.p. tra due capi, due armature, o comunque, tra due punti diversi di esso (anche punti in cui viene applicata tramite capi il generatore che stabilizza la d.d.p.)
Mi confermate che la definizione di wikipedia è giusta e che l'interpretazione data da me alle parole del mio libro sia errata?
A minavagante: sulla f.e.m. devo approfondire, perchè mi cogli un po' alla sprovvista.
"La capacità elettrica o capacitanza è una grandezza fisica scalare che misura la quantità di carica elettrica accumulata da un condensatore in rapporto alla differenza di potenziale fra i suoi capi, secondo la formula C=Q/V."
A questo punto sarebbe smentito il mio dubbio perchè per potenziale di un conduttore si intenderebbe sempre la d.d.p. tra due capi, due armature, o comunque, tra due punti diversi di esso (anche punti in cui viene applicata tramite capi il generatore che stabilizza la d.d.p.)
Mi confermate che la definizione di wikipedia è giusta e che l'interpretazione data da me alle parole del mio libro sia errata?
A minavagante: sulla f.e.m. devo approfondire, perchè mi cogli un po' alla sprovvista.
non ho capito molto il tuo dubbio, comunque, la V della formula della capacità è una differenza di potenziale tra le armature, e tra due punti di un circuito si parla sempre di differenza di potenziale. Il potenziale in sè di un punto non ha molto senso visto che il potenziale =0 viene preso arbitrariamente
La capacità la puoi riferire ad un conduttore, per cui è data dal rapporto tra la carica del conduttore ed il potenziale al quale questo si trova (posto nullo il potenziale all'infinito), o ad un condensatore, nel qual caso è data dal rapporto tra la carica delle armature (cariche uguali in modulo e di segno opposto) e la differenza di potenziale delle stesse.
"minavagante":
non ho capito molto il tuo dubbio, comunque, la V della formula della capacità è una differenza di potenziale tra le armature, e tra due punti di un circuito si parla sempre di differenza di potenziale. Il potenziale in sè di un punto non ha molto senso visto che il potenziale =0 viene preso arbitrariamente
Beh questo non è proprio esatto...la funzione potenziale anzi è una funzione che associa a ogni punto un potenziale, fissato lo 0 arbitrariamente a un altro punto che può essere l'infinito. Ad esempio il potenziale a distanza x da uno strato piano è sigma/2E0* x.
Per rispondere alla domanda iniziale, partirei dal concetto di funzione potenziale in analisi.
Si abbia infatti un generico campo vettoriale, ossia una funzione che associa a un vettore (di 2 o 3 dimensioni nella fisica classica) un altro vettore (sempre di 2 o 3 dim).
In fisica, senza cioè attaccarci troppo ad astrattismi matematici, il vettore di partenza sarebbe la copia nel piano o la terna dello spazio di numeri che individua il punto e il secondo vettore appunto la forza o il campo che agisce in quel punto.
IN analisi si definiscono tre operatori differenziali oltre a quello di derivazione usato per le funzioni a una sola variabile.
OPERATORE GRADIENTE (grad): indicato con una Delta triangolare rovesciata, associa a una generico campo scalare G (funzione in n variabili) il campo vettoriale dG/dx1 *versore1+ dG/dx2 * versore2+ ....+ dG/xn *versoren. Sono tutte derivate parziali.
OPERATORE DIVERGENZA(div): preso un campo vettoriale F, di componenti F1 F2...Fn (si noti che qualche componente può essere 0 o un numero fisso), ciascuna funzione di n o meno variabili, il campo scalare associato è dF1/dx1 +dF2/dx2....dFn/dxn.
OPERATORE ROTORE(rot): si definisce solo per campi in 2 o 3 dimensioni. E' il determinante di una matrice a derivate parziali che non so scrivere...ci provo
rotF= | i j k |
| |
| d /dx d /dy d / dz |
| |
| F1 F2 F3 |
Se il campo F è bidimensionale si pone F3=0 e si svolge il calcolo del determinante normalmente. Il rotore pertano associa a un campo vettoriale a un altro campo vettoriale.
Abbiamo quindi visto che a ogni campo scalare può esser associato un gradiente, e a ogni campo vettoriale in 2 o 3 dim un rotore. Ora chiediamoci sotto quali condizioni è vero l'inverso? cioè quando un campo vettoriale è gradiente di qualcosa? e quando un campo è rotore di qualcosa?
si ha che se un campo F è gradiente di una funzione scalare si ha rotF= 0. Provatea fare i calcoli.
Se un campo F è invece rotore di un altro campo si ha divF=0.
Al di là di vedere come si fa a verificare se e quando queste condizioni sono sufficienti a vedere se un campo è rotore o gradiente di qualcosa, una volta dimostrato che esso è gradiente di un campo scalare, quel campo viene detto CONSERVATIVO e il campo scalare associato si chiamerà funzione potenziale scalare, o semplicemente potenziale, mentre se si dimostra che esso è rotore di qualcosa, si chiamerà SOLENOIDALE e il campo di cui è rotore si chiama potenziale vettoriale.
Quello che interessa alla domanda è il potenziale scalare.
Si dimostra che detto F il campo e U la funzione potenziale, si ha che l'integrale di linea lungo una linea chiusa è sempre 0, e che l'integrale di linea tra due punti dipende solo dai due punti e non dal percorso lungo cui il campo fa lavoro (ricordando la definizione di lavoro di un campo integrale di linea di F scalare ds)
la funzione potenziale appunto permette di associare a ogni punto un potenziale, in modo che se io voglio calcolare il lavoro per passare da un punto a un altro del campo, basta che faccio la differenza tra i due punti. Poichè ci sono delle derivate parziali di mezzo, è immediato notare che il potenziale è definito a meno di una costante additiva: ciò significa che dato un campo F ha infiniti potenziali U + k , con k appartentente a R. Per questo si deve fissare un punto in cui il potenziale vale 0. Poi si fa un integrale di linea lungo un percorso conveniente per i calcoli dal punto 0 al punto generico e la funzione che si ricava è la funzione potenziale.
in fisica si conviene CAMBIARe LA FUNZIONE POTENZIALE DI SEGNO, in modo da poterla utilizzare in discorsi di conservazione dell'energia, e viceversa dato una funzione potenziale U il campo vettoriale associato è -gradU. Ma questa è un altra storia.
Ora, quali campi incontriamo in fisica? gravitazionale elettrico (elettrostatico o elettromotore...) magnetico...o altri campi di forze. lasciando stare il campo mangetico che non è conservativo ma solenoidale, per calcolare la funzione potenziale di un campo di forze basta proceder come detto.
Es: si abbia la funzione ENERGIA potenziale di uno strato di massa piano (quello a cui si approssima la Terra quando siamo a basse quote). Fissato un sistema di riferimento a 3 assi x, y e h, sappimo che essa è mgh. Facciamone il gradiente e cambiamone il segno...cosa troviamo? -mg k. cioè il campo vettoriale chiamato "forza peso", e il segno - concorde col fatto che la forza peso è diretta opposta al versore dell'asse h, cioè è diretta berso il basso.
Ora, in fisica dati i campi di forze gravitazionale ed elettrostatico, gli si associa appunto un altro campo che appunto si chiama..."campo" che è dato dalle componenti della forza divise per la grandezza a cui è applicata la forza. Campo gravitazionale= Fg /m, campo elettrostatico Fe/q...poichè le m o le q su cui agisce la forza sono sempre quantità costanti,a llora esse non cambiano quando si fanno le derivate parziali e perciò si ha come conseguenza che anche la funzione potenziale elettrostatico è uguale alla funzione energia potenziale diviso la carica. Ma questa è solo una conseguenza, non una definizione.
E per il teorema del gradiente si ha:
integrale di linea tda A a B di gradU in ds = U(A)- U(B)
cioè il lavoro dipende dai punti di partenza e arrivo e non dal percorso.
Informazione aggiuntiva: il potenziale 0 si usa associarlo al infinito se la distribuzione di carica o di massa è localizzata al finito (cioè una sfera carica, una massa puntiforme...) mentre se una sorgente è infinita (strato piano infinito carico, condensatore ideale, filo indefinito carico...) si associa lo 0 al finito, poichè all'infinito risulta impossibile dato che c'è sorgente anche lì;-)Se si provasse a svolgere il calcolo infatti si otterrebbe un integrale indefinito divergente.
Altro esempio di potenziale inverso a quello della forza peso: si prenda il potenziale elettrostatico di una carica puntiforme 1/4pigrecoE0 Q/r che associa un potenziale in ogni punto intorno alla carica.
Questo è in coordinate polari, se dovessimo indicarlo in notazione cartesiana sarebbe 1/4pigrecoE0 Q/(x^2+y^2+z^2)^(1/2).
Fai -gradV e cosa trovi? 1/4pigrecoE0 Qx/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) i + 1/4pigrecoE0 Qy/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) j + 1/4pigrecoE0 Qz/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) k.
Scritto così è brutto ma passiamo in coordinate polari. x^2+y^2+z^2 è uguale al modulo di r^2 e quindi quella roba lì alla 3/2 è uguale al modulo di r^3. xi + yj + zk è una somma vettoriale e il risultato è il modulo della distanza r per il versore radiale ur.
pertanto si ha in coordinate polari 1/4pigrecoE0 * Qr/r3 * ur, e semplificando gli r 1/4pigrecoE0 Q/r^2 * ur... E guarda un po che abbiamo trovato;-)E o non è il campo elettrostatico generato da una carica puntiforme?
Spero di esser stato esauriente
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