Potenziale elettrico

[el principe]

Salve a tutti non mi ritrovo con il risultato del libro e non sono sicuro della corettezza dei miei passaggi
allora il problema è il seguente:


Allora per calcolare il potenziale uso la formula:
$dV= k (dq)/r = k (\lambda dx)/r$
essendo $r=(x^2+d^2)^(1/2)$ si ha
$dV= k (\lambda dx)/(x^2+d^2)^(1/2)$
Essendo simmetrica rispetto all'asse y tutti i potenziali perpendicolari all'asse si annullano quindi rimane solo il contributo parallelo all'asse y
$dV= k (\lambda dx)/(x^2+d^2)^(1/2)*cos\Theta=k (\lambda dx)/(x^2+d^2)^(1/2)*d/r=k (\lambda dx)/(x^2+d^2)^(1/2)*d/(x^2+d^2)^(1/2)= k \lambda d dx/(x^2+d^2)$
Riconducendolo alla forma della arcotangente otteniamo
$dV= k \lambda d dx/((x/d)^2+1)$
integrando otteniamo:
$V= k \lambda d^2 \int_(-L/2)^(L/2)dx/(d(x/d)^2+1)$
$V= k \lambda d^2 \int_(-L/2)^(L/2) \arctan(x/d)$
$V= k \lambda d^2 1/2 ln((1+x/d)/(1-x/d))_(-L/2)^(L/2)$
$V= k \lambda d^2 1/2 ln((1+L/(2d))/(1-L/(2d)))-ln((1-L/(2d))/(1+L/(2d)))$
$V= k \lambda d^2 1/2 ln((1+L/(2d))/(1-L/(2d))/(1-L/(2d))/(1+L/(2d)))=k \lambda d^2 1/2 ln((1+L/(2d))/(1-L/(2d))*(1+L/(2d))/(1-L/(2d)))=k \lambda d^2 1/2 ln((1+L/(2d))/(1-L/(2d)))^2$
$V=k \lambda d^2 ln((2d+l)/(2d-L)) = 8,98*10^9*3,68*10^-12*0,08^2*ln((2*0,08+0,06)/(2*0,08-0,06))$
$V=8,98*10^9*3,68*10^-12*0,08^2*ln(2,2)=1,6*10^-4 V$

Mentre il risultato del libro è:$24.3mV$. Dove ho sbagliato?

[chiaraotta1]

"el principe":
.....
Dove ho sbagliato?

Qui.....

"el principe":
.....
Essendo simmetrica rispetto all'asse y tutti i potenziali perpendicolari all'asse si annullano quindi rimane solo il contributo parallelo all'asse y
.....

Il potenziale è uno scalare.
Mi sembra che sia
$V=2*lambda/(4 pi epsilon_0)*ln((L/2+sqrt(L^2/4+d^2))/d)$

[el principe]

Hai ragione, In effetti il risultato esce! però provando a farlo ho delle difficoltà ad arrivare al tuo risultato

$dV= k (dq)/r = k (\lambda dx)/r$
essendo $r=(x^2+d^2)^(1/2)$ si ha
$dV= k (\lambda dx)/(x^2+d^2)^(1/2)$

Riconducendolo alla forma dell'arcoseno otteniamo
$dV= k \lambda dx/(d sqrt((x/d)^2+1))$
integrando otteniamo:
$V= k \lambda \int_(-L/2)^(L/2)dx/(d sqrt((x/d)^2+1))$
$V= k \lambda \int_(-L/2)^(L/2) \arcsen(x/d)$
$V= k \lambda ln(x/d+sqrt((x/d)^2+1))_(-L/2)^(L/2)=k \lambda d ln((x+sqrt(x^2+d^2))/d)_(-L/2)^(L/2)$
$V= k \lambda [ln((L/2+sqrt(L^2/4+d^2))/d)-ln((-L/2+sqrt((-L)^2/4+d^2))/d)]$
$V= k \lambda ln((L/2+sqrt(L^2/4+d^2))/(-L/2+sqrt((-L)^2/4+d^2)))$
Dove sbaglio? Grazie per la pazienza

[chiaraotta1]

"el principe":...
$V= k \lambda ln((L/2+sqrt(L^2/4+d^2))/(-L/2+sqrt((-L)^2/4+d^2)))$
Dove sbaglio? Grazie per la pazienza

$V= k lambda ln((L/2+sqrt((L/2)^2+d^2))/(-L/2+sqrt((-L/2)^2+d^2)))= k lambda ln((L/2+sqrt((L/2)^2+d^2))/(-L/2+sqrt((-L/2)^2+d^2))*(L/2+sqrt((L/2)^2+d^2))/(L/2+sqrt((L/2)^2+d^2)))=$
$ k lambda ln(((L/2+sqrt((L/2)^2+d^2))^2)/(L^2/4+d^2-(L/2)^2))= k lambda ln(((L/2+sqrt((L/2)^2+d^2))^2)/(d^2))= 2k lambda ln((L/2+sqrt((L/2)^2+d^2))/d)$

[el principe]

E' vero! Grazie mille!