Potenziale elettrico
Gent.lissimi membri di matematicamente.
svolgendo alcuni esercizi ho notato di avere dei dubbi riguardanti la teoria sul Potenziale elettrico.
La differenza di potenziale tra due punti A e B (V(b)-V(a)) l'abbiamo definita a lezione come il vettore E scalare il vettore dr.
Il mio dubbio è questo: se ,idealmente, lo spostamento lo vedo da A a B, perchè integro da A a B, e il mio campo elettrico è da B ad A, il prodotto scalare tra i due vettori antiparalleli è uguale al prodotto dei loro moduli per meno uno?
Oppure integrando tra due punti nello spazio delineo già uno spostamento e non devo cambiare segno nell'integrale?
So che essendo una forza conservativa quella elettrica, il lavoro non dipende ne dal percorso nel dal verso di percorrenza, quindi devo o no cambiare il segno per un prodotto antiparallelo?
L'idea è questa ho un disco carico positivo e una carica negativa, quindi la forza è attrattiva e lo spostamento concorde alla forza. (Infatti il lavoro è positivo). Per la differenza di potenziale (dV=-EdR) E e dR sono discordi no? quindi il segno non dovrebbe essere negativo? Se faccio cosi però mi esce una differenza di potenziale negativa il che è in contrasto con il fatto che una carica negativa si muove sempre verso potenziali più positivi per cui diff V>0..
Please aiutatemi.
Grazie per l'attenzione
svolgendo alcuni esercizi ho notato di avere dei dubbi riguardanti la teoria sul Potenziale elettrico.
La differenza di potenziale tra due punti A e B (V(b)-V(a)) l'abbiamo definita a lezione come il vettore E scalare il vettore dr.
Il mio dubbio è questo: se ,idealmente, lo spostamento lo vedo da A a B, perchè integro da A a B, e il mio campo elettrico è da B ad A, il prodotto scalare tra i due vettori antiparalleli è uguale al prodotto dei loro moduli per meno uno?
Oppure integrando tra due punti nello spazio delineo già uno spostamento e non devo cambiare segno nell'integrale?
So che essendo una forza conservativa quella elettrica, il lavoro non dipende ne dal percorso nel dal verso di percorrenza, quindi devo o no cambiare il segno per un prodotto antiparallelo?
L'idea è questa ho un disco carico positivo e una carica negativa, quindi la forza è attrattiva e lo spostamento concorde alla forza. (Infatti il lavoro è positivo). Per la differenza di potenziale (dV=-EdR) E e dR sono discordi no? quindi il segno non dovrebbe essere negativo? Se faccio cosi però mi esce una differenza di potenziale negativa il che è in contrasto con il fatto che una carica negativa si muove sempre verso potenziali più positivi per cui diff V>0..
Please aiutatemi.
Grazie per l'attenzione
Risposte
"tokishiro":
La differenza di potenziale tra due punti A e B (V(b)-V(a)) l'abbiamo definita a lezione come il vettore E scalare il vettore dr
Attenzione! Il potenziale elettrostatico è definito in modo che valga la relazione
\(\displaystyle V(A)-V(B)=\int_A^B \vec E \cdot d\vec r \)
e quindi al primo membro NON hai $V(B)-V(A)$. La regola è che il primo estremo di integrazione coincide con il il primo punto.
"tokishiro":
So che essendo una forza conservativa quella elettrica, il lavoro non dipende ne dal percorso nel dal verso di percorrenza,
No!! Il lavoro non dipende dal percorso per andare da un punto $A$ ad un punto $B$ ma ovviamente dipende da quale dei due punti ha il ruolo di punto di partenza e da quale quello di arrivo. In pratica si ha:
\(\displaystyle L_{A\rightarrow B} =-L_{B\rightarrow A}\)
"tokishiro":
L'idea è questa ho un disco carico positivo e una carica negativa, quindi la forza è attrattiva e lo spostamento concorde alla forza. (Infatti il lavoro è positivo). Per la differenza di potenziale (dV=-EdR) E e dR sono discordi no? quindi il segno non dovrebbe essere negativo? Se faccio cosi però mi esce una differenza di potenziale negativa il che è in contrasto con il fatto che una carica negativa si muove sempre verso potenziali più positivi per cui diff V>0..
L'errore è che usi la formula sbagliata per calcolare la ddp (vedi quanto ti ho detto all'inizio). Se il disco è positivo e la carica è negativa, il campo elettrico $\vec E$ va dal disco alla carica. Se consideri uno spostamento $d\vec r$ della carica che si avvicina al disco, allora i due vettori sono discordi ed il loro prodotto scalare è negativo, per cui si ha (assumendo che il punto $A$ sia quello più lontano dal disco e $B$ quello più vicino):
\(\displaystyle V(A)-V(B)=\int_A^B \vec E \cdot d\vec r <0 \) e quindi \(\displaystyle V(A)
e cioè la carica si è spostata verso un punto a potenziale più grande.
Si perfetto.. però il mio problema è che se integro, l'integrale esce un numero negativo! è questo che mi manda in tilt..
il procedimento è questo:
Sia la carica $-q$ posta nel punto A ad altezza $h=3R$ dal disco carico $+Q_(D)$ di raggio R posto, diciamo per comodità, nel punto B.
$ int_(V(a))^(V(b))dv= -int_(a)^(b)vec(E)*vec(dr)=+int_(h)^(0)E*dr $
Questo perchè mi muovo in direzione opposta.
Il campo elettrico sentito dalla carica è:
$ sigma /(4epsilon_(0))(1-h/sqrt(h^2+R^2))vec(u_(y)) $
e l'integrale esce:
$ sigma /(2epsilon)[h-sqrt(h^2+R^2)]_{h)^(0) $
che risolto con $h=3R$mi da:
$ Q_(D)/(2piepsi_(0)R)(sqrt10-4)<0 $
perchè?
in modulo il valore è giusto.. sbaglio solo il segno
ps se vi può servire il mio sistema di riferimento è un asse radiale e uno da o a h, nel verso di E
il procedimento è questo:
Sia la carica $-q$ posta nel punto A ad altezza $h=3R$ dal disco carico $+Q_(D)$ di raggio R posto, diciamo per comodità, nel punto B.
$ int_(V(a))^(V(b))dv= -int_(a)^(b)vec(E)*vec(dr)=+int_(h)^(0)E*dr $
Questo perchè mi muovo in direzione opposta.
Il campo elettrico sentito dalla carica è:
$ sigma /(4epsilon_(0))(1-h/sqrt(h^2+R^2))vec(u_(y)) $
e l'integrale esce:
$ sigma /(2epsilon)[h-sqrt(h^2+R^2)]_{h)^(0) $
che risolto con $h=3R$mi da:
$ Q_(D)/(2piepsi_(0)R)(sqrt10-4)<0 $
perchè?
in modulo il valore è giusto.. sbaglio solo il segno
ps se vi può servire il mio sistema di riferimento è un asse radiale e uno da o a h, nel verso di E
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