Potenziale di una sfera con densità variabile
Ciao, mentre facevo degli esercizi mi è venuto un dubbio nel modo di trovare il campo elettrico di una sfera con densità volumetrica variabile (con r)
In un esercizio ho una sfera con densità $ rho = alpha * r^2 $ . Della sfera conosco il raggio R
Mi chiede il potenziale tra il centro della sfera e la superficie.
quando provo a trovarmi la carica Q interna faccio (per definizione di densità volumetrica)
$ Q_(nterno) = rho * d(Volume) = int_(0)^(R) alpha * r^2 * 4 * pi * r^2 dr = alpha * 4 * pi * R^5 /5 $
Qui ho un dubbio, non so se integrare solo il volume e poi moltiplicare per il mio $ rho$ oppure fare come ho scritto sopra.
Poi continuando per trovare il campo elettrico all'esterno della mia sfera in un punto p faccio
$E= k * Q_(nterno)/R_p^2$
Per trovare quello interno
$E= Q_(nterno)/ (epsilon_0 * 4 * pi * r^2) $
Per il potenziale
$ V_R - V_0 = int_(R)^(0) E_(nterno) $
Dopo il dubbio che ho esposto il procedimento è giusto?
In un esercizio ho una sfera con densità $ rho = alpha * r^2 $ . Della sfera conosco il raggio R
Mi chiede il potenziale tra il centro della sfera e la superficie.
quando provo a trovarmi la carica Q interna faccio (per definizione di densità volumetrica)
$ Q_(nterno) = rho * d(Volume) = int_(0)^(R) alpha * r^2 * 4 * pi * r^2 dr = alpha * 4 * pi * R^5 /5 $
Qui ho un dubbio, non so se integrare solo il volume e poi moltiplicare per il mio $ rho$ oppure fare come ho scritto sopra.
Poi continuando per trovare il campo elettrico all'esterno della mia sfera in un punto p faccio
$E= k * Q_(nterno)/R_p^2$
Per trovare quello interno
$E= Q_(nterno)/ (epsilon_0 * 4 * pi * r^2) $
Per il potenziale
$ V_R - V_0 = int_(R)^(0) E_(nterno) $
Dopo il dubbio che ho esposto il procedimento è giusto?
Risposte
Di fatto, sei solo interessato a determinare il campo all'interno della sfera. Per la simmetria sferica del problema, si tratta di applicare il teorema di Gauss calcolando il flusso attraverso una generica superficie sferica di raggio $[0<=r<=R]$:
$[E*4pir^2=(4pialpha)/epsilon_0\int_(0)^(r)r^4dr] rarr [E*4pir^2=(4pialpha)/(5epsilon_0)r^5] rarr [E=alpha/(5epsilon_0)r^3]$
Infine:
$[V(r)=\int_(0)^(r)Edr] rarr [V(r)=alpha/(5epsilon_0)\int_(0)^(r)r^3dr] rarr [V(r)=alpha/(20epsilon_0)r^4]$
avendo imposto nullo il potenziale nel centro della sfera. Probabilmente, intendevi procedere calcolando il campo a distanza $[r]$ come quello generato da una carica puntiforme posta nel centro e di valore pari alla sola carica interna alla superficie sferica di raggio $[r]$. Ovviamente, i due procedimenti sono del tutto equivalenti. Veramente, il secondo è un corollario del primo. Tuttavia, non sei stato molto chiaro nella tua deduzione.
$[E*4pir^2=(4pialpha)/epsilon_0\int_(0)^(r)r^4dr] rarr [E*4pir^2=(4pialpha)/(5epsilon_0)r^5] rarr [E=alpha/(5epsilon_0)r^3]$
Infine:
$[V(r)=\int_(0)^(r)Edr] rarr [V(r)=alpha/(5epsilon_0)\int_(0)^(r)r^3dr] rarr [V(r)=alpha/(20epsilon_0)r^4]$
avendo imposto nullo il potenziale nel centro della sfera. Probabilmente, intendevi procedere calcolando il campo a distanza $[r]$ come quello generato da una carica puntiforme posta nel centro e di valore pari alla sola carica interna alla superficie sferica di raggio $[r]$. Ovviamente, i due procedimenti sono del tutto equivalenti. Veramente, il secondo è un corollario del primo. Tuttavia, non sei stato molto chiaro nella tua deduzione.
Mi sembra che si potrebbe anche ragionare così ....
Se la densità di carica nel volume, $rho$, è del tipo $rho=alpha*r^2$, il valore della costante $alpha$ di proporzionalità si può calcolare in funzione del raggio $R$ della sfera e della carica totale $Q$. Infatti
$Q=\int_(Volume)dq=\int_(Volume)rho dV=\int_0^R alpha*r^2*4*pi*r^2dr=4*pi*alpha\int_0^Rr^4 dr=4*pi*alpha*1/5*R^5= 4/5*pi*alpha*R^5$,
da cui
$alpha=5/4*Q/(pi*R^5)$.
Il potenziale $V(R)$ sulla superficie della sfera è quello che si avrebbe se tutta la carica $Q$ fosse concentrata al centro. Quindi
$V(R)=k_e*Q/R$.
Il potenziale al centro $V(0)$ si può calcolare come somma dei potenziali prodotti da gusci sferici con carica $dq$, di spessore infinitesimo, al loro centro: $dV=k_e*(dq)/r$, dove $dq=rho*4*pi*r^2*dr=alpha*r^2*4*pi*r^2*dr$. Quindi
$V(0)=\int_(Volume)dV=\int_(Volume)k_e*(dq)/r= \int_0^R k_e*alpha*r^2*4*pi*r^2*(dr)/r =$
$\ \ \ \ \ 4*pi*k_e*alpha*\int_0^R r^3dr=4*pi*k_e*alpha*1/4*R^4=pi*k_e*alpha*R^4$.
Sostituendo l'espressione di $alpha$ trovata prima, si ottiene che
$V(0) =pi*k_e*alpha*R^4=pi*k_e*5/4*Q/(pi*R^5)*R^4=5/4*k_e*Q/R$.
Concludendo:
$Delta V = V(0)-V(R)=5/4*k_e*Q/R-k_e*Q/R=1/4*k_e*Q/R$.
Se la densità di carica nel volume, $rho$, è del tipo $rho=alpha*r^2$, il valore della costante $alpha$ di proporzionalità si può calcolare in funzione del raggio $R$ della sfera e della carica totale $Q$. Infatti
$Q=\int_(Volume)dq=\int_(Volume)rho dV=\int_0^R alpha*r^2*4*pi*r^2dr=4*pi*alpha\int_0^Rr^4 dr=4*pi*alpha*1/5*R^5= 4/5*pi*alpha*R^5$,
da cui
$alpha=5/4*Q/(pi*R^5)$.
Il potenziale $V(R)$ sulla superficie della sfera è quello che si avrebbe se tutta la carica $Q$ fosse concentrata al centro. Quindi
$V(R)=k_e*Q/R$.
Il potenziale al centro $V(0)$ si può calcolare come somma dei potenziali prodotti da gusci sferici con carica $dq$, di spessore infinitesimo, al loro centro: $dV=k_e*(dq)/r$, dove $dq=rho*4*pi*r^2*dr=alpha*r^2*4*pi*r^2*dr$. Quindi
$V(0)=\int_(Volume)dV=\int_(Volume)k_e*(dq)/r= \int_0^R k_e*alpha*r^2*4*pi*r^2*(dr)/r =$
$\ \ \ \ \ 4*pi*k_e*alpha*\int_0^R r^3dr=4*pi*k_e*alpha*1/4*R^4=pi*k_e*alpha*R^4$.
Sostituendo l'espressione di $alpha$ trovata prima, si ottiene che
$V(0) =pi*k_e*alpha*R^4=pi*k_e*5/4*Q/(pi*R^5)*R^4=5/4*k_e*Q/R$.
Concludendo:
$Delta V = V(0)-V(R)=5/4*k_e*Q/R-k_e*Q/R=1/4*k_e*Q/R$.
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