Potenziale di una sfera

[GiGa.91]

Ciao a tutti, avrei un piccolo dubbio per quanto riguarda il potenziale, stavo leggendo una dispensa ma non capisco una un passaggio, la riporto qui sperando che mi potete dare un aiuto a capire.

Conduttore sferico di raggio R, carico, all’interno di un guscio
metallico (raggio interno R1, raggio esterno R2), inizialmente scarico



i primi due potenziali li ho capiti, il terzo e il quarto non capisco come si ottengono

ps: è saltato un pezzo di immagine, posto solo i potenziali qui che sopra non si vedono:

[Palliit]

Ciao. Io lo descriverei così:
il terzo è il potenziale coulombiano dovuto alla sfera centrale, con l'aggiunta di una costante che serve a garantire la continuità del potenziale sui punti della superficie interna del guscio. In modo, cioè, che per $r=R_1$ il potenziale valga quello che vale per $R_1
Il quarto è costante, ed è il valore che il potenziale precedente assume sulla superficie della sfera centrale ($r=R$).

[GiGa.91]

Grazie per avermi risposto, purtroppo sarà la stanchezza ma non ho capito bene.
Ho capito che i primi due termini sono dovuti:

$ int_(R)^(R1) E * dr = int_(R)^(R1) Q / (4 pi xi_0 r^2)= Q/(4 pi xi_0) * [1/r]_R^R1= $ A cio che c'è scritto li, ma il termine con il raggio R2 perchè lo devo aggiungere? Influenza il potenziale all'interno?

E' utile parlare di campi elettrici per cercare di capire come calcolarsi il potenziale in questi casi? (Per capire come ragionare)

[Palliit]

Ciao. E' inutile parlare di campi elettrici perchè all'interno della sfera cava non c'è nessun campo dovuto alla carica sul guscio.

Il potenziale è definito per costituzione a meno di una costante. La relazione tra campo elettrico e potenziale impone che quest'ultimo sia continuo, viceversa nei punti di discontinuità di $V$ il campo elettrico risulterebbe non definibile. Le costanti che compaiono nel potenziale n°3 e n°4 dell'elenco (quelli rispettivamente per $R

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[GiGa.91]

Credo di aver "quasi capito", non mi convince solo un particolare, nei punti 3 e 4 ho:
$ K_e * Q / R - K_e * Q / R_1 + K_e * Q / R_2 $

Dove

$ K_e * Q / R $ è il potenziale (se preso come riferimento infinito) di R
$ K_e * Q / R_1 $ è il potenziale di R1
$ K_e * Q / R_2 $ è il potenziale di R2

Ma la sfera è conduttrice, quindi i potenziali R1 e R2 non dovrebbero essere uguali?
Se sono uguali non mi rimarebbe solo
$ K_e * Q / R $ ??

[Palliit]

Ciao. Non sono sicuro di aver capito il tuo dubbio, in ogni caso:

- il terzo potenziale è quello nello spazio diciamo di intercapedine tra la pallina centrale, di raggio $R$, ed la superficie interna del guscio, di raggio $R_1$; ha andamento di tipo coulombiano, ed è costruito in modo tale che quando $r=R_1$ (cioè appunto in un punto della superficie interna del guscio) il potenziale valga quanto in ogni punto dell'intero guscio, cioè la costante $K_0 Q/(R_2)$; te ne accerti sostituendo in questa espressione $r=R_1$;

- il quarto potenziale è quello, costante, dei punti interni o superficiali della pallina interna di raggio $R$, cioè per $r<=R$ (qua l'errore di stampa che ti ho già segnalato).

In sostanza l'andamento, con le costanti fissate in quel modo, dovrebbe essere qualitativamente questo: