Potenziale di un guscio sferico

[Cantor99]

Salve ho un problema nell'impostare e nella conclusione di questo esercizio

Si consideri un guscio sferico di raggi $a$ e $b$ uniformemente carico con carica totale $Q$. Determinare il potenziale di un punto $P$ a distanza $r$ dal centro della sfera, distinguendo i casi $r>b, a

Per prima cosa ho calcolato il campo elettrico nelle tre regioni, ottenendo
\[
E(r)=\begin{cases} 0, & rb \end{cases}
\]
Ora il potenziale in un punto $P$ a distanza $r>b$ è, ponendo il potenziale finale nullo,
\[
V(r)=\int_{r}^{+\infty} \frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0} r^{2}}dr=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0} r}
\]
Se, invece, $a \[
V(r)=\int_{r}^{b} \frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0} r^{2}}\frac{r^{3}-a^{3}}{b^{3}-a^{3}}dr+\int_{b}^{+\infty}\frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0} r^{2}}dr
\]
Da cui, se $a \[
V(r)=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0}} \bigg[\frac{\frac{1}{2}(b^{2}-r^{2})+a^{3}(b^{-1}-r^{-1})}{b^{3}-a^{3}}+\frac{1}{b} \bigg]
\]
Infine, se $r
I miei problemi sono
1) Il primo calcolo nel caso $r>b$ è formalmente corretto? Il libro mi indicherebbe di usare la formula
\[
V(r)=-\int_{-\infty}^{r}\textbf{E}\cdot d\textbf{l}
\]
dove pone il primo punto a distanza infinita. Nel mio caso dovrei mettere il secondo punto all'infinito (come ho fatto)?
2) il calcolo con $a \[
V(r)=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0}} \bigg[\frac{\frac{1}{2}(b^{2}-r^{2})+b^{3}(b^{-1}-r^{-1})}{b^{3}-a^{3}}+\frac{1}{r} \bigg]
\]
dove ad essere cambiati sono $b$ al posto di $a$ vicino $b^{-1}-r^{-1}$ e $\frac{1}{r}$ in luogo del mio $\frac{1}{b}$. Come rimedio?

Ho molta confusione, spero mi capiate. Grazie mille in anticipo

[RenzoDF]

Il tuo risultato è corretto, sia fuori che dentro.

Per forza di cose, integrando, a numeratore ci sarà un secondo termine in $a^3$ e non in $b^3$, e visto che poi al contributo interno si andrà a sommare quello esterno, l'ultimo termine sarà $1/b$ e non $1/r$.

[Cantor99]

Grazie mille, stragentilissimo e disponibile come sempre