Potenziale di un campo conservativo
Allora... forse ce l'ho fatta... potete controllare se è giusto per favore?
$vec(F) = y sin y (ln x)/x z^2 e^(3z) vec(i) + (sin y + y cos y) ((ln x)^2)/2 z^2 e^(3z) vec (j) + y sin y ((ln x)^2)/2(2ze^(3z)+3z^2e^(3z))vec (k)$
Il potenziale che ho calcolato è $phi=((ln x)^2)/2 y sin y z^2e^(3z)$
è giusto?
vi ringrazio....
$vec(F) = y sin y (ln x)/x z^2 e^(3z) vec(i) + (sin y + y cos y) ((ln x)^2)/2 z^2 e^(3z) vec (j) + y sin y ((ln x)^2)/2(2ze^(3z)+3z^2e^(3z))vec (k)$
Il potenziale che ho calcolato è $phi=((ln x)^2)/2 y sin y z^2e^(3z)$
è giusto?
vi ringrazio....
Risposte
E' corretto.
solo una cosa... come faccio a capire se gli devo mettere un "$+C$" ??? Non glielo devo mettere mai? Glielo devo mettere sempre?
Quello che hai trovato è un potenziale; tutti gli altri sono della forma $\phi+c$, con $c \in RR$.
Ok grazie...
Ne stavo guardando un altro.. mi pare più complesso...
$vec(F)= yzx^2 vec(i) + ((zx^3)/3+e^(yz))vec(j)+(y/z e^(zy)+ ln z +(yx^3)/3-(e^(yz))/(z^2))vec(k)$
Il potenziale.. qui sono un pò insicuro, ma credo che dovrebbe essere
$phi= (x^3)/3yz + c$
Giusto?
$vec(F)= yzx^2 vec(i) + ((zx^3)/3+e^(yz))vec(j)+(y/z e^(zy)+ ln z +(yx^3)/3-(e^(yz))/(z^2))vec(k)$
Il potenziale.. qui sono un pò insicuro, ma credo che dovrebbe essere
$phi= (x^3)/3yz + c$
Giusto?
il risultato esatto (a meno del segno ) e':
$phi(x,y,z)=1/3x^3yz+e^(yz)/z+z(lnz-1)+c$
Per controllare l'esattezza di questi calcoli e' sufficiente
verificare che le derivate parziali di tale potenziale rispetto
alle variabili di campo x,y,z coincidono (sempre a meno del segno)
con le componenti del vettore $vec(F)$.
karl
$phi(x,y,z)=1/3x^3yz+e^(yz)/z+z(lnz-1)+c$
Per controllare l'esattezza di questi calcoli e' sufficiente
verificare che le derivate parziali di tale potenziale rispetto
alle variabili di campo x,y,z coincidono (sempre a meno del segno)
con le componenti del vettore $vec(F)$.
karl
wow... come hai fatto a trovare quel potenziale???
ti spiego come faccio io.... Guardo le tre componenti del campo e vedo quella che compare senza derivazioni (in questo caso avevo pure sbagliato... ma in ogni caso non mi viene come la tua)... prendo le altre 2 componenti e vedo la loro dipendenza nella variabile della componente senza derivazione (so di essere stato molto confuso.. dunque mi spiego con un esempio), cioè, se ad esempio è la componente $F_x$ a comparire senza derivazioni, prendo le altre 2 componenti e vedo la loro dipendenza in $x$... se è la componente $F_y$ a comparire senza derivazione, prendo le altre 2 componenti e vedo la loro dipendenza in $y$... lo stesso vale per $z$....
Poi devo determinare una funzione $g(y,z)$ se la componente senza derivazioni è x... oppure devo determinare una funzione $g(x,z)$ se la componente senza derivazioni è y... lo stesso per z....
Dopo moltiplico quello trovato in precedenza per la funzione $g(x,y)$ o quello che è... il primo potenziale che ho scritto l'ho calcolato così... perchè in questo caso non mi riesce?
ti spiego come faccio io.... Guardo le tre componenti del campo e vedo quella che compare senza derivazioni (in questo caso avevo pure sbagliato... ma in ogni caso non mi viene come la tua)... prendo le altre 2 componenti e vedo la loro dipendenza nella variabile della componente senza derivazione (so di essere stato molto confuso.. dunque mi spiego con un esempio), cioè, se ad esempio è la componente $F_x$ a comparire senza derivazioni, prendo le altre 2 componenti e vedo la loro dipendenza in $x$... se è la componente $F_y$ a comparire senza derivazione, prendo le altre 2 componenti e vedo la loro dipendenza in $y$... lo stesso vale per $z$....
Poi devo determinare una funzione $g(y,z)$ se la componente senza derivazioni è x... oppure devo determinare una funzione $g(x,z)$ se la componente senza derivazioni è y... lo stesso per z....
Dopo moltiplico quello trovato in precedenza per la funzione $g(x,y)$ o quello che è... il primo potenziale che ho scritto l'ho calcolato così... perchè in questo caso non mi riesce?
Il procedimento che uso e' del tutto generale ed e' il seguente.
Sia $phi(x,y,z)$ il potenziale richiesto, deve essere:
$(delphi)/(delx)=x^2yz$ da cui integrando rispetto ad x risulta:
(1) $phi(x,y,z)=1/3x^3yz+f(y,z)$ (essendo f(y,z) una funzione di y e z da determinare).
Derivando ora rispetto ad y si ha:
$(delphi)/(dely)=1/3x^3z+f_y(y,z)$ e dunque deve essere:
$1/3x^3z+f_y(y,z)=1/3x^3z+e^(yz)$ e da qui:
$f_y(y,z)=e^(yz)$ ed integrando rispetto ad y:
$f(y,z)=(e^(yz))/z+g(z)$ dove g(z) e' da determinarsi.
Pertanto sostituendo in (1) sara':
(2) $phi(x,y,z)=1/3x^3yz+(e^(yz))/z+g(z)$ e derivando rispetto a z:
$(delphi)/(delz)=1/3x^3y+y/ze^(yz)-(e^(yz))/(z^2)+g_z(z)$
pertanto avremo:
$1/3x^3y+y/ze^(yz)-(e^(yz))/(z^2)+g_z(z)=y/ze^(yz)+lnz+1/3x^3y-(e^(yz))/(z^2)$
da cui si ottiene:
$g(z)=z(lnz-1)+C$
Sostituendo in (2) si ha infine:
$phi(x,y,z)=1/3x^3yz+(e^(yz))/z+z(lnz-1)+C$
karl
Sia $phi(x,y,z)$ il potenziale richiesto, deve essere:
$(delphi)/(delx)=x^2yz$ da cui integrando rispetto ad x risulta:
(1) $phi(x,y,z)=1/3x^3yz+f(y,z)$ (essendo f(y,z) una funzione di y e z da determinare).
Derivando ora rispetto ad y si ha:
$(delphi)/(dely)=1/3x^3z+f_y(y,z)$ e dunque deve essere:
$1/3x^3z+f_y(y,z)=1/3x^3z+e^(yz)$ e da qui:
$f_y(y,z)=e^(yz)$ ed integrando rispetto ad y:
$f(y,z)=(e^(yz))/z+g(z)$ dove g(z) e' da determinarsi.
Pertanto sostituendo in (1) sara':
(2) $phi(x,y,z)=1/3x^3yz+(e^(yz))/z+g(z)$ e derivando rispetto a z:
$(delphi)/(delz)=1/3x^3y+y/ze^(yz)-(e^(yz))/(z^2)+g_z(z)$
pertanto avremo:
$1/3x^3y+y/ze^(yz)-(e^(yz))/(z^2)+g_z(z)=y/ze^(yz)+lnz+1/3x^3y-(e^(yz))/(z^2)$
da cui si ottiene:
$g(z)=z(lnz-1)+C$
Sostituendo in (2) si ha infine:
$phi(x,y,z)=1/3x^3yz+(e^(yz))/z+z(lnz-1)+C$
karl
però ho fatto la prova.... ho derivato il potenziale rispetto a x... mi dovrebbe risultare a quanto ho capito uguale a $F_x$ ma non è così...
La derivata del potenziale rispetto ad x e':
$(del phi)/(delx)=x^2yz$ che esattamente uguale a $F_x$
karl
$(del phi)/(delx)=x^2yz$ che esattamente uguale a $F_x$
karl
si hai ragione scusa... quindi a quanto ho capito quel metodo che ho scritto io non sempre è valido... anche se però era molto sbrigativo.. riuscivo a farli anche a mente alcuni...
Prima di calcolare il potenziale dovrei vedere se un campo è conservativo:
SE $(delF_x)/(dely)=(delF_y)/(delx)$, $(delF_x)/(delz)=(delF_z)/(delx)$ e se $(delF_y)/(delz)=(delF_z)/(dely)$ si verificano allora il campo è conservativo....
dico bene o sto sbagliando?
SE $(delF_x)/(dely)=(delF_y)/(delx)$, $(delF_x)/(delz)=(delF_z)/(delx)$ e se $(delF_y)/(delz)=(delF_z)/(dely)$ si verificano allora il campo è conservativo....
dico bene o sto sbagliando?
Ci vogliono anche condizioni sul dominio, ad esempio la semplice connessione.
in che senso scusa?
La conservatività del campo deve essere verificata per ogni linea chiusa nel dominio, quindi la connessione ci vuole
perdonami... ma non capisco cosa intendi per connessione!!!
quindi semplicemnte mi pare di aver capito devo studiare il dominio di quel campo.... giusto?
Se il dominio è $RR^3$ sei già a posto
Si solitamente il dominio è $RR^3$... dunque, nel caso avessi un dominio $RR^3$ dovrei solo fare quei 3 confronti che ho scritto prima... giusto?
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