Potenziale del campo elettrico

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Devo trovare la lagrangiana di una particella in un campo elettromagnetico. Il vincolo è dato da $z=\frac{\rho^2}{2R}$ ed in coordinate cilindriche ho $T=\frac{m}{2}(\dot \rho^2+\rho ^2 \dot \phi ^2+\frac{\rho ^2 \dot \rho ^2}{R^2})$. Devo trovare l'energia potenziale. La particella è soggetta ad una forza magnetica $\vec B=B_0 \vec e_z=(0, 0, B_0)$. So che $V_{B}=-\frac{e}{2c}\vec r \cdot (\vec v \times \vec B)$ ed ottengo con il calcolo diretto $V_{B}=-\frac{e}{2c}B_0 \rho ^2 \dot \phi$. In modo a me non comprensibile bisogna calcolare anche il potenziale dato dal campo elettrico $\vec E=E_1z$ (scritto esattamente con questa notazione, ma non ha senso dato che compara un vettore con uno scalare !?! Potrebbe essere $V_{E}=E_0 \vec e_z=(0, 0, E_0)$?). Nella soluzionione sarebbe $V_E=\frac{eE_1 \rho^4}{8R^4}$. Ora, come interpreto questa, e qual è una formula analoga a quella del potenziale del campo magnetico per trovare il potenziale del campo elettrico una volta conosciuto il vettore $\vec E$?

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Ancora. In un secondo caso la particella si muove sul cono di equazione $z=\rho\ ctg\ \alpha$, e la lagrangiana in coordinate cilindriche è data similmente al problema precedente da $L=\frac{m}{2}(\dot \rho ^2+\rho ^2\dot \phi ^2+\dot z)-V=\frac{m}{2}(\dot \rho ^2+\rho ^2\dot \phi ^2+\dot \rho ^2\ ctg\ \alpha)-mg\rho\ ctg\ \alpha+\frac{e^2}{z^2+\rho^2}$. Le due energie potenziali sono date, una dalla garvità $mgz=mg\rho\ ctg\ \alpha$, ed una dalla presenza di una carica di segno $q=e$ che attira la nostra particella verso il centro del riferimento cartesiano. Inoltre $-\frac{e^2}{z^2+\rho^2}=-\frac{e^2 \sin \alpha}{\rho}$. Da dove viene fuori questa energia potenziale? Se devo calcolare l'eneriga potenziale della carica in moto rispetto alla carica generatrice del campo allora la formula dovrebbe essere $-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{e^2}{\rho}$ dato che $\rho$ è anche la distanza fra cariche.

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