Potenziale Coriolis
Ciao! Vi faccio questa domanda immediata poichè la mia soluzione è differente da quella delle dispense su cui studio.
Qual'è il potenziale dovuto alla forza di Coriolis per un punto di massa m posto a distanza r dall'asse z in un sistema che ruota a velocità angolare w attorno all'asse z? Ragionando in coordinate cilindriche.
Grazie
Qual'è il potenziale dovuto alla forza di Coriolis per un punto di massa m posto a distanza r dall'asse z in un sistema che ruota a velocità angolare w attorno all'asse z? Ragionando in coordinate cilindriche.
Grazie
Risposte
Ciao! Prova a postare la tua soluzione.
La forza di Coriolis dovrebbe essere $2m(wxxv)$. In coordinate cilidriche v dovrebbe essere la derivata del vettore posizione che credo sia la somma $q = r + z$. derivati rispetto al tempo ci danno v = $dot r$ + $dot z $.
Quindi la forza è $2m(wxx (r˙ + z˙) )$ che derivata rispetto alla posizione da $2m(r+z)(wxx (r˙ + z˙) $
La soluzione delle dispense è invece $mwr^2$$\phi$'
Quindi la forza è $2m(wxx (r˙ + z˙) )$ che derivata rispetto alla posizione da $2m(r+z)(wxx (r˙ + z˙) $
La soluzione delle dispense è invece $mwr^2$$\phi$'
che poi ϕ' e w non sono la stessa cosa? come mai le chiama in maniera diversa?
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Hai fatto un po' di confusione. Innanzi tutto non è che ottieni il potenziale derivando la forza ma, al contrario, ottieni la forza derivando il potenziale. E poi quando derivi i vettori scritti usando coordinate cilindriche, le cose sono più complesse di quando usi coordinate cartesiane perché in generale devi derivare anche i versori. Ora, senza scendere in dettagli, i versori delle coordinate cartesiane sono sempre gli stessi in ogni punto dello spazio (e quindi anche durante il moto di un punto materiale) mentre quelli delle coordinate cilindriche variano da punto a punto (e quindi dipendono dal tempo) per cui non puoi tenerli costanti durante la derivazione.
Detto ciò, la strada che hai preso, anche se fosse stata portata avanti in modo matematicamente corretto, non sarebbe stata certo la più semplice. La cosa più semplice da fare è questa. Innanzi tutto, mi pare di capire che il tuo esercizio assuma che il punto si muova di moto circolare intorno all'asse (in pratica non ha una componente radiale della velocità). In questa ipotesi, la velocità si scrive \(\displaystyle \vec v=r \dot \phi \hat \phi \) e la velocità angolare è \(\displaystyle \vec \omega = \omega \hat z \) e quindi se fai il prodotto vettore trovi subito per la forza di Coriolis
\(\displaystyle \vec F=-2m\omega r \dot \phi \hat r \)
Ora, il potenziale di Cpriolis, e cioè la funzione \(\displaystyle U(r) \) tale che \(\displaystyle \vec F = -\vec \nabla U \) è proprio
\(\displaystyle U(r)=m\omega\dot \phi r^2 \)
come puoi facilmente verificare.
Detto ciò, la strada che hai preso, anche se fosse stata portata avanti in modo matematicamente corretto, non sarebbe stata certo la più semplice. La cosa più semplice da fare è questa. Innanzi tutto, mi pare di capire che il tuo esercizio assuma che il punto si muova di moto circolare intorno all'asse (in pratica non ha una componente radiale della velocità). In questa ipotesi, la velocità si scrive \(\displaystyle \vec v=r \dot \phi \hat \phi \) e la velocità angolare è \(\displaystyle \vec \omega = \omega \hat z \) e quindi se fai il prodotto vettore trovi subito per la forza di Coriolis
\(\displaystyle \vec F=-2m\omega r \dot \phi \hat r \)
Ora, il potenziale di Cpriolis, e cioè la funzione \(\displaystyle U(r) \) tale che \(\displaystyle \vec F = -\vec \nabla U \) è proprio
\(\displaystyle U(r)=m\omega\dot \phi r^2 \)
come puoi facilmente verificare.
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