Potenziale barretta (finita e infinita)

[leo9871]

Ciao a tutti...
Ho due problemi che non riesco a risolvere, inizio con il primo:
Ho una barretta di spessore trascurabile con densita lineare $lambda$ lunga L. E devo calcolare il potenziale elettrico lungo l'asse y


Io inizio con il calcolare il campo elettrico lungo y che è:
E=$frac{lambda L}{4 pi epsilon y sqrt(L^2+y^2)}$*$sqrt(2)$
Quindi utilizzo la definizione per trovare il potenziale:
$ Voo -Vp=int_(oo)^(p )Edy $
Ovviamente $Voo$=0
$ Vp=-int_(oo)^(p )Edy =-sqrt(2)(frac{lambda L}{4 pi epsilon}*[frac{1}{L}*ln( frac{y}{L(L+sqrt(L^2+y^2))})])$
Dove il termine tra parentesi quadre deve essere intregrato tra $oo$ e p
E qui mi blocco perchè arrivo al seguente risultato:
$-[frac{1}{L}*ln( frac{oo}{oo})]+[frac{1}{L}*ln( frac{p}{L(L+sqrt(L^2+p^2))})]$...Ora il primo membro come lo risolvo?


ps dopo posterò il secondo dubbio

[Sk_Anonymous]

Utilizzando il seguente integrale quasi immediato:

$\int(f'(x))/sqrt(1+[f(x)]^2)dx=log(f(x)+sqrt(1+[f(x)]^2))+c$

conviene calcolare direttamente il potenziale:

$V(y)=\int_{0}^{L}1/(4piepsilon_0)(lambdadx)/sqrt(y^2+x^2)=$

$=lambda/(4piepsilon_0)\int_{0}^{L}(1/|y|)/sqrt(1+(x/|y|)^2)dx=$

$=lambda/(4piepsilon_0)[log(x/|y|+sqrt(1+x^2/y^2))]_{0}^{L}=$

$=lambda/(4piepsilon_0)log(L/|y|+sqrt(1+L^2/y^2))$

[leo9871]

Grazie per la risposta...
ma io voglio capire come risolvere quel logaritmo, perchè poi mi ritrovo lo stesso problema in altri esercizi

[Sk_Anonymous]

Non ho controllato i tuoi conti, mi è sembrato da subito un procedimento abnorme. Non vorrei che ti stessi complicando la vita anche negli altri esercizi.

[leo9871]

Ti spiego subito perchè ho fatto in questo modo...Per la differenza di potenziale di una sfera, guscio sferico o cilindro utilizzo prima gauss per trovarmi E e poi partendo per r>R (dove R è il raggio di una delle superficie prima citata) inizio con il colcolo del potenziale utilinzando la foruma $Voo-Vr$, ecc... (il metodo classico diciamo). Utilizzando la forumula però non sono arrivato ad una conclusione nel caso di una barretta (e di un cilindro); quindi voglio capire perchè
Come ha mostrato tu ci sono metodi più semplici però perchè seguendo la definizione non arrivo ad una conclusione
Puoi provare a risolverlo seguendo il mio procedimento

[Sk_Anonymous]

"leo987":
Io inizio con il calcolare il campo elettrico lungo y che è:

$E=frac{lambda L}{4 pi epsilon y sqrt(L^2+y^2)}$*$sqrt(2)$

Intanto, non ho capito se quella formula è stata ottenuta svolgendo il seguente integrale:

$E_y(y)=\int_{0}^{L}1/(4piepsilon_0)(lambdadx)/(y^2+x^2)costheta=lambda/(4piepsilon_0)\int_{0}^{L}y/(y^2+x^2)^(3/2)dx$

Voglio dire, siccome sei interessato al potenziale lungo l'asse y, devi integrare la sola componente del campo lungo il medesimo asse. Avendo scritto solo il risultato, non posso sapere se hai fatto questo tipo di considerazioni.

"leo987":
Per la differenza di potenziale di una sfera...Utilizzando la formula però non sono arrivato ad una conclusione nel caso di una barretta (e di un cilindro)...

Non c'è alcuna necessità di procedere anche come da te proposto, se non per scopo meramente didattico. Già lo svolgimento dell'integrale per il calcolo di $E_y(y)$ non mi sembra banale, onestamente ho poca voglia di calcolarlo, sempre che non sia quello che tu hai liquidato in una riga. In ogni modo, i due procedimenti, salvo complicazioni matematiche, sono assolutamente equivalenti.

Seconda parte
Ho svolto quell'integrale:

$E_y(y)=(lambdaL)/(4piepsilon_0ysqrt(L^2+y^2))$

Devo ammettere che, integrando in $[theta]$, si semplifica notevolmente. Tuttavia, ancora non capisco il fattore $[sqrt2]$ che compare nel tuo risultato. A questo punto, considerando per esempio $[y>0]$:

$V(y)=\int_{y}^{+oo}E_ydy=\int_{y}^{+oo}(lambdaL)/(4piepsilon_0ysqrt(L^2+y^2))dy=lambda/(4piepsilon_0)\int_{y}^{+oo}L/(y^2sqrt(1+L^2/y^2))dy$

Ora, piuttosto che determinare la primitiva (questa volta, salvo amnesie, mi sembra veramente troppo laborioso) e utilizzando il mio primo procedimento, puoi verificare che:

$d/(dy)[-log(L/y+sqrt(1+L^2/y^2))]=L/(y^2sqrt(1+L^2/y^2))$

Io l'ho già verificato. Quindi:

$V(y)=lambda/(4piepsilon_0)[-log(L/y+sqrt(1+L^2/y^2))]_(y)^(+oo)=lambda/(4piepsilon_0)log(L/y+sqrt(1+L^2/y^2))$

Ah, dimenticavo la cosa più importante, mi devi un caffè.

[leo9871]

Solo un caffè? ...ti pago la colazione per una settimana unico problema e che io abito a roma
Ho capito i miei errori:
1)consideravo il modulo del campo elettrico (per questo mettevo $sqrt(2)$)
2) sbagliavo l'integrale
3) ho capito la banalità di $ln frac{oo}{oo}$
in serata pongo laltro problema



grazie

[leo9871]

Se la barretta fosse di lunghezza infinita, allora in base a cosa scelgo dove porre il potenziale pari a 0 ?

[Sk_Anonymous]

In questo caso:

$E_y(y)=\int_{0}^{+oo}1/(4piepsilon_0)(lambdadx)/(y^2+x^2)costheta=lambda/(4piepsilon_0)\int_{0}^{+oo}y/(y^2+x^2)^(3/2)dx$

e integrando in $[theta]$:

$E_y(y)=lambda/(4piepsilon_0y)$

Quindi:

$V(y)-V(+oo)=\int_{y}^{+oo}E_ydy=\int_{y}^{+oo}lambda/(4piepsilon_0y)dy=lambda/(4piepsilon_0)[logy]_(y)^(+oo)=+oo-lambda/(4piepsilon_0)logy$

Anche se $[V(+oo)=-oo]$, al fine di salvaguardare la relazione $[E_y=-(dV)/(dy)]$, puoi prendere:

$V(y)=-lambda/(4piepsilon_0)logy$

[leo9871]

Ho un pò di confusione...perchè ho un esercizio quasi simile dove il filo è infinito e chiede la differenza di potenziale in un punto ad una certa distanza dal filo (a differenza di prima che lo chiedeva sopra un estremo). Il ragionamento del libro è il seguente:
"V(r)-V(rif)=- $ int_(rif)^(r) Edr' $
Quindi imponiamo V(rif)=V($oo$)=0
V(r)=- $ int_(oo)^(r) Edr' $= $ -int_(oo)^(r) frac{lambda}{2 pi epsilon_0 r'} $ = $ frac{lambda}{2 pi epsilon_0 } ln(r') $ calcolato tra r e $oo$
che ovviamente dà una soluzione divergente se si prova a sostituire l'estremo di integraione inferiore nella funzione inegrale. Occorre quindi imporre la condizione di annullamento inun punto al finito. Poniamo:
V($R_1$)=0
V(r)= $ frac{lambda}{2 pi epsilon_0 } ln(frac{R_1}{r}) $"

Quindi mi chiedo perchè ha scelto un punto finito per evitare la divergenza mentre tu mi hai detto che non importa

[Sk_Anonymous]

Se ho capito bene, per ragioni di simmetria, in questo caso posso calcolare il campo mediante il teorema di Gauss:

$[E2pirh=(lambdah)/epsilon_0] rarr [E=lambda/(2piepsilon_0r)]$

ottenendo il tuo stesso risultato. A questo punto, se devi determinare la differenza di potenziale tra il punto $[P_1]$ a distanza $[r_1]$ e il punto $[P_2]$ a distanza $[r_2]$, è sufficiente calcolare il seguente integrale:

$V_1-V_2=\int_{r_1}^{r_2}lambda/(2piepsilon_0r)dr=lambda/(2piepsilon_0)log(r_2/r_1)$

Onestamente, non vedo alcuna necessità di interrogarsi sul valore del potenziale all'infinito.

[leo9871]

Il tuo ragionamento mi è chiaro, A me quello che non è chiaro è l'affermazione: "Occorre quindi imporre la condizione di annullamento in un punto al finito." In base a cosa sceglie questo punto $V(R_1)$=0?

[leo9871]

Mi è venuto un altro dubbio

Se ho un cilindro molto lungo e raggio R con densità SUPERFICIALE $sigma$ e voglio calcolarmi l'andamento del campo elettrico e poetnziale...Allora inizio:
per r>R
E=$frac{sigma R^2}{2 epsilon r}$
(pongo V(R)=0)
V(R)-V(r)= $ int_(R)^(r) Edr $ -->V(r)=$frac{sigma R^2}{2 epsilon}$*ln$frac{R}{r}$
per r E=0 essendo la carica distribuita sulla superficie...
V(R)-V(r)=0----> V(r)=0
Il mio dubbio è sulla correttezza del potenziale per r

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[leo9871]

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