Potenziale armonico 3D quantistico
Una particella di massa molto grande, M , e spin I=1/2 genera un potenziale armonico 3D in cui si muove un elettrone. L'interazione tra il nucleo e l'elettrone è esprimibile come
$H_m=2\mu\mu_B(1/r^3(I*l)+1/r^3(3(I*n)(s*n)-I*s)+8\pi/3(I*s)\delta^3(r))$
Scrivere i primi tre livelli energetici con relativa (eventuale) degenerazione e i possibili valori del momento angolare. Poi si studi l'effetto perturbativo dell'interazione sul fondamentale.
Ho provato a scrivere i livelli dell'oscillatore armonico, ma i risultati indicati sono diversi e non capisco proprio perchè visto che senza perturbazione è un oscillatore armonico quantistico. Poi c'è la perturbazione...di quella non mi è chiaro niente, sembra arabo
Qualcuno può aiutarmi?
$H_m=2\mu\mu_B(1/r^3(I*l)+1/r^3(3(I*n)(s*n)-I*s)+8\pi/3(I*s)\delta^3(r))$
Scrivere i primi tre livelli energetici con relativa (eventuale) degenerazione e i possibili valori del momento angolare. Poi si studi l'effetto perturbativo dell'interazione sul fondamentale.
Ho provato a scrivere i livelli dell'oscillatore armonico, ma i risultati indicati sono diversi e non capisco proprio perchè visto che senza perturbazione è un oscillatore armonico quantistico. Poi c'è la perturbazione...di quella non mi è chiaro niente, sembra arabo
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Questo problema è tutto fumo negli occhi. Nel senso che, come quasi tutti i problemi di quantistica, la difficoltà difficilmente sta nel calcolo ma molto più spesso è nella comprensione delle sue regole di base.
Per i livelli energetici devi considerare che quello è un oscillatore armonico in tre dimensioni. Nonostante tu lo abbia scritto, sono quasi certo che non ne abbia tenuto conto nel calcolare le energie.
I possibili valori di momento angolare li puoi desumere ricordando come sono fatti i polinomi di Hermite relativi ai primi tre livelli, senza dimenticare che il momento angolare ha parità definita.
La matrice di interazione è quella per la struttura iperfine. Ti consiglio di analizzare quei tre addendi alla luce del teorema di wigner-eckart. Gli elementi di matrice sul fondamentale sono tutti non nulli?
Vedi se con questi input riesci a risolvere, altrimenti facciamo i passaggi.
Per i livelli energetici devi considerare che quello è un oscillatore armonico in tre dimensioni. Nonostante tu lo abbia scritto, sono quasi certo che non ne abbia tenuto conto nel calcolare le energie.
I possibili valori di momento angolare li puoi desumere ricordando come sono fatti i polinomi di Hermite relativi ai primi tre livelli, senza dimenticare che il momento angolare ha parità definita.
La matrice di interazione è quella per la struttura iperfine. Ti consiglio di analizzare quei tre addendi alla luce del teorema di wigner-eckart. Gli elementi di matrice sul fondamentale sono tutti non nulli?
Vedi se con questi input riesci a risolvere, altrimenti facciamo i passaggi.
Avevi ragione, consideravo le energie per l'oscillatore monodimensionale ora quelle mi tornano ma le degenerazioni ancora no Il consiglio sul momento angolare credo di averlo capito ma ho difficoltà a dimostrarlo praticamente. Per la perturbazione ancora buio totale, il teorema che hai citato è un mistero per me non ci ho capito niente in classe o sul libro. Se potessi aiutarmi in modo chiaro come l'altra volta te ne sarei davvero grato 
Il consiglio sul momento angolare credo di averlo capito ma ho difficoltà a dimostrarlo praticamente. Per la perturbazione ancora buio totale, il teorema che hai citato è un mistero per me non ci ho capito niente in classe o sul libro. Se potessi aiutarmi in modo chiaro come l'altra volta te ne sarei davvero grato
Oltre alla degenerazione tipica dell'oscillatore armonico in tre dimensioni pari ad $(n+1)(n+2)/2$ c'è quella relativa allo spin tra nucleo ed elettrone che vale $4$ $(++,+ -,--,-+)$ quindi il primo livello avrà degenerazione $1*4$ il secondo $3*4$ il terzo $6*4$.
Per dimostrare quale sia il momento angolare possibile basta osservare che i polinomi di Hermite sono pari o dispari rispetto a $(-1)^n$ e la parità del momento angolare è $(-1)^l$ quindi già da questo possiamo dire che i livelli pari possono avere solo mom angolare pari e idem per i dispari. Ora prendi il primo polinomio di Hermite, quello per il fondamentale, proporzionale a $e^(-r^2/2)$ avendo posto a 1 tutte le costanti. Ora ti accorgi che l'unica parte angolare che possiede è quella costante, quindi può essere espressa solo in termini dell'armonica sferica $Y_(00)$ per cui può avere solo mom angolare $l=0$. Fai la stessa cosa per gli altri polinomi, per i quali i termini lineari o quadratici nelle coordinate sono presenti, passi a coordinate sferiche, e vedrai che otterrai direttamente le $Y_(1m)$ quindi $l=1$ per il secondo livello come atteso. Per l'altro ti verrà una combinazione lineare delle armoniche per $l=0,2$.
Il teorema di w-e non dice altro che in una rappresentazione irriducibile gli elementi di matrice sono proporzionali (attraverso i coefficienti di CG) a $J$ momento angolare totale. Il primo addendo, sul fondamentale fa direttamente zero a prescindere da tutto perché è un vettore ed $l=0$; il secondo addendo puoi riscriverlo così $I_i s_j(3n_i n_j-\delta_(ij))$ e dovresti notare che è un tensore simmetrico a traccia nulla di rango 2, che quindi trasforma come $J=2$ ed è nuovamente nullo sul fondamentale. Insomma non resta che l'ultimo addendo, per questo dicevo che era fumo negli occhi questo problema.
Devi calcolare l'elemento di matrice sul fondamentale, quindi vuoi
$<0"|"8\pi/3 (I*s)\delta^3(r)"|"0>$
Dobbiamo esprimere il prodotto scalare tra i due operatori di spin. Lo spin totale è $S=I+s$ facendone il quadrato
$S^2=I^2+s^2+2I*s$ quindi $I*s=1/2(S^2-3/2)$ Come vedi il fondamentale splitta in due livelli con $S=0,1$.
Chiamo $\phi(r)$ la funzione d'onda del fondamentale, non ricordo tutte le costanti quindi la lascio indicata cercala sul libro. Integrando la delta otterremo $\phi(0)$ quindi in sostanza sul sottospazio
$S=0$ si ha energia $2\mu\mu_B8/3\pi\phi(0)^2 1/2(0-3/2)$
$S=1$ si ha energia $2\mu\mu_B8/3\pi\phi(0)^2 1/2(2-3/2)$
In genere si chiude calcolando la differenza tra queste energie che è la separazione di struttura iperfine.
Per dimostrare quale sia il momento angolare possibile basta osservare che i polinomi di Hermite sono pari o dispari rispetto a $(-1)^n$ e la parità del momento angolare è $(-1)^l$ quindi già da questo possiamo dire che i livelli pari possono avere solo mom angolare pari e idem per i dispari. Ora prendi il primo polinomio di Hermite, quello per il fondamentale, proporzionale a $e^(-r^2/2)$ avendo posto a 1 tutte le costanti. Ora ti accorgi che l'unica parte angolare che possiede è quella costante, quindi può essere espressa solo in termini dell'armonica sferica $Y_(00)$ per cui può avere solo mom angolare $l=0$. Fai la stessa cosa per gli altri polinomi, per i quali i termini lineari o quadratici nelle coordinate sono presenti, passi a coordinate sferiche, e vedrai che otterrai direttamente le $Y_(1m)$ quindi $l=1$ per il secondo livello come atteso. Per l'altro ti verrà una combinazione lineare delle armoniche per $l=0,2$.
Il teorema di w-e non dice altro che in una rappresentazione irriducibile gli elementi di matrice sono proporzionali (attraverso i coefficienti di CG) a $J$ momento angolare totale. Il primo addendo, sul fondamentale fa direttamente zero a prescindere da tutto perché è un vettore ed $l=0$; il secondo addendo puoi riscriverlo così $I_i s_j(3n_i n_j-\delta_(ij))$ e dovresti notare che è un tensore simmetrico a traccia nulla di rango 2, che quindi trasforma come $J=2$ ed è nuovamente nullo sul fondamentale. Insomma non resta che l'ultimo addendo, per questo dicevo che era fumo negli occhi questo problema.
Devi calcolare l'elemento di matrice sul fondamentale, quindi vuoi
$<0"|"8\pi/3 (I*s)\delta^3(r)"|"0>$
Dobbiamo esprimere il prodotto scalare tra i due operatori di spin. Lo spin totale è $S=I+s$ facendone il quadrato
$S^2=I^2+s^2+2I*s$ quindi $I*s=1/2(S^2-3/2)$ Come vedi il fondamentale splitta in due livelli con $S=0,1$.
Chiamo $\phi(r)$ la funzione d'onda del fondamentale, non ricordo tutte le costanti quindi la lascio indicata cercala sul libro. Integrando la delta otterremo $\phi(0)$ quindi in sostanza sul sottospazio
$S=0$ si ha energia $2\mu\mu_B8/3\pi\phi(0)^2 1/2(0-3/2)$
$S=1$ si ha energia $2\mu\mu_B8/3\pi\phi(0)^2 1/2(2-3/2)$
In genere si chiude calcolando la differenza tra queste energie che è la separazione di struttura iperfine.
Grazie infinite! Mi stai salvando la vita 
. Se hai tempo potresti rispondermi anche alla domanda che ho fatto nella discussione sui polinomi ortogonali? Se non è troppo di disturbo, che mi hai già aiutato tantissimo . Un'ultima cosa, alla fine hai usato direttamente gli autovalori per lo spin, come si giustifica quella cosa?
. Se hai tempo potresti rispondermi anche alla domanda che ho fatto nella discussione sui polinomi ortogonali? Se non è troppo di disturbo, che mi hai già aiutato tantissimo . Un'ultima cosa, alla fine hai usato direttamente gli autovalori per lo spin, come si giustifica quella cosa?
"Bohnonso":
Un'ultima cosa, alla fine hai usato direttamente gli autovalori per lo spin, come si giustifica quella cosa?
La matrice energia commuta con $S^2$ (abbiamo addirittura trovato che dipende direttamente da esso) quindi condivide con quell'operatore una base comune di autofunzioni e quindi è diagonale in tale base. E' quindi lecito sostituire all'operatore i suoi autovalori $S(S+1)$
"Bohnonso":
Se hai tempo potresti rispondermi anche alla domanda che ho fatto nella discussione sui polinomi ortogonali?
Non avevo risposto perché avevi chiesto espressamente dell'altro utente. Dato che non hai avuto risposta ci do un'occhiata io.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo