Potenziale al centro di una corona sferica
Salve oggi a lezione abbiamo provato a calcolare il potenziale al centro di una distribuzione volumica costituita da una sfera con una cavità di R1 e una corona carica di raggio R2-R1. Mi hanno già suggerito che calcolare il potenziale in 0 è uguale a calcolarlo in R1 in quanto essendo nullo il campo nella cavità risulta che dV è nulla e quindi il potenziale dentro la cavità risulta essere costante. Ora mi hanno anche suggerito di calcolare il potenziale da R1 a infinito e di spezzare tale integrale in due parti, un integrale che va da R1 a R2 e uno che va da R2 a infinito. Ci ho provato ma non riesco a capire come regolarmi con i raggi costanti e variabili da inserire... qualcuno mi può aiutare?
qui ho provato a calcolare il campo per un r compreso tra R1 e R2 mediante teorema di gauss
qui ho provato a calcolare il campo per un r compreso tra R1 e R2 mediante teorema di gauss
Risposte
Visto che non è altrimenti specificato la densità volumica è da ritenere costante e quindi per determinare il campo internamente alla corona sferica non devi far altro che usare Gauss, applicandolo ad una superficie sferica con generico raggio r compreso fra R1 e R2.
"marco_1004":
... ho provato a calcolare il campo per un r compreso tra R1 e R2 mediante teorema di gauss
Ok, e a questo punto, noto il campo nelle tre regioni (interna, intermedia ed esterna), non devi far altro che integrare radialmente E da 0 a infinito, ottenendo il potenziale Vo cercato come somma dei tre contributi.
Nella regione interna dove non c'è densità di carica il campo è nullo giusto?
Ho provato a calcolare il campo nelle regioni interna ed esterna ma ho un dubbio. Quando devo integrale il campo per un r interno alla distribuzione ho (r^3 - R1^3)/r^2 , quando vado a integrare per dr posso spezzare l'integrale in due parti e semplificare i due raggi r?
Ho provato a calcolare il campo nelle regioni interna ed esterna ma ho un dubbio. Quando devo integrale il campo per un r interno alla distribuzione ho (r^3 - R1^3)/r^2 , quando vado a integrare per dr posso spezzare l'integrale in due parti e semplificare i due raggi r?
Si, e inoltre l'integrale fra R2 e infinito puoi anche risparmiartelo. 
Dici che l'integrale da R2 a +infinito posso risparmiarlo?
Ora proverò a svolgere con calma i conti e vedere che esce fuori
Ora proverò a svolgere con calma i conti e vedere che esce fuori
Ecco qui il procedimento seguito : 
Premesso che come fotografo sei proprio scarso 
, ok per il risultato, ma sarebbe quasi ora di imparare a scrivere le formule in codice TeX.
... e tanto per cominciare prova a scrivere nella suddetta modalità il risultato di questo problema.
, ok per il risultato, ma sarebbe quasi ora di imparare a scrivere le formule in codice TeX. ... e tanto per cominciare prova a scrivere nella suddetta modalità il risultato di questo problema.
Mi chiedo una cosa però perchè non so se la semplificazione che ho effettuato è possibile farla o meno. Premettiamo che il problema consiste nel: Calcolare il potenziale al centro di una sfera cava (non conduttrice) carica uniformemente con raggio interno R1 e raggio esterno R2. Ho posto l'origine del mio sistema di riferimento nel centro stesso della sfera
Prima premessa: visto che nella cavità non vi è campo, si avrà che il potenziale è costante e quindi svolgo l'integrale tra R1 e INFINITO tanto si avrà che in R1 il potenziale è uguale a quelli nel centro
il problema l'ho impostato nel seguente modo:
- Calcolo mediante Gauss il campo per un punto interno a distanza r con R1 < r < R2
- Calcolo mediante Gauss il campo per un punto esterno a distanza r con r > R2
- Svolgo l'integrale di E(r) dr da R1 a INFINITO spezzandolo in due integrali come segue
$ int_(R_1)^oo E(r)dr = int_(R_1)^(R_2) rho/(3epsilon_o r^2) (r^3-R_1^3) + int_(R_2)^oo rho/(3epsilon_o r^2) (R_2^3-R_1^3) $
ora mi sorge il dubbio, nel primo integrale che posso spezzare nel seguente modo:
$ int_(R_1)^(R_2) rho/(3epsilon_o r^2) (r^3-R_1^3) = int_(R_1)^(R_2) rho/(3epsilon_o r^2)r^3 - int_(R_1)^(R_2) rho/(3epsilon_o r^2)R_1^3 $
posso semplificare nel primo dei due integrali $ r^3/r^2 $ ottenendo cosi: $ int_(R_1)^(R_2) rho/(3epsilon_o)r $
oppure ciò non è possibile?
Prima premessa: visto che nella cavità non vi è campo, si avrà che il potenziale è costante e quindi svolgo l'integrale tra R1 e INFINITO tanto si avrà che in R1 il potenziale è uguale a quelli nel centro
il problema l'ho impostato nel seguente modo:
- Calcolo mediante Gauss il campo per un punto interno a distanza r con R1 < r < R2
- Calcolo mediante Gauss il campo per un punto esterno a distanza r con r > R2
- Svolgo l'integrale di E(r) dr da R1 a INFINITO spezzandolo in due integrali come segue
$ int_(R_1)^oo E(r)dr = int_(R_1)^(R_2) rho/(3epsilon_o r^2) (r^3-R_1^3) + int_(R_2)^oo rho/(3epsilon_o r^2) (R_2^3-R_1^3) $
ora mi sorge il dubbio, nel primo integrale che posso spezzare nel seguente modo:
$ int_(R_1)^(R_2) rho/(3epsilon_o r^2) (r^3-R_1^3) = int_(R_1)^(R_2) rho/(3epsilon_o r^2)r^3 - int_(R_1)^(R_2) rho/(3epsilon_o r^2)R_1^3 $
posso semplificare nel primo dei due integrali $ r^3/r^2 $ ottenendo cosi: $ int_(R_1)^(R_2) rho/(3epsilon_o)r $
oppure ciò non è possibile?
Non capisco il tuo dubbio sulla semplificazione, ad ogni modo a mio parere è corretto sia il risultato sia il procedimento, ma puoi sempre aspettare conferma da membri più competenti.
Complimenti per aver iniziato a usare il codice TeX,
... unica dimenticanza: nelle relazioni integrali hai perso per strada i dr.
BTW Come ti dicevo l'integrale esterno alla sfera potevi evitarlo ricordando il potenziale alla superficie di una sfera carica.
Complimenti per aver iniziato a usare il codice TeX,
... unica dimenticanza: nelle relazioni integrali hai perso per strada i dr. BTW Come ti dicevo l'integrale esterno alla sfera potevi evitarlo ricordando il potenziale alla superficie di una sfera carica.
"RenzoDF":
Non capisco il tuo dubbio sulla semplificazione, ad ogni modo a mio parere è corretto sia il risultato sia il procedimento.
Complimenti per aver iniziato a usare il codice TeX,
il dubbio mi era venuto perchè nella formula del potenziale ovvero questa:
$ V_{0}(P)=\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}\int _P^oo \frac {\rho (x',y',z')}{r-r'}dx'dy'dz'\ $
al denominatore ho $ r-r'$
dove:
- $r'$ indica la distanza del mio elemento infinitesimo della distribuzione di carica dall'origine del mio sistema di riferimento
- $r$ che invece indica la distanza del punto in cui voglio calcolare il potenziale dall'origine
la differenza $r - r'$ è la distanza del mio elemento infinitesimo dal punto in cui calcolo il potenziale
mi chiedevo quindi se sia possibile effettuare quella semplificazione ponendo il sistema di riferimento nel centro della sfera.
Ponendo l'origine del mio sistema di riferimento in un punto del piano diverso dal centro della mia sfera, nel calcolare il campo deve tenere conto che la distanza tra la mia origine e il punto in cui voglio calcolare il potenziale non è nulla e devo quindi porvi $ r-r'$ ma ciò complica i calcoli perchè dovrei trovare una relazione che mi permetta di mettere in funzione di $r'$ tale distanza
"marco_1004":
...
il dubbio mi era venuto perchè nella formula del potenziale ovvero questa:
$ V_{0}(P)=\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}\int _P^oo \frac {\rho (x',y',z')}{r-r'}dx'dy'dz'\ $
Anche qui non capisco il tuo dubbio; di certo, andando ad usare come strada alternativa all'integrazione radiale del campo, la somma integrale dei contributi infinitesimi di potenziale relativi alla distribuzione di carica, avresti fatto molto prima, in questo caso particolare di simmetria sferica, vista la sola richiesta di $V(O)$, ma ovviamente sarebbe stato assurdo andare a scegliere un'origine del sistema di riferimento diversa dal centro della sfera.
"RenzoDF":
[quote="marco_1004"]...
il dubbio mi era venuto perchè nella formula del potenziale ovvero questa:
$ V_{0}(P)=\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}\int _P^oo \frac {\rho (x',y',z')}{r-r'}dx'dy'dz'\ $
Anche qui non capisco il tuo dubbio; di certo, andando ad usare come strada alternativa all'integrazione radiale del campo, la somma integrale dei contributi infinitesimi di potenziale relativi alla distribuzione di carica, avresti fatto molto prima, in questo caso particolare di simmetria sferica, vista la sola richiesta di $V(O)$, ma ovviamente sarebbe stato assurdo andare a scegliere un'origine del sistema di riferimento diversa dal centro della sfera.[/quote]
eh ma utilizzando quella formula cosa dovrei porre al posto di $| r - r' | $ ? perchè ponendo il sistema nel centro della sfera ho che $r = 0$ e quindi sotto mi rimane solamente $|- r'| $ che però posso semplificare perchè in sintesi utlizzando quella formula ho: $ V_{0}(P)=\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}\int _P^oo \frac {rho\4pir'^2dr'}{|-vecr'|}\ $ giusto?
Si, ora non ti resta che determinare il risultato di quell'integrazione.
Il risultato che ho ottenuto è questo $ V(R_1)=rho/(2epsilon_o) (R_2^2-R_1^2) $
È corretto???
È corretto???
Mi sembra di averti già risposto relativamente a quel risultato.
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