Potenza trasmessa in condizioni stazionarie

[matteo_g1]

Ciao, ho un esercizio in cui ho due sorgenti di calore a temperatura T1 e T2 (T1>T2). Sono collegate mediante un tronco di cono con conducibilità K. L’area minore del tronco di cono è a contatto con la sorgente T1 e l’area maggiore con la sorgente T2. Mi viene chiesto di calcolare la potenza trasmessa in condizioni stazionarie. Del tronco di cono conosco tutte le misure.

Io avevo pensato che il calore al massimo è quello che passa per l’area piccola, ho usato la classica formula P=(K*A*(T1-T2))/h
Con h l’altrzz Del tronco di cono.

Il problema non torna, sapete darmi consigli? Grazie

[mgrau]

"matteo_g":
Io avevo pensato che il calore al massimo è quello che passa per l’area piccola,

Questa mi sembra un'idea cattiva. Sarebbe quindi lo stesso se fosse un cilindro con sezione uguale alla base minore? Evidentemente no...
Suggerisco - anche se non è il mio campo - di affettare il cono, calcolare la trasmissione sezione per sezione, e poi integrare

[matteo_g1]

Esatto, il mio pensiero era proprio quello che hai ben riassunto tu, per me era come se ci fosse un cilindro al posto di un tronco di cono per quanto riguarda la potenza trasmessa.
Provo ad usare il tuo metodo, che da quello che avevo sentito da altri compagni dovrebbe essere quello corretto.
Puoi però spiegarmi anche il ragionamento che hai usato del perchè devo affettare il cono ecc?
Grazie!!

[mgrau]

"matteo_g":
Puoi però spiegarmi anche il ragionamento che hai usato del perchè devo affettare il cono ecc?

Mah, semplicemente, visto che la potenza trasmessa dipende dalla sezione, e la sezione varia, bisogna sommare tutti i contributi delle varie sezioni così vien fuori un integrale...

[matteo_g1]

ok grazie, e l'integrale mi verrebbe in questo modo?

$ A=intpi*(Rmin+dR)^2 $

con estremi da 0 ad Rmax

Ma come faccio ad integrare una cosa del genere?
Non so come comportarmi con il $ (dR)^2 $ dentro l'integrale

[mgrau]

"matteo_g":ok grazie, e l'integrale mi verrebbe in questo modo?

$ A=intpi*(dR)^2 $

con estremi da 0 ad Rmax

Ma come faccio ad integrare una cosa del genere?

Non così. Ti ripeto che non è il mio campo, quindi ti dico quel che mi viene in mente, abbastanza da profano.
Direi allora che la stessa quantità di calore, quindi la stessa potenza, attraversa tutte le sezioni: come se fosse un fluido incompressibile.
In ogni sezione vale la formula che hai scritto, $P = k*A*(Delta T)/h$, dove A è funzione di x (la posizione lungo l'asse del cono), e P è costante. $A(x) = alpha x^2$ se si misura x a partire dal vertice del cono, con $alpha$ una costante opportuna.
h è lo spessore della fetta, cioè $dx$. Si ricava $dT = (P)/(k*A(x))*dx$
Risulta, come ci si può aspettare, che il salto di temperatura, a parità di spessore della fetta, è minore dove la sezione è maggiore. In altre parole, T non varia linearmente lungo il cono, ma il gradiente di T è minore dove la sezione è maggiore.
Poi sappiamo che l'integrale di $dT$ fra $x = x_1$ e $x = x_2$ (facile da calcolare) è $T_1 - T_2$, e da qui si può ricavare P.