Potenza irraggiata ed emessa - SNS
Si può stimare la temperatura della Terra supponendo che il Sole e la Terra siano entrambi corpi irraggianti perfetti che emettono isotropicamente una potenza per unità di superficie $W=sigma*T^4$, dove $sigma$ è la costante di Stefan-Boltzmann e $T$ è la temperatura assoluta del corpo.
Si calcoli la temperatura della Terra sapendo che la temperatura superficiale del Sole è $T_s=6000 °K$ e assumendo che una frazione $f=0.7$ dell'energia solare che arriva sulla Terra sia assorbita dalla Terra stessa e riemessa come radiazione.
Ho solo un dubbio:
Io so che il Sole irraggia la Terra con la potenza dovuta alla sua temperatura, cioè $W_s=sigma*(T_s)^4$. Come mi ricorda il testo del problema all'inizio, la Terra fa lo stesso ed irraggierà il Sole, o comunque ciò che ha intorno con una potenza $W_t$. Ora mi chiedo: la frazione $f$ che mi fornisce il problema è la quantità $W_t$, cioè la potenza che emette la Terra è esclusivamente quella che si prende dal sole e che "risputa" fuori, oppure la frazione $f$ va sommata alla potenza che la terra comunque già di suo emette? Traducendo in termini matematici:
Nel primo caso avrei (intendendo con $W_(TOT)$ la potenza che influisce sulla temperatura della terra)
$W_(TOT)=W_s-W_t=W_s-0.7W_s=0.3W_s$
e ottengo $T_t=4440 °K$
Nel secondo caso avrei
$W_(TOT)=W_s-W_t-0.7W_s$
e ottengo $T_t=3730 °K$
E non posso neppure andare a senso per capire quale sia il risultato giusto perché comunque sia mi sembrano entrambe due temperature enormi!
Grazie!
Si calcoli la temperatura della Terra sapendo che la temperatura superficiale del Sole è $T_s=6000 °K$ e assumendo che una frazione $f=0.7$ dell'energia solare che arriva sulla Terra sia assorbita dalla Terra stessa e riemessa come radiazione.
Ho solo un dubbio:
Io so che il Sole irraggia la Terra con la potenza dovuta alla sua temperatura, cioè $W_s=sigma*(T_s)^4$. Come mi ricorda il testo del problema all'inizio, la Terra fa lo stesso ed irraggierà il Sole, o comunque ciò che ha intorno con una potenza $W_t$. Ora mi chiedo: la frazione $f$ che mi fornisce il problema è la quantità $W_t$, cioè la potenza che emette la Terra è esclusivamente quella che si prende dal sole e che "risputa" fuori, oppure la frazione $f$ va sommata alla potenza che la terra comunque già di suo emette? Traducendo in termini matematici:
Nel primo caso avrei (intendendo con $W_(TOT)$ la potenza che influisce sulla temperatura della terra)
$W_(TOT)=W_s-W_t=W_s-0.7W_s=0.3W_s$
e ottengo $T_t=4440 °K$
Nel secondo caso avrei
$W_(TOT)=W_s-W_t-0.7W_s$
e ottengo $T_t=3730 °K$
E non posso neppure andare a senso per capire quale sia il risultato giusto perché comunque sia mi sembrano entrambe due temperature enormi!
Grazie!
Risposte
prima di tutto, la relazione $I_(SOLE)=sigma * T^4$ ti da la potenza irraggiata per unità di superficie sulla superficie solare. Quindi iniziamo con il calcolare la potenza totale emessa dal sole (la superficie di una sfera è $4pir^2$)
$P_(solare)=I_(SOLE)*S_(SOLE)$
Ora dobbiamo trovare l'irraggiamento solare sulla Terra. Questo irraggiamento lo troviamo immaginando che la potenza totale solare appena trovata si ripartisca su una sfera avente come raggio la distanza terra- sole, quindi
$I=P_(solare)/S$, con $S$ appunto la sfera di raggio Terra-Sole.
La Terra intercetta su questa sfera la radiazione solare su una superficie di $pi*r_(t)^2$, dove $r_t$ è il raggio terrestre. Sapendo questo risaliamo tramite la solita relazione alla potenza assorbita dalla Terra. Solo che questa potenza non è ripartita sulla superficie appena calcolata, cioè $pi*r_(t)^2$, ma sull'intera superficie terrestre, cioè $4pi*r_(t)^2$. Quindi trovato l'effettivo irraggiamento solare sulla superfcie terrestre e moltiplicandolo per il fattore $0,7$ fornito dal problema, troviamo la potenza irradiata per unità di superficie dalla Terra, e quindi dalla legge di Stefan-Boltzmann trovare la temperatura.
Il problema è un altro.Per trovare l'effettivo irraggiamento solare sulla superfcie terrestre non sono sicuro se dividere la potenza intercettata dalla Terra per l'intera superficie della sfera terrestre, cioè $4pi*r_(t)^2$, oppure solo su metà, cioè $2pi*r_(t)^2$. Nel primo caso ottengo $314 K$, nel secondo $264 K$. Entrambi penso siano sbagliati, ma immagino che uno dei due casi sia quello giusto perchè credo di aver approssimato troppo i calcoli, riprova a svolgerli e dimmi.
$P_(solare)=I_(SOLE)*S_(SOLE)$
Ora dobbiamo trovare l'irraggiamento solare sulla Terra. Questo irraggiamento lo troviamo immaginando che la potenza totale solare appena trovata si ripartisca su una sfera avente come raggio la distanza terra- sole, quindi
$I=P_(solare)/S$, con $S$ appunto la sfera di raggio Terra-Sole.
La Terra intercetta su questa sfera la radiazione solare su una superficie di $pi*r_(t)^2$, dove $r_t$ è il raggio terrestre. Sapendo questo risaliamo tramite la solita relazione alla potenza assorbita dalla Terra. Solo che questa potenza non è ripartita sulla superficie appena calcolata, cioè $pi*r_(t)^2$, ma sull'intera superficie terrestre, cioè $4pi*r_(t)^2$. Quindi trovato l'effettivo irraggiamento solare sulla superfcie terrestre e moltiplicandolo per il fattore $0,7$ fornito dal problema, troviamo la potenza irradiata per unità di superficie dalla Terra, e quindi dalla legge di Stefan-Boltzmann trovare la temperatura.
Il problema è un altro.Per trovare l'effettivo irraggiamento solare sulla superfcie terrestre non sono sicuro se dividere la potenza intercettata dalla Terra per l'intera superficie della sfera terrestre, cioè $4pi*r_(t)^2$, oppure solo su metà, cioè $2pi*r_(t)^2$. Nel primo caso ottengo $314 K$, nel secondo $264 K$. Entrambi penso siano sbagliati, ma immagino che uno dei due casi sia quello giusto perchè credo di aver approssimato troppo i calcoli, riprova a svolgerli e dimmi.
Avevo pensato di considerare i raggi del sole e della terra, è solo che il problema non mi fornisce quei dati. Posso chiaramente cercarli nelle tabelle, ma di solito quando servono delle costanti o delle grandezze specifiche vengono fornite..
Tu pensi quindi che non sia proprio possibile considerare il problema "a metro quadrato"?
Tu pensi quindi che non sia proprio possibile considerare il problema "a metro quadrato"?
No non puoi prescindere dal raggio del Sole e la distanza Terra-Sole. La legge di Stefan-Boltzmann ti fornisce la potenza irraggiata su metro quadrato, però se ci pensi è ovvio che tale valore dipenda dalla distanza dalla fonte di energia, ovvero dalla superficie su cui si distribuisce tale energia. La legge fornisce l'irraggiamento sulla superficie del corpo nero (come è con buona approssimazione considerato il Sole), ecco perchè ci serve sapere il raggio, e quindi la superficie, solare per risalire alla potenza totale.
Se la potenza totale erogata dal Sole è costante, come in effetti è, e l'irraggiamento è definito come potenza totale fratto superficie, è chiaro che variando la superficie (cioè variando la distanza dal Sole) deve variare proporzionalmente anche l'irraggiamento, per mantenere appunto costante la potenza totale.
Almeno credo
Se la potenza totale erogata dal Sole è costante, come in effetti è, e l'irraggiamento è definito come potenza totale fratto superficie, è chiaro che variando la superficie (cioè variando la distanza dal Sole) deve variare proporzionalmente anche l'irraggiamento, per mantenere appunto costante la potenza totale.
Almeno credo
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