Potenza costante e distanza fissa
Buongiorno,
Un'automobile è capace di accelerare con partenza da ferma su distanza fissa nel tempo $T$, sviluppando una potenza $P$ costante. Se i progettisti aumenta spero la potenza del motore di una quantità differenziale $dP$, quanto sarebbe la riduzione del tempo di accelerazione nelle stesse condizioni.
Detto $t$ un'istante generico so che $\int_{0}^{t} P dt = Pt = W = 1/2 mv^2 -> v(t) = sqrt(2P/mt)$. Se integro la velocità rispetto al tempo ottengo la distanza percorsa fino al tempo $T$; $d = \int_{0}^{T} v(t)dt = m/(2P)2/3(2P/mT)^(3/2)$
Ora se aumento la potenza di un $dP$ ripeto il procedimento con $(P+dP)$ al posto di $P$ e ottengo che la stessa distanza percorsa nel nuovo tempo $T'$ è $d=\int_{0}^{T'} v(t) dt = m/(2(P+dP))2/3(2(P+dP)/mT')^(3/2)$. Uguagliando le espressioni che ho trovato nei due casi posso ottenere la differenza fra $T$ e $T'$ scrivendo $T' = T + \DeltaT$ che viene $[P^(1/3)-(P+dP)^(1/3)]/(P+dP)^(1/3)T$ mentre il risultato dovrebbe essere $-T/(3P)dP$. Qualcuna sa dirmi dove sbaglio?
Grazie
Un'automobile è capace di accelerare con partenza da ferma su distanza fissa nel tempo $T$, sviluppando una potenza $P$ costante. Se i progettisti aumenta spero la potenza del motore di una quantità differenziale $dP$, quanto sarebbe la riduzione del tempo di accelerazione nelle stesse condizioni.
Detto $t$ un'istante generico so che $\int_{0}^{t} P dt = Pt = W = 1/2 mv^2 -> v(t) = sqrt(2P/mt)$. Se integro la velocità rispetto al tempo ottengo la distanza percorsa fino al tempo $T$; $d = \int_{0}^{T} v(t)dt = m/(2P)2/3(2P/mT)^(3/2)$
Ora se aumento la potenza di un $dP$ ripeto il procedimento con $(P+dP)$ al posto di $P$ e ottengo che la stessa distanza percorsa nel nuovo tempo $T'$ è $d=\int_{0}^{T'} v(t) dt = m/(2(P+dP))2/3(2(P+dP)/mT')^(3/2)$. Uguagliando le espressioni che ho trovato nei due casi posso ottenere la differenza fra $T$ e $T'$ scrivendo $T' = T + \DeltaT$ che viene $[P^(1/3)-(P+dP)^(1/3)]/(P+dP)^(1/3)T$ mentre il risultato dovrebbe essere $-T/(3P)dP$. Qualcuna sa dirmi dove sbaglio?
Grazie
Risposte
Il risultato è giustissimo, solo che il libro lo risistema. Per sistemarlo, ricordati che $(1+x)^\alpha~~1+\alphax$ con $x<$$<1$ e che $dP$ è infinitesimo.
Ah okay grazie mille. Quindi $(P^(1/3) - P^(1/3)(1 + (dP)/P)^(1/3))/(P^(1/3)(1+(dP)/P)^(1/3)) = (1-1-1/3(dP)/P)/(1+(dP)/P1/3 )= -1/3(dP)/P$ dove nell'ultimo passaggio si approssima il denominatore $(1+(dP)/P1/3 ) ~~ 1$ giusto?
Si si, esattamente così. Forse qualche matematico avrebbe da dire qualcosa, ma nulla di che.
Perfetto,grazie!!
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