Possibili basi nel caso di composizione di più momenti angolari in QM
Buonasera,
ho un dubbio che riguarda le possibili basi che si possono costruire nel caso in cui si abbia a che fare con la composizione di più momenti angolari e, quindi, con il momento angolare totale.
Faccio una piccola introduzioncina.
Supponiamo di avere due momenti angolari $ vec(J_1) $ e $ vec(J_2) $, ciascuno dei quali è un operatore del suo sottospazio; definiamo momento totale $ vec(J) -= vec(J_1) + vec(J_2)$ ed è un operatore dello spazio somma (nel senso di prodotto tensore). Dopodiché ci chiediamo quale sia la base più conveniente per descrivere il sistema complessivo.
Su tutti i libri di testo sono riportate solo due possibili basi, formate (come al solito) da autoket comuni di un set massimale di operatori che commutano (= qualsiasi altro operatore non commuta contemporaneamente con tutti gli operatori del set, dunque non può essere aggiunto al set, che risulta così massimale).
a) $ J_1^2, J_2^2, J_{1z}, J_{2z} harr |j_1, j_2, m_1, m_2> $ , ovvero la base costituita semplicemente dalle basi dei singoli sottospazi. Fin qui nessun problema, tutto commuta e va tutto bene (stiamo supponendo che, essendo i sottospazi $1$ e $2$ diversi, operatori di sottospazi diversi commutano tra loro).
b) $ J_1^2, J_2^2, J^2, J_z harr |j_1, j_2, J, M> $, ovvero la base costituita anche dal quadrato dell'operatore momento angolare totale $J^2$ e dalla sua proiezione nella direzione $hat(z)$, $J_z$. Anche qui tutto bene perché si può far vedere che tutto commuta.
Dopodiché viene fatto notare (sto utilizzando come riferimento il Sakurai) che $J^2$ NON commuta con $J_{1z}$ e con $J_{2z}$, quindi al set (a) non posso aggiungere $J^2$ e al set (b) non posso aggiungere né $J_{1z}$, né $J_{2z}$.
Ma $J_z$? Ecco la mia domanda. Posso aggiungere $J_z$ al set (a)?
Ho pensato che, essendo $J_z=J_{1z}+J_{2z}$, esso commuta sia con $J_{1z}$ che con $J_{2z}$; commuta inoltre con $ J_1^2$ e con$J_2^2$ perché sono tre dei quattro operatori del set (b). Commuta dunque con tutti e quattro gli operatori del set (a), che quindi risulta non massimale? So che non è così, ma non riesco a capire.
Approfitto per fare anche una seconda domanda: è possibile costruire altri set, oltre questi due, i cui autostati possono essere utilizzati come base per il sistema? Se sì, perché vengono utilizzati sempre e solo questi due?
Ringrazio tutti in anticipo, anche solo per aver letto :)
Nabla
ho un dubbio che riguarda le possibili basi che si possono costruire nel caso in cui si abbia a che fare con la composizione di più momenti angolari e, quindi, con il momento angolare totale.
Faccio una piccola introduzioncina.
Supponiamo di avere due momenti angolari $ vec(J_1) $ e $ vec(J_2) $, ciascuno dei quali è un operatore del suo sottospazio; definiamo momento totale $ vec(J) -= vec(J_1) + vec(J_2)$ ed è un operatore dello spazio somma (nel senso di prodotto tensore). Dopodiché ci chiediamo quale sia la base più conveniente per descrivere il sistema complessivo.
Su tutti i libri di testo sono riportate solo due possibili basi, formate (come al solito) da autoket comuni di un set massimale di operatori che commutano (= qualsiasi altro operatore non commuta contemporaneamente con tutti gli operatori del set, dunque non può essere aggiunto al set, che risulta così massimale).
a) $ J_1^2, J_2^2, J_{1z}, J_{2z} harr |j_1, j_2, m_1, m_2> $ , ovvero la base costituita semplicemente dalle basi dei singoli sottospazi. Fin qui nessun problema, tutto commuta e va tutto bene (stiamo supponendo che, essendo i sottospazi $1$ e $2$ diversi, operatori di sottospazi diversi commutano tra loro).
b) $ J_1^2, J_2^2, J^2, J_z harr |j_1, j_2, J, M> $, ovvero la base costituita anche dal quadrato dell'operatore momento angolare totale $J^2$ e dalla sua proiezione nella direzione $hat(z)$, $J_z$. Anche qui tutto bene perché si può far vedere che tutto commuta.
Dopodiché viene fatto notare (sto utilizzando come riferimento il Sakurai) che $J^2$ NON commuta con $J_{1z}$ e con $J_{2z}$, quindi al set (a) non posso aggiungere $J^2$ e al set (b) non posso aggiungere né $J_{1z}$, né $J_{2z}$.
Ma $J_z$? Ecco la mia domanda. Posso aggiungere $J_z$ al set (a)?
Ho pensato che, essendo $J_z=J_{1z}+J_{2z}$, esso commuta sia con $J_{1z}$ che con $J_{2z}$; commuta inoltre con $ J_1^2$ e con$J_2^2$ perché sono tre dei quattro operatori del set (b). Commuta dunque con tutti e quattro gli operatori del set (a), che quindi risulta non massimale? So che non è così, ma non riesco a capire.
Approfitto per fare anche una seconda domanda: è possibile costruire altri set, oltre questi due, i cui autostati possono essere utilizzati come base per il sistema? Se sì, perché vengono utilizzati sempre e solo questi due?
Ringrazio tutti in anticipo, anche solo per aver letto :)
Nabla
Risposte
Salve,
continuando a leggere sull'argomento, ho pensato che forse il mio problema stava nella definizione di Set completo di osservabili che commutano.
Supponiamo che $A$ e $B$ siano due osservabili e tali che $[A,B]=0$ (= compatibili), allora potrei sempre costruire un terzo operatore $C=A+B$ e sarebbe per costruzione compatibile con $A$ e $B$; potrei continuare così all'infinito? La chiave di volta potrebbe essere il fatto che essere compatibili non basta, l' "obbiettivo" del CSCO è quello di rimuovere la degenerazione da una (o più) misure. Se con $A$ e $B$ ho rimosso la degenerazione, non mi serve un terzo operatore, ottenuto tra l'altro come combinazione dei primi due che già ho. Posso rimuovere la degenerazione anche con $A$ e $C=A+B$? Penso proprio di sì e a questo punto penso che nella scelta del set intervenga il fatto che la fisica è una scienza sperimentale e non pura matematica, quindi scegliere $A+B$ come osservabile significa affermare di poter effettuare una misura che mia dia come risultato il valore di aspettazione di $A+B$, quindi poi dipende dalla situazione (magari ho un caso in cui posso misurare $A$ e $A+B$, ma non $C$, chissà).
Tornando al caso della questione che ho posto, direi che la risposta è questa, $J_z$ è vero che commuta con $J_{1z}$ e con $J_{1z}$, ma non mi serve un quinto operatore perché la mia degenerazione è già tolta; potrei tuttavia usare come set l'insieme (a) sostituendo (ad esempio) $J_z$ al posto di $J_{1z}$? Credo di sì, ma se sono in grado di misurare l'osservabile $J_{2z}$, dovrei essere in grado anche di misurare $J_{1z}$ ed avrebbe poco senso sostituirla con $J_z$.
Che ne dite? :)
Nabla
continuando a leggere sull'argomento, ho pensato che forse il mio problema stava nella definizione di Set completo di osservabili che commutano.
Supponiamo che $A$ e $B$ siano due osservabili e tali che $[A,B]=0$ (= compatibili), allora potrei sempre costruire un terzo operatore $C=A+B$ e sarebbe per costruzione compatibile con $A$ e $B$; potrei continuare così all'infinito? La chiave di volta potrebbe essere il fatto che essere compatibili non basta, l' "obbiettivo" del CSCO è quello di rimuovere la degenerazione da una (o più) misure. Se con $A$ e $B$ ho rimosso la degenerazione, non mi serve un terzo operatore, ottenuto tra l'altro come combinazione dei primi due che già ho. Posso rimuovere la degenerazione anche con $A$ e $C=A+B$? Penso proprio di sì e a questo punto penso che nella scelta del set intervenga il fatto che la fisica è una scienza sperimentale e non pura matematica, quindi scegliere $A+B$ come osservabile significa affermare di poter effettuare una misura che mia dia come risultato il valore di aspettazione di $A+B$, quindi poi dipende dalla situazione (magari ho un caso in cui posso misurare $A$ e $A+B$, ma non $C$, chissà).
Tornando al caso della questione che ho posto, direi che la risposta è questa, $J_z$ è vero che commuta con $J_{1z}$ e con $J_{1z}$, ma non mi serve un quinto operatore perché la mia degenerazione è già tolta; potrei tuttavia usare come set l'insieme (a) sostituendo (ad esempio) $J_z$ al posto di $J_{1z}$? Credo di sì, ma se sono in grado di misurare l'osservabile $J_{2z}$, dovrei essere in grado anche di misurare $J_{1z}$ ed avrebbe poco senso sostituirla con $J_z$.
Che ne dite? :)
Nabla
Ciao, ti confermo che il tuo ragionamento è corretto, nel senso che come set completo di osservabili compatibili si considera in genere quello composto dal numero minimo di osservabili che rendono il set completo.
Per l'altra domanda che poni, di solito si parte dal primo set di osservabili per arrivare al secondo (quello con il momento angolare totale) ed è quest'ultimo che in particolare si è soliti usare perchè in un sistema in cui non agiscono forze esterne il momento angolare totale non cambia (quindi le sue componenti commutano con l'Hamiltoniano H) e di conseguenza in questo caso risulterebbe più facile trovare gli autovettori di H.
Spero di esserti stato d'aiuto
Per l'altra domanda che poni, di solito si parte dal primo set di osservabili per arrivare al secondo (quello con il momento angolare totale) ed è quest'ultimo che in particolare si è soliti usare perchè in un sistema in cui non agiscono forze esterne il momento angolare totale non cambia (quindi le sue componenti commutano con l'Hamiltoniano H) e di conseguenza in questo caso risulterebbe più facile trovare gli autovettori di H.
Spero di esserti stato d'aiuto
Sì, grazie mille, altrimenti sarei rimasta per sempre con il dubbio :)
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