Portata di aria sottoposta a trasformazioni termodinamiche
Salve, ho difficoltà a capire alcuni passaggi di un banale esercizio.
Ho una portata di aria trattabile come gas perfetto(e quindi intenderei che sia un sistema aperto) che subisce prima una trasformazione adiabatica isoentropica e poi una trasformazione isobara. Sono noti tutti gli stati e devo calcolare la potenza meccanica del mio sistema.
Per il calcolo del lavoro della adiabatica isoentropica fa l’integrale del volume specifico nella pressione (dalla classifica definizione di lavoro per sistema aperto). Sostituisce alla v(P) dentro l’integrale la formula della adiabatica reversibile di gas perfetto e svolge il calcolo. Ok.
Se non che poi arriva a calcolare il lavoro della isobara. Ora... se lo considero come sistema aperto, come ha fatto per la trasformazione precedente, a rigore il lavoro dovrebbe essere nullo, no? La pressione non varia e il dP da integrare è nullo... eppure il lavoro non risulta nullo e anzi, dice che è pari alla pressione (che rimane tale) moltiplicata per la variazione di volume specifico. Ma.... in questo modo vi torna che è come se avesse applicato la definizione di lavoro per sistema chiuso? È come fare l’integrale della pressione nel volume specifico in cui P=cost.
Cosa è che sto sbagliando a considerare?
Ho una portata di aria trattabile come gas perfetto(e quindi intenderei che sia un sistema aperto) che subisce prima una trasformazione adiabatica isoentropica e poi una trasformazione isobara. Sono noti tutti gli stati e devo calcolare la potenza meccanica del mio sistema.
Per il calcolo del lavoro della adiabatica isoentropica fa l’integrale del volume specifico nella pressione (dalla classifica definizione di lavoro per sistema aperto). Sostituisce alla v(P) dentro l’integrale la formula della adiabatica reversibile di gas perfetto e svolge il calcolo. Ok.
Se non che poi arriva a calcolare il lavoro della isobara. Ora... se lo considero come sistema aperto, come ha fatto per la trasformazione precedente, a rigore il lavoro dovrebbe essere nullo, no? La pressione non varia e il dP da integrare è nullo... eppure il lavoro non risulta nullo e anzi, dice che è pari alla pressione (che rimane tale) moltiplicata per la variazione di volume specifico. Ma.... in questo modo vi torna che è come se avesse applicato la definizione di lavoro per sistema chiuso? È come fare l’integrale della pressione nel volume specifico in cui P=cost.
Cosa è che sto sbagliando a considerare?
Risposte
Posta il testo, per favore, se no e' difficile capire di che si tratta
Certo! Allora il testo è il seguente:
Una portata d’aria (considerata come gas perfetto con R=287 J/(kgK) e cp=1004,5 J/(kgK)) pari a G=3 kg/s a partire dalle condizioni p1=1 bar e T1=298K raggiunge le condizioni finali p3=1,3 bar e T3=323K. Si ipotizzi che tale processo sia effettuato mediante una prima trasformazione adiabatica isoentropica di esponente k=1,4 (1-2) e una seconda isobara (2-3). Si sa che p2= 1,3bar e T2=321K.
Calcolate le potenze Meccanica e termica scambiate nella trasformazione totale da 1 a 3, fatta dai due tratti 1-2 e 2-3.
Risulta che la potenza meccanica sia pari a -68 kW e la potenza termica 5,42kw
Una portata d’aria (considerata come gas perfetto con R=287 J/(kgK) e cp=1004,5 J/(kgK)) pari a G=3 kg/s a partire dalle condizioni p1=1 bar e T1=298K raggiunge le condizioni finali p3=1,3 bar e T3=323K. Si ipotizzi che tale processo sia effettuato mediante una prima trasformazione adiabatica isoentropica di esponente k=1,4 (1-2) e una seconda isobara (2-3). Si sa che p2= 1,3bar e T2=321K.
Calcolate le potenze Meccanica e termica scambiate nella trasformazione totale da 1 a 3, fatta dai due tratti 1-2 e 2-3.
Risulta che la potenza meccanica sia pari a -68 kW e la potenza termica 5,42kw
E come detto, mi volevo concentrare sulla potenza meccanica Perche so che l’espressione che mi dà il lavoro in un sistema aperto o chiuso è diversa.
Nel primo caso è l’integrale di vdP. Nel secondo di Pdv.
Dallo svolgimento, viene utilizzato il primo modo per calcolare il lavoro della adiabatica, dove v(P) è nota essendo una trasformazione politropica di gas perfetto.
Per la seconda trasformazione usa invece l’integrale di Pdv... che però è per sistema chiuso!
Nel primo caso è l’integrale di vdP. Nel secondo di Pdv.
Dallo svolgimento, viene utilizzato il primo modo per calcolare il lavoro della adiabatica, dove v(P) è nota essendo una trasformazione politropica di gas perfetto.
Per la seconda trasformazione usa invece l’integrale di Pdv... che però è per sistema chiuso!
Mi pare che sballa.
Tra il tratto finale e quello iniziale il salto entalpico è
$Gc_p(T_3-T_1)=3*1004.5*(323-298)=75.34kw$
Il salto entalpico nella prima parte (l'adiabatica) avviene senza scambio di calore e quindi e' dovuto al solo lavoro che e' $DeltaL=-G*c_p*(T_2-T_1)=-3*1004.5*23=-69.31kw$
Nella parte isobara, poiche' non c'e' lavoro, il salto entalpico e dovuto solo allo scambio di calore, che sarà, per differenza $75.34-69.31=6.03kw$ (ovvero $G*c_p*(T_3-T_2)$)
Posta la soluzione per curiosità perché qualcosa non va.
Tra il tratto finale e quello iniziale il salto entalpico è
$Gc_p(T_3-T_1)=3*1004.5*(323-298)=75.34kw$
Il salto entalpico nella prima parte (l'adiabatica) avviene senza scambio di calore e quindi e' dovuto al solo lavoro che e' $DeltaL=-G*c_p*(T_2-T_1)=-3*1004.5*23=-69.31kw$
Nella parte isobara, poiche' non c'e' lavoro, il salto entalpico e dovuto solo allo scambio di calore, che sarà, per differenza $75.34-69.31=6.03kw$ (ovvero $G*c_p*(T_3-T_2)$)
Posta la soluzione per curiosità perché qualcosa non va.
Per la trasformazione 1-2 (per il calcolo della potenza meccanica) dice che fa l’integrale di vdP dove v(P) è data perché adiabatica isoentropica di gas perfetto (pv^k=cost).
(E quindi come dicevo usa la formula del lavoro per sistemi aperti)
Ottiene come risultato -69.89kW.
Per il tratto 2-3 usa la formula L=G*P2*(v2-v1), ottenendo come risultato 1.56kW
(E quindi come dicevo usa la formula del lavoro per sistemi chiusi, integrale di Pdv con P costante)
Sommando le due potenze meccaniche ottiene -68.32 kW.
Purtroppo io non ho capito tutti i passaggi che ha fatto lei... potrebbe rispiegarmelo o comunque aiutarmi a capire come mai una volta il testo del libro tratta il sistema in due modi diversi? (Chiuso e aperto)
E questo anche per quanto riguarda la sua risposta... tratta il sistema come chiuso o aperto? Mi pare aperto ma poi non capisco bene perché allora ottiene un lavoro per la trasformazione aperta isobara in cui se la pressione non muta dovrebbe avere un lavoro nullo... ma non sono sicuro di aver capito bene
(E quindi come dicevo usa la formula del lavoro per sistemi aperti)
Ottiene come risultato -69.89kW.
Per il tratto 2-3 usa la formula L=G*P2*(v2-v1), ottenendo come risultato 1.56kW
(E quindi come dicevo usa la formula del lavoro per sistemi chiusi, integrale di Pdv con P costante)
Sommando le due potenze meccaniche ottiene -68.32 kW.
Purtroppo io non ho capito tutti i passaggi che ha fatto lei... potrebbe rispiegarmelo o comunque aiutarmi a capire come mai una volta il testo del libro tratta il sistema in due modi diversi? (Chiuso e aperto)
E questo anche per quanto riguarda la sua risposta... tratta il sistema come chiuso o aperto? Mi pare aperto ma poi non capisco bene perché allora ottiene un lavoro per la trasformazione aperta isobara in cui se la pressione non muta dovrebbe avere un lavoro nullo... ma non sono sicuro di aver capito bene
Hai gia' studiato l'entalpia nei sistemi aperti? Se si, te lo spiego, se no, e' meglio che arrivi a quella parte e poi torniamo sopra questo esercizio in un secondo tempo.
Comunque sbaglia secondo me, e hai ragione tu.
Il lavoro fatto nell'adiabatica (dove non c'e' scambio di calore) e' $-intvdp=-Gk/(k-1)RT_1[(p_2/p_1)^[(k-1)/k]-1]=-69.9kw$. La differenza con il mio risultato ottenuto da $GC_pDelta T$ sono arrotondamenti.
Nel secondo tratto non c'e' lavoro, perche', come giustamente dici tu, e' un'isobara, e quindi il lavoro termodinamico $intpdv=pDeltav$ e' esattamente identico al lavoro di pulsione $p_1v_1-p_2v_2=pDeltav$. Quindi c'e' solo scambio di calore ed e' esattamente un'introduzione di calore pari a $GC_p(T_3-T_2)=6.03 kw$
Comunque sbaglia secondo me, e hai ragione tu.
Il lavoro fatto nell'adiabatica (dove non c'e' scambio di calore) e' $-intvdp=-Gk/(k-1)RT_1[(p_2/p_1)^[(k-1)/k]-1]=-69.9kw$. La differenza con il mio risultato ottenuto da $GC_pDelta T$ sono arrotondamenti.
Nel secondo tratto non c'e' lavoro, perche', come giustamente dici tu, e' un'isobara, e quindi il lavoro termodinamico $intpdv=pDeltav$ e' esattamente identico al lavoro di pulsione $p_1v_1-p_2v_2=pDeltav$. Quindi c'e' solo scambio di calore ed e' esattamente un'introduzione di calore pari a $GC_p(T_3-T_2)=6.03 kw$
Grazie per la rassicurazione, anche secondo me sbaglia e avevo paura di aver capito male qualcosa io.
Comunque sì, ho già fatto l’entalpia per sistemi aperti e la formula che si ha per i gas perfetti. (cpdT)
Comunque sì, ho già fatto l’entalpia per sistemi aperti e la formula che si ha per i gas perfetti. (cpdT)
Beh, allora e' molto semplice. In un sistema aperto, la variazione di entalpia e' pari alla somma del lavoro meccanico e del calore scambiato.
Tra il punto 1 e il punto 3, cioe' all'ingresso e all'uscita del condotto, la variazione di entalpia e' $DeltaH_[1-3]=Gc_p(T_3-T_1)=75.34$ (calcolato prima).
E' evidente, essendo l'H una funz. di stato, che $DeltaH_[1-3]=DeltaH_[1-2]+DeltaH_[2-3]$.
Ma sai anche che
$DeltaH_[1-2]=DeltaQ-DeltaL=-DeltaL=Gc_p(T_2-T_1)$ da cui trovi che nell'adiabatica immetti solo lavoro $DeltaL=-69.3kw$ ($DeltaQ=0$, e' un'adiabatica!)
Nell'isobara, $DeltaH_[2-3]=DeltaQ-DeltaL= DeltaQ$ ($DeltaL=0$, e' isobara, e qui e' l'errore del testo),
Il calore scambiato nell'isobara sara' allora $DeltaH_[1-3]-DeltaH_[1-2]=DeltaH_[1-3]+DeltaL=75.34-69.3=6.04kw$ (anche questto calore e', come il lavoro, fornito al fluido)
Alternativamente, ti calcoli $c_pDeltaT$ per le due trasformazioni e ottieni lo stesso risultato.
Nota che in un'adiabatica $-intvdp=DeltaH=c_pDeltaT$
Infatti se sviluppi l'integrale $-intvdp=RT_1k/[k-1][(p_2/p_1)^((k-1)/k)-1]$,
e se tieni conto che
$k=c_p/c_v$ e $R=c_p-c_v$, e che nell' adiabatica $T_2/T_1=(p_2/p_1)^((k-1)/k)$, per sostituzione ottieni esattamente
$-intvdp=c_pDeltaT$
Tra il punto 1 e il punto 3, cioe' all'ingresso e all'uscita del condotto, la variazione di entalpia e' $DeltaH_[1-3]=Gc_p(T_3-T_1)=75.34$ (calcolato prima).
E' evidente, essendo l'H una funz. di stato, che $DeltaH_[1-3]=DeltaH_[1-2]+DeltaH_[2-3]$.
Ma sai anche che
$DeltaH_[1-2]=DeltaQ-DeltaL=-DeltaL=Gc_p(T_2-T_1)$ da cui trovi che nell'adiabatica immetti solo lavoro $DeltaL=-69.3kw$ ($DeltaQ=0$, e' un'adiabatica!)
Nell'isobara, $DeltaH_[2-3]=DeltaQ-DeltaL= DeltaQ$ ($DeltaL=0$, e' isobara, e qui e' l'errore del testo),
Il calore scambiato nell'isobara sara' allora $DeltaH_[1-3]-DeltaH_[1-2]=DeltaH_[1-3]+DeltaL=75.34-69.3=6.04kw$ (anche questto calore e', come il lavoro, fornito al fluido)
Alternativamente, ti calcoli $c_pDeltaT$ per le due trasformazioni e ottieni lo stesso risultato.
Nota che in un'adiabatica $-intvdp=DeltaH=c_pDeltaT$
Infatti se sviluppi l'integrale $-intvdp=RT_1k/[k-1][(p_2/p_1)^((k-1)/k)-1]$,
e se tieni conto che
$k=c_p/c_v$ e $R=c_p-c_v$, e che nell' adiabatica $T_2/T_1=(p_2/p_1)^((k-1)/k)$, per sostituzione ottieni esattamente
$-intvdp=c_pDeltaT$
Grazie mille, tutto chiarissimo!
Mi sono però sorte due considerazioni:
- in generale l’entalpia la si introduce per i sistemi aperti, ma da definizione è la somma dell’energia interna e del prodotto tra pressione e volume. In teoria, quindi, è una quantità comunque calcolabile per un sistema chiuso, vero? Io direi di sì, anche se magari ha un più scarso significato rispetto al sistema aperto...
- il sistema di questo esercizio era secondo me aperto, perché comunque parlava di portata di aria. Ma dato che comunque non mi parla di altro, non specifica che fluisce o che, questa portata non potrei considerala come un sistema chiuso?
Alla fine è come avere una determinata massa come in un sistema chiuso... o no?
solo che poi ovviamente non tornerebbero più questi risultati (l’isobara non avrebbe lavoro nullo, ad esempio) e non mi torna come mai una scelta di tipo di sistema piuttosto che un altro possa fare così tanta differenza.
Spero che mi possa aiutare a chiarire anche questo ultimo passaggio!
Andrew
Mi sono però sorte due considerazioni:
- in generale l’entalpia la si introduce per i sistemi aperti, ma da definizione è la somma dell’energia interna e del prodotto tra pressione e volume. In teoria, quindi, è una quantità comunque calcolabile per un sistema chiuso, vero? Io direi di sì, anche se magari ha un più scarso significato rispetto al sistema aperto...
- il sistema di questo esercizio era secondo me aperto, perché comunque parlava di portata di aria. Ma dato che comunque non mi parla di altro, non specifica che fluisce o che, questa portata non potrei considerala come un sistema chiuso?
Alla fine è come avere una determinata massa come in un sistema chiuso... o no?
solo che poi ovviamente non tornerebbero più questi risultati (l’isobara non avrebbe lavoro nullo, ad esempio) e non mi torna come mai una scelta di tipo di sistema piuttosto che un altro possa fare così tanta differenza.
Spero che mi possa aiutare a chiarire anche questo ultimo passaggio!
Andrew
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