Politropiche - piano di clapeyron
ciao a tutti,
a lezione il mio prof ha detto che "dato il piano di clapeyron (p-V), non esistono trasformazioni sul piano di clapeyron tali per cui, rappresentate in tale piano, abbiano rette tangenti maggiori di zero (per intenderci non hanno inclinazione di primo e terzo quadrante)"
in effetti pensandoci tutte le trasformazioni viste (adiabaticha, isocora, isobara,...) hanno tutte pendenze da 2 e 4 quadrante
io ho provato con considerazioni matematiche, però che non ha portato a nulla:
[tex]p V^k = cost[/tex] equaz politropiche
per avere la pendenza mi calcolo la derivata di p rispetto a V, però prima esprimo [tex]p[/tex] in funzione di [tex]V[/tex]: [tex]p = (cost)/(V^k)[/tex]
[tex](dp)/(dV) = -(cost) k (1/V) (1/(V^K))[/tex] a seconda che [tex]k > 0[/tex] si ha [tex](dp)/(dV) < 0[/tex]
a seconda che [tex]k < 0[/tex] si ha [tex](dp)/(dt) > 0[/tex]
però in effetti pensandoci a livello matematico nulla mi vieta di avere in un piano p-V una curva con pendenza positiva.
avete dei consigli in merito?
dove ho sbagliato nel ragionamento?
grazie
a lezione il mio prof ha detto che "dato il piano di clapeyron (p-V), non esistono trasformazioni sul piano di clapeyron tali per cui, rappresentate in tale piano, abbiano rette tangenti maggiori di zero (per intenderci non hanno inclinazione di primo e terzo quadrante)"
in effetti pensandoci tutte le trasformazioni viste (adiabaticha, isocora, isobara,...) hanno tutte pendenze da 2 e 4 quadrante
io ho provato con considerazioni matematiche, però che non ha portato a nulla:
[tex]p V^k = cost[/tex] equaz politropiche
per avere la pendenza mi calcolo la derivata di p rispetto a V, però prima esprimo [tex]p[/tex] in funzione di [tex]V[/tex]: [tex]p = (cost)/(V^k)[/tex]
[tex](dp)/(dV) = -(cost) k (1/V) (1/(V^K))[/tex] a seconda che [tex]k > 0[/tex] si ha [tex](dp)/(dV) < 0[/tex]
a seconda che [tex]k < 0[/tex] si ha [tex](dp)/(dt) > 0[/tex]
però in effetti pensandoci a livello matematico nulla mi vieta di avere in un piano p-V una curva con pendenza positiva.
avete dei consigli in merito?
dove ho sbagliato nel ragionamento?
grazie
Risposte
"chna1991":
sbaglio in qualcosa?
Sì. Se tieni conto del $k=1$ espresso nelle corrette unità di misura non trovi incongruenze.
Questo è ovvio perché stai soltanto facendo delle sostituzioni tra equazioni che sono corrette in termini di unità di misura pertanto non puoi arrivare a eguaglianze non corrette.
Se vuoi trovare incongruenze nel discorso $p=k V$ devi farlo con ragionamenti fisici. Io non credo ci siano come detto più volte.
L'unica cosa che posso aggiungere è che riscaldare (far aumentare di temperatura) un gas che si espande o raffreddare (far scendere di temperatura) uno che si comprime è un'operazione che può essere tecnicamente difficile da realizzare, ma non direi ci sono impossibilità o incongruenze.
non so + che pensare, ho un altro ragionamento, molto + fisico che matematico
però ora ho un'ultimo ragionamento, oramai non so + a cosa pensare, dimmi se "torna":
se tu vuoi che il gas perfetto faccia una trasf a pendenza positiva (ad es p=V) si devono prendere inifinite sorgenti a temperatura via via maggiori (la retta viene tagliata da infinite iperbole equilatere). le premesse sono: p=V e pV=nRT quindi a livello qualitativo si ha: mentre aumenti il volume devi aumentare la pressione e devi aumentare la temperatura.
perchè non puoi compiere una trasformazione reversibile tale che accada ciò?
disegna la retta ed infinite iperbole (che ovviamente secheranno la retta).
io prendo il contenitore che ha le pareti adiabatiche e la base diatermica (in modo da porlo in contatto con le infinite sorgenti) a temp iniziale T0 (ambiente esterno.
prendo una sorgente T1 > T0 quindi il gas tende a seguire l'iperbole con temp T1 quindi aumenta il volume e diminuisce la pressione, ma tu non vuoi che diminuisca la pressione quindi ci metti un pesetto infinitesimo che fa in modo di aumentare la pressione del gas in modo da mantenere la relazione p=V (ma il volume sarà diminuito), nel mentre la temperatura sarà aumentata.
però dicendo questo, forse, come ti sarai accorto non ci può essere contemporaneo aumento di p,V,T, al massimo solo di 2, nel senso che l'aumento di tutti e tre lo puoi avere solo a livello irreversibile, e non reversibile, perchè se tu iteri quello che ti ho detto, non si passa attraverso stati di equilibrio.
ti torna il ragionamento?
però ora ho un'ultimo ragionamento, oramai non so + a cosa pensare, dimmi se "torna":
se tu vuoi che il gas perfetto faccia una trasf a pendenza positiva (ad es p=V) si devono prendere inifinite sorgenti a temperatura via via maggiori (la retta viene tagliata da infinite iperbole equilatere). le premesse sono: p=V e pV=nRT quindi a livello qualitativo si ha: mentre aumenti il volume devi aumentare la pressione e devi aumentare la temperatura.
perchè non puoi compiere una trasformazione reversibile tale che accada ciò?
disegna la retta ed infinite iperbole (che ovviamente secheranno la retta).
io prendo il contenitore che ha le pareti adiabatiche e la base diatermica (in modo da porlo in contatto con le infinite sorgenti) a temp iniziale T0 (ambiente esterno.
prendo una sorgente T1 > T0 quindi il gas tende a seguire l'iperbole con temp T1 quindi aumenta il volume e diminuisce la pressione, ma tu non vuoi che diminuisca la pressione quindi ci metti un pesetto infinitesimo che fa in modo di aumentare la pressione del gas in modo da mantenere la relazione p=V (ma il volume sarà diminuito), nel mentre la temperatura sarà aumentata.
però dicendo questo, forse, come ti sarai accorto non ci può essere contemporaneo aumento di p,V,T, al massimo solo di 2, nel senso che l'aumento di tutti e tre lo puoi avere solo a livello irreversibile, e non reversibile, perchè se tu iteri quello che ti ho detto, non si passa attraverso stati di equilibrio.
ti torna il ragionamento?
"chna1991":
ti torna il ragionamento?
Ho paura di no....Non vedo perché non debba essere possibile aumentare reversibilmente $p$ $V$ e $T$.
Lascia stare i pesetti pensa solo a controllare ad esempio solo $T$ e $V$ come ho detto precedentemente.
Espandi il gas di un infinitesimo e contemporaneamente ne aumenti la temperatura di un certo infinitesimo.
Se vuoi seguire la trasformazione $p=kV$ ad esempio prendi una certa quantità di gas perfetto in un pistone e ne aumenti il volume di una piccola quantità $dV$ e contemporaneamente la temperatura di una piccola quantità $dT=\frac{2kdV}{nR}$ (mettendolo a contatto con una sorgente opportuna) la pressione automaticamente aumenterà di una quantità $dp=kdV$,come volevamo; se preferisci basta che la temperatura sia fatta aumentare col volume secondo la relazione $T=\frac{kV^2}{nR}$, dovendo rispettare l'equazione dei gas perfetti verrà seguita la trasformazione $p=kV$.
Gli unici problemi possono essere tecnici per quello che dicevo prima.
comunque la cosa che forse non ho precisato è: affinche tu abbia contemporaneo aumento di p,V e T, devi passare per infiniti stati di non equilibrio, perchè dovresti portare, non appena metti il pesetto, il contenitore con una sorgente a temperatura sempre via via maggiore, questi non sono stati di equilibrio.
torna?
comunque il tuo ragionamento, secondo me, è molto simile al mio, infatti dal tuo ragionameneto posso affermare:
tu aumenti di un [tex]dV[/tex] il recipiente, visto che questo provoca una diminuzione di [tex]dp[/tex] tu aumenti di un [tex]dT[/tex] la temperatura, è giusto, questo è il tuo ragionamento?
però se fai così poni il recipiente con una sorgente a temperatura + alta, ma così si ha una situazione di non equilibrio, o no?perchè il gas all'inerno di trova ad una temperatura + bassa della nuova sorgente che prendi...
quindi puoi aumentare p,V,T ma non a livello reversibile, torna ora?
o sbaglio come al solito per farmi venire le cose...
torna?
comunque il tuo ragionamento, secondo me, è molto simile al mio, infatti dal tuo ragionameneto posso affermare:
tu aumenti di un [tex]dV[/tex] il recipiente, visto che questo provoca una diminuzione di [tex]dp[/tex] tu aumenti di un [tex]dT[/tex] la temperatura, è giusto, questo è il tuo ragionamento?
però se fai così poni il recipiente con una sorgente a temperatura + alta, ma così si ha una situazione di non equilibrio, o no?perchè il gas all'inerno di trova ad una temperatura + bassa della nuova sorgente che prendi...
quindi puoi aumentare p,V,T ma non a livello reversibile, torna ora?
o sbaglio come al solito per farmi venire le cose...
Sono stati di equilibrio perché stiamo procedendo per aumenti infinitesimi delle variabili di stato, in ogni momento inoltre l'equazione dei gas perfetti è rispettata.. La stessa problematica la avresti per qualunque tipo di trasformazione altrimenti: considera ad esempio una isobara, aumento il volume del gas ma contemporaneamente devo aumentarne la temperatura, similmente a questo caso, per mantenere la pressione del gas costante. Devo dedurre allora che una isobara reversibile non è possibile?
si hai ragione....
però in tutte le trasformazioni che si vedono "comunemente" si ha la variazione di due e una grandezza rimane costante, è una cosa difficile far variare tutte e tre le grandezze contemporaneamente...
va bè, oramai mi arrendo, all'eventuale orale con questo professore non saprei che dirgli...
però in tutte le trasformazioni che si vedono "comunemente" si ha la variazione di due e una grandezza rimane costante, è una cosa difficile far variare tutte e tre le grandezze contemporaneamente...
va bè, oramai mi arrendo, all'eventuale orale con questo professore non saprei che dirgli...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo