Politropiche - piano di clapeyron
ciao a tutti,
a lezione il mio prof ha detto che "dato il piano di clapeyron (p-V), non esistono trasformazioni sul piano di clapeyron tali per cui, rappresentate in tale piano, abbiano rette tangenti maggiori di zero (per intenderci non hanno inclinazione di primo e terzo quadrante)"
in effetti pensandoci tutte le trasformazioni viste (adiabaticha, isocora, isobara,...) hanno tutte pendenze da 2 e 4 quadrante
io ho provato con considerazioni matematiche, però che non ha portato a nulla:
[tex]p V^k = cost[/tex] equaz politropiche
per avere la pendenza mi calcolo la derivata di p rispetto a V, però prima esprimo [tex]p[/tex] in funzione di [tex]V[/tex]: [tex]p = (cost)/(V^k)[/tex]
[tex](dp)/(dV) = -(cost) k (1/V) (1/(V^K))[/tex] a seconda che [tex]k > 0[/tex] si ha [tex](dp)/(dV) < 0[/tex]
a seconda che [tex]k < 0[/tex] si ha [tex](dp)/(dt) > 0[/tex]
però in effetti pensandoci a livello matematico nulla mi vieta di avere in un piano p-V una curva con pendenza positiva.
avete dei consigli in merito?
dove ho sbagliato nel ragionamento?
grazie
a lezione il mio prof ha detto che "dato il piano di clapeyron (p-V), non esistono trasformazioni sul piano di clapeyron tali per cui, rappresentate in tale piano, abbiano rette tangenti maggiori di zero (per intenderci non hanno inclinazione di primo e terzo quadrante)"
in effetti pensandoci tutte le trasformazioni viste (adiabaticha, isocora, isobara,...) hanno tutte pendenze da 2 e 4 quadrante
io ho provato con considerazioni matematiche, però che non ha portato a nulla:
[tex]p V^k = cost[/tex] equaz politropiche
per avere la pendenza mi calcolo la derivata di p rispetto a V, però prima esprimo [tex]p[/tex] in funzione di [tex]V[/tex]: [tex]p = (cost)/(V^k)[/tex]
[tex](dp)/(dV) = -(cost) k (1/V) (1/(V^K))[/tex] a seconda che [tex]k > 0[/tex] si ha [tex](dp)/(dV) < 0[/tex]
a seconda che [tex]k < 0[/tex] si ha [tex](dp)/(dt) > 0[/tex]
però in effetti pensandoci a livello matematico nulla mi vieta di avere in un piano p-V una curva con pendenza positiva.
avete dei consigli in merito?
dove ho sbagliato nel ragionamento?
grazie
Risposte
Bisognerebbe spiegare cosa si intende con "non esistono".
Che non sono mai state osservate e che non sono tecnicamente realizzabili? O che non possono esistere per qualche ragione fisica?
Dal punto di vista matematico è ovvio che non trovi nessuna contraddizione, è il significato fisico che devi considerare.
Non ho pensato molto alla cosa, se comunque voglio verificare che la trasformazione sia impossibile (non solo che non è comune o non realizzabile tecnicamente) proverei a vedere se ammettendola riesco a negare il secondo principio..
EDIT: Onestamente non mi pare che una trasformazione di tale tipo sia impossibile dal punto di vista fisico.
Che non sono mai state osservate e che non sono tecnicamente realizzabili? O che non possono esistere per qualche ragione fisica?
Dal punto di vista matematico è ovvio che non trovi nessuna contraddizione, è il significato fisico che devi considerare.
Non ho pensato molto alla cosa, se comunque voglio verificare che la trasformazione sia impossibile (non solo che non è comune o non realizzabile tecnicamente) proverei a vedere se ammettendola riesco a negare il secondo principio..
EDIT: Onestamente non mi pare che una trasformazione di tale tipo sia impossibile dal punto di vista fisico.
io ho il libro sette-alippi e cito testualmente
se il prof me lo chiede non posso rispondergli sul libro non c'è scritto
quindi mi consigli di provare per assurdo? ora ci provo e ti dico i risultati
è una trasformazione irrealizzabile perchè termodinamicamente instabile (volumi crescenti al crescere della pressione)però il perchè non me lo dice
se il prof me lo chiede non posso rispondergli sul libro non c'è scritto
quindi mi consigli di provare per assurdo? ora ci provo e ti dico i risultati
è una trasformazione irrealizzabile perchè termodinamicamente instabile (volumi crescenti al crescere della pressione)
In questo contesto l'espressione termodinamicamente instabile non ha molto significato secondo me: da quello che so si usa in chimica per dire che un certo composto ha una energia libera positiva verso una reazione che tenderebbe a farlo sparire, in altre parole il composto tenderebbe a reagire e a trasformarsi in qualcos'altro.
Credo significhi altro qui, ma non ho capito bene cosa.
Certo la trasformazione aumento di pressione e aumento di volume, appare singolare ma finché non si nega in qualche modo il secondo principio non ci sono motivi per cui non possa avvenire.
Tra l'altro: prendo un gas perfetto, lo riscaldo e lo faccio espandere, potrei riuscire a patto di fornire sufficiente calore a far aumentare sia la pressione che il volume.
non riesco a dimostrarlo negando il secondo principio...
però per affermare che non esistono di politropiche di questo tipo, non basta dire "esistono trasformazioni che aumentano pressione e volume V" e prendere una trasf (ne basta una particolare dato che devo negare un'affermazione) che nega tale affermazione, giusto?
allora "forse" penso di esserci riuscito, ora rivedo i conti e vi posto
però per affermare che non esistono di politropiche di questo tipo, non basta dire "esistono trasformazioni che aumentano pressione e volume V" e prendere una trasf (ne basta una particolare dato che devo negare un'affermazione) che nega tale affermazione, giusto?
allora "forse" penso di esserci riuscito, ora rivedo i conti e vi posto
inclinazione positiva significa $(delta V)/(delta p) > 0$ giusto? ($delta x$ intendo una variazione infinitesima, non una derivata) quindi sarebbero impossibili trasformazioni in cui presione e volume aumentano o diminuiscono insieme. se questo è corretto ti resta da mostrare che ogni trasformazione deve rispettare questo vincolo.
io di termodinamica non ricordo un gran chè. ma procederei cercando di dimostrare che ogni trasformazione possa essere scomposta in un numero finito di trasformazioni e poi cercando per ognuna trasformazione "base" (chiaramente isocora e isobara gia soddisfano il vincolo) la prova.
isoterma anche soddisfa il vincolo inquanto, per un gas perfetto, se vale $pV=n R T$ e T è costante non può crescere sia volume che pressione.
una adiabatica ha equazione $pV^(gamma) = c o s t$ quindi se $p_1 > p_0$ e $V_1 > v_0$ se $gamma > 1$ allora non è verificato il vincolo...
io di termodinamica non ricordo un gran chè. ma procederei cercando di dimostrare che ogni trasformazione possa essere scomposta in un numero finito di trasformazioni e poi cercando per ognuna trasformazione "base" (chiaramente isocora e isobara gia soddisfano il vincolo) la prova.
isoterma anche soddisfa il vincolo inquanto, per un gas perfetto, se vale $pV=n R T$ e T è costante non può crescere sia volume che pressione.
una adiabatica ha equazione $pV^(gamma) = c o s t$ quindi se $p_1 > p_0$ e $V_1 > v_0$ se $gamma > 1$ allora non è verificato il vincolo...
ora rivedo i conti e vi postoho fatto bene a non postare, dato che ho fatto un errore...
ma procederei cercando di dimostrare che ogni trasformazione possa essere scomposta in un numero finito di trasformazioni e poi cercando per ognuna trasformazione "base" (chiaramente isocora e isobara gia soddisfano il vincolo) la prova.non ho ben capito: ogni trasf è "scomponibile" ma ovviamente i lavori ed i calori associati non saranno uguali
Credo sia dimostrabile che non è possibile avere isoentropiche nel piano pv con pendenza positiva, quello sì che dovrebbe essere dimostrabile abbastanza facilmente... Sull'affermazione generale invece ho forti dubbi....
partiamo dal presupposto che il mio prof dice di mettere a lezione cose sbagliate, non perchè sia ignorante, ma perchè dice di volere studenti attivi e non passivi... per questo non tutto quello che dice è vero, poi altra cosa è quello che capisco io, da quello che dice lui, quindi tutto può essere
le isoentropiche sono le adiabatiche, dato che data un'adiabatica reversibile si ha[tex]S = cost[/tex] in quanto la variazione è nulla, ma le adiabatiche hanno tutte pendenza negativa, quindi non si può avere pendenza positiva, giusto il ragionamento?
Credo sia dimostrabile che non è possibile avere isoentropiche nel piano pv con pendenza positiva
le isoentropiche sono le adiabatiche, dato che data un'adiabatica reversibile si ha[tex]S = cost[/tex] in quanto la variazione è nulla, ma le adiabatiche hanno tutte pendenza negativa, quindi non si può avere pendenza positiva, giusto il ragionamento?
Non entro nel merito della correttezza o no delle cose che dice il tuo professore.
Dico solo che l'affermazione all'inizio non mi sembra valga in generale, poi potrei benissimo sbagliare io. Non pretendo di non sbagliare mai quando scrivo qui, mi è già successo altre volte di aver commesso degli errori.
Per quanto riguarda il discorso su adiabatiche e isoentropiche allora dimostra che una adiabatica ha pendenza sempre positiva.
Dico solo che l'affermazione all'inizio non mi sembra valga in generale, poi potrei benissimo sbagliare io. Non pretendo di non sbagliare mai quando scrivo qui, mi è già successo altre volte di aver commesso degli errori.
Per quanto riguarda il discorso su adiabatiche e isoentropiche allora dimostra che una adiabatica ha pendenza sempre positiva.
ma certo tutti possono sbagliare
anche io, forse ho sentito male
bhè che le adiabatiche abbiano pendenza negativa è un discorso matematico: [tex]p V^(gamma) = cost[/tex] equaz adiabatica
[tex]p > 0[/tex] deve esserlo, non esistono pressioni negative
[tex]V > 0[/tex] analogamente a sopra
[tex](gamma) > 0[/tex] si dimostra che [tex](gamma) = (c_p)/(c_v) > 0[/tex]
quindi [tex](cost) > 0[/tex]
se si fa la derivata di p pressione rispetto V volume si verifica [tex](dp)/(dV) < 0[/tex]
ora è giusto (isoentropiche nel piano p-v hanno sempre pendenza negativa, ovvero mai pendenza positiva)?
anche io, forse ho sentito male
Per quanto riguarda il discorso su adiabatiche e isoentropiche allora dimostra che una adiabatica ha pendenza sempre positiva.volevi dire pendenza negativa?
bhè che le adiabatiche abbiano pendenza negativa è un discorso matematico: [tex]p V^(gamma) = cost[/tex] equaz adiabatica
[tex]p > 0[/tex] deve esserlo, non esistono pressioni negative
[tex]V > 0[/tex] analogamente a sopra
[tex](gamma) > 0[/tex] si dimostra che [tex](gamma) = (c_p)/(c_v) > 0[/tex]
quindi [tex](cost) > 0[/tex]
se si fa la derivata di p pressione rispetto V volume si verifica [tex](dp)/(dV) < 0[/tex]
ora è giusto (isoentropiche nel piano p-v hanno sempre pendenza negativa, ovvero mai pendenza positiva)?
Sì intendevo pressione negativa ...altro errore mio a proposito di quanto dicevo 
Infatti il punto se vuoi è proprio "dimostrare" che $c_p/c_v>0$.
Quindi insomma è facile dire che l'affermazione è valida per isoentropiche (preferisco dire isoentropiche, piuttosto che adiabatiche visto che si dovrebbe dire a rigore adiabatiche reversibili).
Sul resto nun so....
Infatti il punto se vuoi è proprio "dimostrare" che $c_p/c_v>0$.
Quindi insomma è facile dire che l'affermazione è valida per isoentropiche (preferisco dire isoentropiche, piuttosto che adiabatiche visto che si dovrebbe dire a rigore adiabatiche reversibili).
Sul resto nun so....
altro errore mio a proposito di quanto dicevo
Infatti il punto se vuoi è proprio "dimostrare" che cp/cv>0.non che non voglia scriverla, ma tanto è su tutti i libri
Sul resto nun so...ok va bene, così. cercherò di avere un ricevimento prima dell'esame che così glielo chiedo, sperando che mi risponda...
"chna1991":
cercherò di avere un ricevimento prima dell'esame che così glielo chiedo, sperando che mi risponda...
Fammi sapere sono curioso!
Potresti ,se non è troppo lungo, citare quello che dice il tuo libro su questo? Hai citato una parte, potresti se possibile mettere l'intero paragrafo in cui è presente quella citazione (intendo il discorso del "non termodinamicamente stabile")?
Fammi sapere sono curioso!appena avrò la risposta non mi dimenticherò assolutamente di postarla!
Potresti ,se non è troppo lungo, citare quello che dice il tuo libro su questo? Hai citato una parte, potresti se possibile mettere l'intero paragrafo in cui è presente quella citazione (intendo il discorso del "non termodinamicamente stabile")?temo che sia impossibile, perchè il paragrafo è da 4 pagine, però la parte che ti ho copiato riguarda il commento di un grafico
ciao a tutti,
in particolare a faussone che è uno dei + curiosi
come promesso sono andato a chiedere...
sono andato a ricevimento, però non ha risposto, mi ha dato degli input (me lo aspettavo...) utili, ma serve "ragionare" per estrarne la risposta:
intanto lui ha chiarito: "è possibile avere una trasformazione tale che aumenti pressione e volume per un gas perfetto?"
poi, "dato che il libro afferma che tali trasformazioni sono instabili, ciò significa che le trasformazioni che aumentano pressioni e volumi, non sono certamente trasformazioni reversibili, perchè se instabili, non passano per infinite condizioni di equilibrio. quindi se sono trasformazioni irreversibili, possono esserci aumenti di pressione e volume, ma è possibile aumentare sia pressione sia volume in maniera reversibile su un gas perfetto?" (quindi non è che non esistono trasformazioni con aumento di pressione e volume, ma queste sono trasformazioni irreversibili)
io gli ho mostrato il ragionamento delle pendeze (calcolo di derivate) mostrato qui nel mio primo post del topic, ovviamente non ha detto che ho sbagliato, ma mancava qualche considerazione fisica: "secondo te [tex]k < 0[/tex] è possibile? se è possibile mi descrivi una situazione (reversibile) tale per cui c'è [tex]k < 0[/tex]?"
in particolare a faussone che è uno dei + curiosi
come promesso sono andato a chiedere...sono andato a ricevimento, però non ha risposto, mi ha dato degli input (me lo aspettavo...) utili, ma serve "ragionare" per estrarne la risposta:
intanto lui ha chiarito: "è possibile avere una trasformazione tale che aumenti pressione e volume per un gas perfetto?"
poi, "dato che il libro afferma che tali trasformazioni sono instabili, ciò significa che le trasformazioni che aumentano pressioni e volumi, non sono certamente trasformazioni reversibili, perchè se instabili, non passano per infinite condizioni di equilibrio. quindi se sono trasformazioni irreversibili, possono esserci aumenti di pressione e volume, ma è possibile aumentare sia pressione sia volume in maniera reversibile su un gas perfetto?" (quindi non è che non esistono trasformazioni con aumento di pressione e volume, ma queste sono trasformazioni irreversibili)
io gli ho mostrato il ragionamento delle pendeze (calcolo di derivate) mostrato qui nel mio primo post del topic, ovviamente non ha detto che ho sbagliato, ma mancava qualche considerazione fisica: "secondo te [tex]k < 0[/tex] è possibile? se è possibile mi descrivi una situazione (reversibile) tale per cui c'è [tex]k < 0[/tex]?"
Una trasformazione reversibile a pendenza positiva nel piano $p,V$ mi pare possibile. Per esempio consideriamo un gas perfetto e la trasformazione $p=kV$ con $k>1$. Sappiamo dalla legge dei gas perfetti che per tale trasformazione varrebbe $kV^2=nRT$ e quindi che $T=\frac{kV^2}{nR}$.
Prendiamo allora una certa quantità di gas perfetto la mettiamo dentro un cilindro e ne faccimo variare il volume seconda una certa legge $V=V(t)$ in funzione cioè del tempo $t$; contemporaneamente la mettiamo via via in contatto con (infinite) sorgenti a temperatura diversa data dalla legge $T(t)=\frac{kV(t)^2}{nR}$. Otterremo una pressione $p(t)$ che varia secondo la legge $kV(t)$ quindi, come volevamo. Tutto questo è concettualmente possibile.
A me pare che il tuo professore volesse dire qualcosa di diverso che riguarda la legge costitutiva di un a gas (legame , pressione volume e temperatura) e cioè che non è possibile un legame costitutivo che all'aumentare contemporaneo di volume e pressione comporti una diminuzione di temperatura e viceversa, (o che all'aumentare della pressione a volume costante comporti una diminuzione di temperatura e viceversa ecc) . Questo è dimostrabile facilmente perché contrasterebbe con i principi della termodinamica.
io credo di essere arrivato alla soluzione... 
chiedo conferma perchè non vorrei aver preso una cantonata
secondo il mio ragionamento non può essere [tex]k< 0[/tex] perchè se uno fa attenzione, non torna l'analisi dimensionale...
per essere + chiari faccio un esempio:
ammettendo [tex]k<0[/tex] ad es [tex]k = -1[/tex]
[tex]p = V[/tex]
[tex]p V = n R T[/tex] --> [tex]p^2 = n R T[/tex] a livello dimensionale:
[tex](atm)^2 = l * (atm)[/tex]
cioè a livello concettuale non posso dire mele = pere, mentre in analisi 1 se dico [tex]y = x[/tex] sottintendo due "lunghezze", mentre se dico [tex]p = V[/tex] eguaglio pressioni (atm) con volumi (m^3)
torna come giustificazione?
chiedo conferma perchè non vorrei aver preso una cantonatasecondo il mio ragionamento non può essere [tex]k< 0[/tex] perchè se uno fa attenzione, non torna l'analisi dimensionale...
per essere + chiari faccio un esempio:
ammettendo [tex]k<0[/tex] ad es [tex]k = -1[/tex]
[tex]p = V[/tex]
[tex]p V = n R T[/tex] --> [tex]p^2 = n R T[/tex] a livello dimensionale:
[tex](atm)^2 = l * (atm)[/tex]
cioè a livello concettuale non posso dire mele = pere, mentre in analisi 1 se dico [tex]y = x[/tex] sottintendo due "lunghezze", mentre se dico [tex]p = V[/tex] eguaglio pressioni (atm) con volumi (m^3)
torna come giustificazione?
No, non è una giustificazione. Chi ha detto che il $k$ nel mio caso o l'1 nel tuo sono adimensionali? Avranno le dimensioni giuste per far tornare le unità di misura.
Se scrivo $p=kV$ dico che la pressione nel cilindro espressa in $"pascal"$ ad esempio, sarà $k$ volte il volume in $m^3$ quindi $k$ avrà le dimensioni di $"pascal"/m^3$.
Se scrivo $p=kV$ dico che la pressione nel cilindro espressa in $"pascal"$ ad esempio, sarà $k$ volte il volume in $m^3$ quindi $k$ avrà le dimensioni di $"pascal"/m^3$.
quello che dici tu è vero, ma io ho analizzato anche l'equazione di stato
io ho ipotizzato un [tex]k<0[/tex], poi utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti giungo ad un errore nell'analisi dimensionale.
infatti come puoi vedere nel mio post precedente si giunge: [tex](atm)^2 = l*(atm)[/tex]
sbaglio in qualcosa?
io ho ipotizzato un [tex]k<0[/tex], poi utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti giungo ad un errore nell'analisi dimensionale.
infatti come puoi vedere nel mio post precedente si giunge: [tex](atm)^2 = l*(atm)[/tex]
sbaglio in qualcosa?
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