Polarizzazione per orientamento nei gas
rieccomi qui..di nuovo vengo a proporre i miei dubbi...
spiego ciò che ho capito...(credo abbastanza) in modo che possiate eventulamente corregermi. (Non lasciatevi spaventare dagli integrali...sono una banalità...)
nei gas esistono molecole con un momento di dipolo permanente (come $H_2O$ per esempio), le così dette molecole polari appunto (è bello scoprire cose che quando studiavi chimica erano solo "nomi"!!). in condizioni "normali" i momenti di dipolo di tali molecole sono disposti tutti in maniera casuale, ma in modo che il momento medio <$vec p$> sia nullo.
quando introduco un campo elettrico $vec E$ invece questi momenti di dipolo tandono ad orientarsi parallelamente al campo elettrico...perchè è una configurazione a più bassa energia (basta ricordare che nel dipolo $U=- vec p * vec E$, è chiaro che la minima energia si ha per $ vec p$ parallelo a $vec E$).
il problema è che questo non avviene in realtà, perchè a normali temperature e campi non troppo elevati, si verificano urti tra le molecole (dovuto alla loro agitazione termica) che fanno si che solo alcuno molecole si orientino come il campo.
in ogni caso però il <$vec p$> è allineato col campo eletrico.
ora, secondo la meccanica statistica la frazione di molecole con energia compresa fra $U$ e $U+dU$ segue l'equazione di Boltzmann
$(dN)/N=A e^( U/(K_BT)) dU$
dall'espressione di $U$ per il dipolo abbiamo
$(dN)/N=-ApE_(loc) e^((pE_(loc) cos(theta))/(K_BT)) dcos(theta)$
approssimo l'esponenziale con Taylor arrestato al primo ordine
$(dN)/N=-ApE_(loc) (1+(pE_(loc) cos(theta))/(K_BT)) dcos(theta)$
a questo punto per trovare A impongo la condizione di normalizzazione
$int(dN)/N=-ApE_(loc) int_1^-1 (1+(pE_(loc) cos(theta))/(K_BT)) dcos(theta)$=1
ecco...è proprio qui il mio dubbio...perchè l'integrale viene calcolato da 1 a -1??? e non viceversa??
voglio dire...se la posizione finale del dipolo deve essere quella parallela al campo eletrico, allora $theta$ dovrà essere uguale a 0 e di conseguenza $cos(theta)=1$ no?
attendo lumi...
grazie infinite...
spiego ciò che ho capito...(credo abbastanza) in modo che possiate eventulamente corregermi. (Non lasciatevi spaventare dagli integrali...sono una banalità...)
nei gas esistono molecole con un momento di dipolo permanente (come $H_2O$ per esempio), le così dette molecole polari appunto (è bello scoprire cose che quando studiavi chimica erano solo "nomi"!!). in condizioni "normali" i momenti di dipolo di tali molecole sono disposti tutti in maniera casuale, ma in modo che il momento medio <$vec p$> sia nullo.
quando introduco un campo elettrico $vec E$ invece questi momenti di dipolo tandono ad orientarsi parallelamente al campo elettrico...perchè è una configurazione a più bassa energia (basta ricordare che nel dipolo $U=- vec p * vec E$, è chiaro che la minima energia si ha per $ vec p$ parallelo a $vec E$).
il problema è che questo non avviene in realtà, perchè a normali temperature e campi non troppo elevati, si verificano urti tra le molecole (dovuto alla loro agitazione termica) che fanno si che solo alcuno molecole si orientino come il campo.
in ogni caso però il <$vec p$> è allineato col campo eletrico.
ora, secondo la meccanica statistica la frazione di molecole con energia compresa fra $U$ e $U+dU$ segue l'equazione di Boltzmann
$(dN)/N=A e^( U/(K_BT)) dU$
dall'espressione di $U$ per il dipolo abbiamo
$(dN)/N=-ApE_(loc) e^((pE_(loc) cos(theta))/(K_BT)) dcos(theta)$
approssimo l'esponenziale con Taylor arrestato al primo ordine
$(dN)/N=-ApE_(loc) (1+(pE_(loc) cos(theta))/(K_BT)) dcos(theta)$
a questo punto per trovare A impongo la condizione di normalizzazione
$int(dN)/N=-ApE_(loc) int_1^-1 (1+(pE_(loc) cos(theta))/(K_BT)) dcos(theta)$=1
ecco...è proprio qui il mio dubbio...perchè l'integrale viene calcolato da 1 a -1??? e non viceversa??
voglio dire...se la posizione finale del dipolo deve essere quella parallela al campo eletrico, allora $theta$ dovrà essere uguale a 0 e di conseguenza $cos(theta)=1$ no?
attendo lumi...
grazie infinite...
Risposte
Allora il significato fisico della tua ultima espressione è che la probabilità di trovare i dipoli con una orientazione compresa tra quella parallela al campo e quella antiparallela al campo E deve essere 1, dico giusto?
Quella parallela si ha quando cos(theta)=1 e quella antiparallela quando cos(theta)=-1, quindi il conto dovrebbe tornare in questo senso...
D'altra parte deve valere 1 anche la probabilità di trovare il dipolo con una orientazione compresa tra quella antiparallela (cos(theta)=-1) e quella parallela (cos(theta)=1) quindi o sono perfettamente identiche oppure in questo momento sono troppo stanco per capire bene il calcolo.
Ciao
Giovanni
Quella parallela si ha quando cos(theta)=1 e quella antiparallela quando cos(theta)=-1, quindi il conto dovrebbe tornare in questo senso...
D'altra parte deve valere 1 anche la probabilità di trovare il dipolo con una orientazione compresa tra quella antiparallela (cos(theta)=-1) e quella parallela (cos(theta)=1) quindi o sono perfettamente identiche oppure in questo momento sono troppo stanco per capire bene il calcolo.
Ciao
Giovanni
mi pare che la tua interpretazione fisica sia corretta...in effetti in qualunque modo la si integri il risultato deve essere 1...e infatti quello che ottengo sono proprio due valori uguali ed opposti di A...come ci si doveva aspettare.
il problema è che, dopo, il mio libro (Mazzoldi, Nigro, Voci) trovando $A=1/(2p_0E_(loc))$, poi lo sostituisce nell'equzione precedente e semplifica e dice:
$(dN)/N=-1/2(1+(p_0E_(loc)cos(theta))/(K_BT))dcos(theta)$
"Questa espressione dà la frazione di molecole con momento di dipolo $vec p_0$ che forma un angolo compreso tra $theta$ e $theta+d theta$ con il campo elettrico $vec E_(loc)$ (passando da zero a $pi$, $dcostheta$ è negativo e $dN$ risulta positivo)."
in questo modo il risultato sarebbe coerente...se invece usassi l'altro valore di A, facendo i conti $dN$ verrebbe negativo...il che, fisicamente parlando, non credo che abbia molto senso no?
dov'è l'inghippo??? c'è proprio qualcosa che mi sfugge...mah...
il problema è che, dopo, il mio libro (Mazzoldi, Nigro, Voci) trovando $A=1/(2p_0E_(loc))$, poi lo sostituisce nell'equzione precedente e semplifica e dice:
$(dN)/N=-1/2(1+(p_0E_(loc)cos(theta))/(K_BT))dcos(theta)$
"Questa espressione dà la frazione di molecole con momento di dipolo $vec p_0$ che forma un angolo compreso tra $theta$ e $theta+d theta$ con il campo elettrico $vec E_(loc)$ (passando da zero a $pi$, $dcostheta$ è negativo e $dN$ risulta positivo)."
in questo modo il risultato sarebbe coerente...se invece usassi l'altro valore di A, facendo i conti $dN$ verrebbe negativo...il che, fisicamente parlando, non credo che abbia molto senso no?
dov'è l'inghippo??? c'è proprio qualcosa che mi sfugge...mah...
Non saprei aiutarti più in dettaglio, le mie nozioni di fisica statistica sono piccole rispetto alla complessità della teoria stessa.
Mi viene da pensare che sia stata usata una qualche trasformazione di coordinata, magari apposta per evitare ilrisultato negativo....cmq A dovrebbe essere una specie di funzione di partizione, vero?
Mi viene da pensare che sia stata usata una qualche trasformazione di coordinata, magari apposta per evitare ilrisultato negativo....cmq A dovrebbe essere una specie di funzione di partizione, vero?
guarda...mi spiace deluderti...ma non so minimamente cosa sia una funzione di partizione...se tu ne sai poca di meccanica statistica io praticamente non ne so niente...
per me A era solo un coefficiente di normalizzazione ... e in effetti lo è!
cmq è veramente strano...boh...non capisco proprio perchè l'integrale vada da 1 a -1...più i penso e più mi convinco del contrario...mah...
anche il Feynmann non mi è d'aiuto...lì addirittua si mette a parlare di angoli solidi...non ho alcuna intenzione di approciarmi al problema con quel metodo...va beh...pace...tanto non era così importante...sarà una delle cose da chiedere al prof...
ora ti saluto...
ciao ciao
il vecchio
per me A era solo un coefficiente di normalizzazione ... e in effetti lo è!
cmq è veramente strano...boh...non capisco proprio perchè l'integrale vada da 1 a -1...più i penso e più mi convinco del contrario...mah...
anche il Feynmann non mi è d'aiuto...lì addirittua si mette a parlare di angoli solidi...non ho alcuna intenzione di approciarmi al problema con quel metodo...va beh...pace...tanto non era così importante...sarà una delle cose da chiedere al prof...
ora ti saluto...
ciao ciao
il vecchio
Sì in effetti in questo caso la funzione di partizione è un'altra cosa...il feynamnn non è gran che per questi argomenti, per altri è delizioso.
Non è che si tratta di un errore di stampa?
Ciao Ciao
Non è che si tratta di un errore di stampa?
Ciao Ciao
fermi tutti!! ho capito!!!
tutto deriva dal fatto che non so una mazza di meccanica statistica!!!!!!!!
la funzione di Boltzmann che ho scritto è (e l'ho anche scritto prima...evidentemente senza capire cosa stavo scrivendo!!):" la frazione di molecole con energia compresa tra $U$ e $U+dU$"!!!!
capisci???
quindi da un energia minore ad una maggiore!!! quindi è chiaro che quando integro vado dalla posizione di maggior equilibrio (minore energia , $cos theta=1$ ) a quella antiparallela, con $cos theta=-1$!!!!
adesso mi pare che ci siamo!! io mi sono convinto! a te, ti ho convinto? mi pare che così abbia senso il tutto!
grazie ancora per il tuo aiuto...
fa sempre bene interrogare e interrogarsi su questioni non capite...prima o poi si arriva sempre alla soluzione!! bene!!
prossimo argomento la corrente...ancora non ho abbastanza domande...perchè ho studiato poco..mi sono quasi addormentato...ma non dubitare che qualche domanda ci esce sicuro!!
beh..
ciaooooo
il vecchio
tutto deriva dal fatto che non so una mazza di meccanica statistica!!!!!!!!
la funzione di Boltzmann che ho scritto è (e l'ho anche scritto prima...evidentemente senza capire cosa stavo scrivendo!!):" la frazione di molecole con energia compresa tra $U$ e $U+dU$"!!!!
capisci???
quindi da un energia minore ad una maggiore!!! quindi è chiaro che quando integro vado dalla posizione di maggior equilibrio (minore energia , $cos theta=1$ ) a quella antiparallela, con $cos theta=-1$!!!!
adesso mi pare che ci siamo!! io mi sono convinto! a te, ti ho convinto? mi pare che così abbia senso il tutto!
grazie ancora per il tuo aiuto...
fa sempre bene interrogare e interrogarsi su questioni non capite...prima o poi si arriva sempre alla soluzione!! bene!!
prossimo argomento la corrente...ancora non ho abbastanza domande...perchè ho studiato poco..mi sono quasi addormentato...ma non dubitare che qualche domanda ci esce sicuro!!
beh..
ciaooooo
il vecchio
Sì, bell'idea! Direi che è proprio così!
Un giorno, un grandissimo fisico russo, che aveva quasi vinto il nobel, mi ha detto che se hai una teoria ed è sufficientemente pazza, allora probabilmente è una buona teoria!
no...scusa..non ho capito...TI ha detto???? ma chi è questo?? e soprattutto...chi sei tu???? paura... 
Guarda è stata una situazione assurda...ero a genova per seguire il Festival della Fisica o come diavolo si chiamava ed ero ospite di una mia zia che era nell'organizzazione, e appunto organizzò una cena con i relatori di alcune delle conferenze, tra cui Gabriele Veneziano ed altri grossi nomi, e tra questi anche un fisico russo che è stato il discepolo/assistente del premio nobel per la fisica 2003, quindi diciamo uno che ci è andato abbastanza vicino...eravamo allo stesso tavolo, e ci siamo messi a chiaccherare in inglese, e tra le varie cose mi ha detto anche questo....
fico...cmq credo si chiami il festival della scienza...ci sono stato solo un anno..l'anno scorso credo...avevamo organizzato una iniziativa culturale con l'università!
peccato che ho perso mezza giornata sui padiglioni più brutti dell'universo accorgendomi troppo tardi che ce n'era uno intero dedicato alla fisica e matematica!!!!!sigh...
beh...devo studiareeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee!!!!!!!
peccato che ho perso mezza giornata sui padiglioni più brutti dell'universo accorgendomi troppo tardi che ce n'era uno intero dedicato alla fisica e matematica!!!!!sigh...
beh...devo studiareeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee!!!!!!!
Salve, io lo sto studiando adesso ma non riesco a capire il passaggio in cui viene calcolata la costante A con la condizione di normalizzazione dell'integrale della frazione di molecole con energia compresa tra U e U+dU.
Perchè quell'integrale è 1? NOn afferro il passaggio.....ho anch'io il Mazzoldi
Perchè quell'integrale è 1? NOn afferro il passaggio.....ho anch'io il Mazzoldi
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